核心素養下圖式理論在高中數學教學中的應用探討

馬金鳳

【摘要】核心素養是新課改下的教育聚焦，貫串高中數學課標的所有部分，基于核心素養時代的背景，進一步研究數學圖式化教學，探討高中數學如何進行圖式教學實踐，分析圖式理論在數學教學實踐中有何作用.

【關鍵詞】核心素養;高中數學;圖式理論

圖式理論是一種認知心理方面的重要理論，能夠將數學的抽象知識轉化為具體圖式，而圖式又是大腦中的一種認知結構.斯根普曾指出：“個別的概念一定要融入與其他概念合成的概念結構中才有效用.”除了所謂最基本的初級概念之外，每一個概念都是由若干較低階層的概念合并發展得來的，而這個概念其后又與其他概念結合發展出了更高階的概念.容易看出，圖式的建構是抽象化（由較低層次向較高層次的發展可被認為達到了更高的抽象程度）和具體化（除去向著更高抽象程度的發展以外，通過引入新的處于較低層次的概念為較高層次的概念提供具體的“實例”）的一種組合.用圖式理論指導數學教學，以引導學生深度學習，激活學生的聯想能力，進而培養和發展學生的數學核心素養.

新時代的課程改革要求高中數學課標以“發展學生核心素養”為價值取向及課程主線.借助抽象化、具體化的圖式，能夠促進學生很好地完成數學知識體系的建構，能夠更好地解釋學生的學習機制，有助于數學核心素養落實于日常教學.那么，在核心素養時代，高中數學應如何進行圖式化教學呢？圖式理論在數學教學實踐中又有何作用？

1 理清脈絡，明確學習方向

圖式在指導個體認識新事物時，并不是被動地將其簡單搬到頭腦中儲存，而是按照一定的順序和邏輯性，將其各個部分形成組塊.圖式影響著輸入信息的選擇，并通過一定方式組織信息，將這些信息整合成一個有意義的框架，其目的是促進個體對信息的理解.所以，運用數學圖式理清知識脈絡，可以提供記憶的支柱，幫助學生理解領會知識.對于數學教學，教師應從分散復雜的知識堆中抓主干，利用圖式加工并整理，這樣便可給學生的學習提供一個明確的方向.

導數是微積分的核心內容之一，是研究函數的重要工具，銜接著初等數學與高等數學.盡管導數作為選修內容出現在高中教材中，但因其廣泛的應用性而成為數學學習的重要內容.因為事物的外部會不斷變化，而其內部永恒不變，故認識事物要把握其內在結構，學習繁雜分散的導數亦是如此.在講解“導數及其應用”時，教師可利用圖1的圖式來提供知識信息.

圖1

由于導數知識繁雜分散，為方便教師的教、學生的學，將導數知識按照內容的內在聯系，把相關知識組合成一個學習模塊（網絡結構）如圖1所示，高中導數學習所遵循的主線是：平均變化率→瞬時變化率→導數的概念→研究函數→工具性價值.圖1的知識結構圖，既表征新的知識，又整合已有的知識，以增強學習的目的性，助力學生認知結構的構建.在理解導數相關知識點的同時，構建以“導數”為主題的圖式，強調知識間的內在聯系，有利于導數問題的全面把握.通過其中某一個知識點可因知識點間的聯系而聯想到其他的知識點，即發揮“牽一發而動全身”的效果，這樣在面對新的知識時，能夠及時提取信息，獲得新的方法和策略，特別是在處理綜合問題時，能夠為其提供多樣化的方法和策略.

由此可見，知識結構圖轉化成學生認知結構的過程就是一種推理過程，也就是說，整體性的思考過程是在發展學生的邏輯推理能力.如果割裂各知識點間的聯系，即使能減輕學生的學習壓力，也不能減輕處理綜合問題的負擔，阻礙學生的數學思維，不能幫助學生樹立數學應用意識.在教學過程中，教師可以根據實際情況，利用圖式理論處理數學知識結構，讓學生獲得一個明確的學習方向和知識點間的聯系.方便提取和再現的知識結構圖能夠發展學生的“邏輯推理、直觀想象”等數學核心素養，符合學生的認知發展規律，促進學生的最佳發展.

2 梳理邏輯，切準問題命脈

圖式會影響個體對問題的解決，而問題解決則是個體鞏固圖式的重要渠道.巧用圖式對數學知識進行甄別、組織、整合，構建一個有意義的結構框架，促進學生對新舊知識的銜接、理解、消化與應用.繪制適當的表解圖式是迅速表征和解決較為復雜問題的有力手段，往往有助于梳理知識間的邏輯關系或普遍規律，從而縮短審題時間，切準問題命脈，解題時可得心應手.

數列是一種特殊的函數，是揭示自然規律的基本數學模型，其主要內容是數列的概念與表示，教材中通過對生活實際問題的分析，建立等差數列和等比數列兩種數學模型.在數列的教學中，教師可以借助表1圖式（表解式）引導學生在探索中掌握與等差、等比數列相關的一些基本數量關系.

表1圖式的核心思想是類比推理，實際上，等差與等比在運算符號上有密切的聯系.教師可以通過表1引導學生觀察，啟發學生注意觀察數列模型的圖式（結構）特征，容易發現等差與等比之間的類比遵循上述表格所反映的規律.學習“等差數列和等比數列”的相關知識后，難免會有學生對一些具體知識一頭霧水，不能形成完整認知.此時，教師若用圖式進行銜接，將等差數列與等比數列進行“平行”學習（每學一個等差數列的性質后，就讓學生自主學習、獨立探索等比數列與之對應的性質），可形成一個交叉網絡，組織學生預測與推理以宏觀掌握數學發展的基本線索與數學基礎知識之間的關系，進一步對知識再整合、系統化，構建良好的知識網絡，完善自我知識體系.

所以，在圖式教學中，教師要引導學生：提取信息→加工信息→獲取方法→表解式表征，從而分析問題的解決途徑.教師引導學生構建適宜的表解式對問題進行表征，能夠發揮學生鞏固原有知識、激活聯想能力的功效;能夠培育學生的“邏輯推理、數學建模”等核心素養，培養學生的類比推理思想.

3 構建模型，深化數學思維

皮亞杰認為：“圖式描述的是具有一定概括程度的知識而不是定義.”將數學新舊知識間的聯系點加工成一個圖式，新的知識可轉化為已有認知結構中的相關概念，便于更好地掌握新知識.在數學復習課的教學中，教師可以從某一類具有相同屬性的數學知識或問題中提煉其本質屬性，再拓展到具有這類屬性的一切數學知識或問題中，從而以圖式的方式形成這類數學知識或問題的普遍概念.

空間垂直關系是高中數學課程中十分重要的內容，要掌握空間垂直的定義及定理和論證相關垂直問題并不那么簡單.定義、定理等屬于陳述性知識，必須從中整合成適合學生認知規律的相關概念圖式，也就是說，圖式不是零散的定義或定理，而是一句話和一個典型的樣例.對于空間垂直關系，教師可以通過圖2的圖式進行教學.

圖2的教學核心是將空間垂直關系濃縮成一個圖式“一句話+幾何體”，其中，“一句話”是指一條直線如果垂直于三角形的兩條邊，則必垂直于第三條邊;“幾何體”是指四個面均為直角三角形的三棱錐.這個圖式比較抽象，要注意的是，在解答垂直關系時，教師既要引導學生養成一種“由因導果”（綜合法）的思維習慣：線⊥線→線⊥面→面⊥面;也要培養學生的“執果索因”（分析法）這種逆向思維：面⊥面→線⊥面→線⊥線.而“執果索因”的分析法是非常抽象的.所以，對于一般的學生，最適合的一種程序型圖式教學是：將“一句話”與分析法緊密結合，借助圖式將空間的垂直關系結構化，然后組成一個模型，這樣具有代表性，并且減輕記憶負擔.

不難發現，教師引導學生借助已有的知識經驗及數學思維構建一種模型記憶的圖式，能夠培育學生的“直觀想象、數學抽象、數學建模”等核心素養，還能夠加強學生的文字、符號、圖形等語言間的轉換能力，從而培養學生的高階思維.

4 強干弱枝，實現遷移學習

圖式以一般期待的形式存在，并通過個體的知覺、記憶和推理過程來預測和控制個人的外部世界[4].在圖式的指導下，個體可以利用已有的知識經驗處理新的信息，進行由此及彼、舉一反三、靈活運用的訓練，在已知和未知之間形成遷移，激活個體的創造能力.數學圖式中的知識類型包括陳述性知識和程序性知識.數學圖式所具備的功能把個體存儲的零散知識點貫串起來，使學生能夠理清思維，靈活化記憶，對培育學生的創造思維起到啟迪作用.

如何讓學生進行遷移學習，對所學內容能夠觸類旁通、學以致用，達到靈活多變的程度？圖式能夠梳理知識點，建立記憶鏈條，搭建遷移學習的橋梁和紐帶.因此，教師把適宜的圖式應用到數學教學中，表達數學知識間的內在聯系，使隱性知識顯化，引導學生遷移學習.

例如，可設計圖3的圖式讓學生思考，如果圖3表示的是“原命題、否命題、逆命題、逆否命題”四種命題之間的關系，字母A，B，C，D分別代表哪種命題？括號中應填什么內容？這四種命題的真假性之間有什么關系？同時，若用小寫字母p，q表示命題的條件與結論，則四種命題如何表示？

教師可以依照圖3設計圖式，重組知識結構或留下空白，檢查學生的學習效果，幫助學生記憶.數學圖式中的“留白”是一種藝術表達方法，讓學生有豐富的想象空間，故而可將其作為一種教與學的策略，教師以此法激發學生獨立思考問題的欲望，培養學生學習的能動性、協作性和創造性，激勵學生學會學習，這樣將會提高學生的自學能力和反思性思維，還能發展學生的數學核心素養.

綜上，數學知識圖式的表達方式不是一成不變、封閉的，而是不斷演化、開放的，它能使學生鞏固知識，靈活記憶，加深理解，激發創造性.在圖式系統中，圖式因知識的延伸學習而深化思維，遷移受圖式驅動，智慧隨遷移閃爍，創新被智慧點亮，從而改變著學生的認知方式，豐富著學生的認知結構，使得問題顯化而更易于處理.

在數學教學中，嘗試從知識的脈絡、性質、概念、遷移等方面去探索圖式理論的應用，在一定程度上擴展知識的廣度，追求技能的深度，加強知識的同化.因此，數學圖式教學并非“填鴨式”教學，而是抓住知識的內涵與外延，進行有的放矢的數學教學，讓學生逐漸認識到數學的核心知識，內化知識結構體系，從而培養學生的數學核心素養.

【參考文獻】

[1]吳健.學生對周期函數概念的理解[D].上海：華東師范大學，2007：4-5[2007-10-01].

[2]陳素瓊.圖式理論在高中化學教學中的應用研究[D].福州：福建師范大學，2016.

[3]張文婷.概念圖在高中生物教學中的應用[D].揚州：揚州大學，2015.

[4]王星星.高中生化學圖形認知能力的探查[D].揚州：揚州大學，2012.