基于常微分方程中多種構(gòu)型在實(shí)際生活中的應(yīng)用

冼家煒 盛業(yè)青 黎進(jìn)吉 柳欣怡 潘嘉琪 呂銘

[摘 ? ? ? ? ? 要] ?現(xiàn)如今很多日常生活中的問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)解決，而數(shù)學(xué)模型的建立是聯(lián)系實(shí)際問(wèn)題和數(shù)學(xué)工具的重要橋梁，它讓數(shù)學(xué)工具得以運(yùn)用于實(shí)際生活問(wèn)題中。數(shù)學(xué)建模就是將現(xiàn)實(shí)生活中的現(xiàn)象轉(zhuǎn)化為理論模型，然后利用理論研究成果進(jìn)行后期預(yù)測(cè)。常微分方程是模擬一些實(shí)際問(wèn)題發(fā)展規(guī)律的重要數(shù)學(xué)工具之一。主要討論了多年來(lái)建立常微分方程數(shù)學(xué)模型的數(shù)學(xué)模型競(jìng)賽問(wèn)題及其原型，以及常微分方程數(shù)學(xué)模型在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，并分析了SIR模型在大學(xué)生戀愛(ài)模型中的相關(guān)應(yīng)用。

[關(guān) ? ?鍵 ? 詞] ?常微分方程;數(shù)學(xué)模型;生活實(shí)際

[中圖分類號(hào)] ?G642 ? ? ? ? ? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)志碼] ?A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?[文章編號(hào)] ?2096-0603（2021）06-0064-02

早在300多年前，常微分方程理論便被數(shù)學(xué)家提出來(lái)了，一開始是一門自然科學(xué)學(xué)科，在經(jīng)過(guò)多位科研工作者嘔心瀝血的研究后，它現(xiàn)在已經(jīng)發(fā)展成為一門理論意義與實(shí)踐應(yīng)用并重的學(xué)科。目前，常微分方程在許多學(xué)科中有著重要的應(yīng)用。本文列舉生活中有關(guān)常微分方程建模的一些實(shí)例，討論了常微分方程知識(shí)在數(shù)學(xué)建模中的相關(guān)應(yīng)用[1]。

一、常微分方程模型與全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模大賽

（一）火箭推進(jìn)力及升空速度（一階微分方程模型）

數(shù)模競(jìng)賽題目：

嫦娥三號(hào)軟著陸軌道設(shè)計(jì)與控制策略（2014年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A題）

在高速飛行條件下，嫦娥三號(hào)的關(guān)鍵問(wèn)題是著陸軌道和控制策略的設(shè)計(jì)，以保證在月球預(yù)定區(qū)域的精確軟著陸。根據(jù)課題要求，建立數(shù)學(xué)模型，確定著陸準(zhǔn)備軌道近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)的位置，以及嫦娥三號(hào)相應(yīng)速度的大小和方向;確定嫦娥三號(hào)的著陸軌道和最優(yōu)控制策略;對(duì)設(shè)計(jì)的著陸軌道和控制策略進(jìn)行誤差分析和靈敏度分析。

分析：在確定嫦娥三號(hào)著陸軌道和六個(gè)階段最優(yōu)控制策略時(shí)，實(shí)際上是建立燃料消耗、時(shí)間和衛(wèi)星速度之間的動(dòng)量守恒方程，在列出六個(gè)階段的方程后，經(jīng)過(guò)一系列的運(yùn)算，再列出等式，便可知這是一個(gè)可以建立一階微分方程模型來(lái)進(jìn)行求解的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題。最后我們便可以通過(guò)求解這個(gè)一階微分方程來(lái)得到火箭的最優(yōu)控制策略。

題目參考原型[2]：

一個(gè)簡(jiǎn)單的火箭模型由發(fā)動(dòng)機(jī)和燃料倉(cāng)組成。燃料燃燒從火箭的末端產(chǎn)生大量的氣體，給火箭一個(gè)向前的推力。火箭飛行受地球引力、空氣阻力、地球自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)的影響，使火箭起飛后做曲線運(yùn)動(dòng)。為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，現(xiàn)假設(shè)：（i）火箭在噴氣推動(dòng)下做直線運(yùn)動(dòng)，火箭所受的重力和空氣阻力忽略不計(jì)。（ii）從火箭末端噴出氣體的速度（相對(duì)火箭本身）為常數(shù)u。

（二）紅綠燈問(wèn)題（非齊次二階微分方程）

數(shù)模競(jìng)賽題目：

車道被占用對(duì)城市通行能力的影響（2013年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A題）

車道被占用的情況復(fù)雜多樣，正確估算車道被占用對(duì)城市道路通行能力的影響程度，將為交通管理部門正確引導(dǎo)車輛行駛、審批占道施工、設(shè)計(jì)道路渠化方案、設(shè)置路邊停車位和設(shè)置非港灣式公交車站等提供理論依據(jù)。

分析：在交通管理方案的設(shè)計(jì)中，設(shè)置黃燈的持續(xù)時(shí)間，一般都是由司機(jī)的反應(yīng)時(shí)間和車子的制動(dòng)距離所決定的，我們只要確定正常人看到黃燈并決定踩剎車的反應(yīng)時(shí)間和車輛的剎車距離。再根據(jù)牛頓第二定律列出相關(guān)方程可知這是一個(gè)可以建立非齊次二階微分方程模型進(jìn)行求解的實(shí)際問(wèn)題。通過(guò)求解該非齊次二階微分方程方程，便可以計(jì)算出黃燈的持續(xù)時(shí)間。

題目參考原型[2]：

在十字路口的交通管理中，黃燈應(yīng)該亮一段時(shí)間，然后紅燈亮。這是為了讓那些在十字路口開車的人注意一下，告訴他們紅燈就要亮了。如果能停車，應(yīng)立即剎車，以免闖紅燈違反交通規(guī)則。請(qǐng)根據(jù)實(shí)際數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)黃燈應(yīng)該亮多久。

二、模型在生活中的相關(guān)應(yīng)用：牛頓冷卻的妙用

現(xiàn)實(shí)生活中，常常有人或其他生物突然暴斃，雖然這些事情不常見，但卻是真實(shí)存在的，而牛頓冷卻定律就可應(yīng)用在這類生物尸體死亡時(shí)間的鑒定中?，F(xiàn)在假設(shè)警察發(fā)現(xiàn)一具尸體，要確定這具尸體的具體死亡時(shí)間，從而通過(guò)遇害者的具體死亡時(shí)間來(lái)精確地利用監(jiān)控去尋找犯罪嫌疑人，這里便可利用牛頓冷卻模型來(lái)鑒定遇害者的具體死亡時(shí)間。

當(dāng)受害者遇害身亡后，心臟停止跳動(dòng)，血液流動(dòng)停止，受害者的溫度從原來(lái)的人體正常溫度37攝氏度按照牛頓冷卻定律開始下降。現(xiàn)在假設(shè)周圍空氣的溫度保持在20攝氏度，那么根據(jù)牛頓冷卻定律，兩小時(shí)后尸體的溫度將會(huì)下降到35攝氏度。如果當(dāng)刑警找到遇害者尸體，對(duì)尸體進(jìn)行溫度測(cè)量時(shí)的溫度是30攝氏度，那么再聯(lián)系發(fā)現(xiàn)尸體的時(shí)間，刑警就可以得到受害者的死亡時(shí)間。

假設(shè)對(duì)尸體進(jìn)行溫度測(cè)量的時(shí)間是晚上十點(diǎn)整， 現(xiàn)在我們用H來(lái)表示溫度，用t來(lái)表示時(shí)間，H0表示初始溫度，那么可以列式為[3]：

于是，我們可以得知遇害者的遇害時(shí)間發(fā)生在晚上十點(diǎn)尸體發(fā)現(xiàn)前的8.4小時(shí)，即八個(gè)小時(shí)二十四分鐘。再考慮到一些不可避免的誤差，我們便可得出受害者的遇害時(shí)間大概是當(dāng)天下午一點(diǎn)三十分左右。刑警通過(guò)調(diào)查這個(gè)時(shí)間段的監(jiān)控便有可能快速鎖定犯罪嫌疑人。

同理，類似于日常生活中食物、汽水冷藏解凍等的最佳溫度也可運(yùn)用牛頓冷卻模型來(lái)進(jìn)行求解，這樣可以使那些想要喝到冰凍汽水的人，不至于冷藏過(guò)久而讓汽水結(jié)成冰，導(dǎo)致錯(cuò)過(guò)飲用冰凍汽水的最佳時(shí)間。人們做飯的時(shí)候，冷藏的肉類食品在做飯前的什么時(shí)間段拿出來(lái)解凍是一個(gè)難題，而通過(guò)運(yùn)用牛頓冷卻模型，人們便可以知道知道冷藏的肉類食品在做飯前的什么時(shí)間段拿出來(lái)解凍可以使肉類的口感最佳，不至于因?yàn)榻鈨龅臅r(shí)間不夠而導(dǎo)致肉類食品做出來(lái)的時(shí)候半生不熟。

三、SIR模型在大學(xué)生戀愛(ài)模型中的運(yùn)用——以五邑大學(xué)學(xué)生為例

由于我們的資料都來(lái)自互聯(lián)網(wǎng)以及書籍，缺乏現(xiàn)場(chǎng)的實(shí)際數(shù)據(jù)，從而導(dǎo)致無(wú)法精確地將常微分方程模型運(yùn)用于實(shí)際生活中去，因此為了檢驗(yàn)常微分方程模型的準(zhǔn)確性，提高常微分方程模型的實(shí)際可用性，我們選擇五邑大學(xué)在校學(xué)生為樣本數(shù)據(jù)來(lái)檢驗(yàn)常微分SIR模型的準(zhǔn)確性。

（一）SIR模型簡(jiǎn)介

SIR模型是一種傳播模型，是對(duì)信息傳播過(guò)程的抽象描述，是傳染病模型中的經(jīng)典模型，為傳染病動(dòng)力學(xué)的研究做出了奠基性的貢獻(xiàn)。SIR模型中將總?cè)丝诜譃橐韵氯悾阂赘姓?，其?shù)量用s（t）表示，代表當(dāng)時(shí)未感染該疾病但可能感染該疾病的人數(shù);染病者，其數(shù)量用i（t）表示，代表t時(shí)刻已感染并具有感染力的病人人數(shù);恢復(fù)者，其數(shù)量用r（t）表示，代表t時(shí)刻從受感染者中清除的人數(shù)。如果總?cè)丝跒镹（t），則N（t）=s（t）+i（t）+r（t）[4]。

（二）五邑大學(xué)學(xué)生戀愛(ài)模型的建立

我們?cè)赟IR模型的基礎(chǔ)上構(gòu)建大學(xué)生戀愛(ài)模型，將五邑大學(xué)在校學(xué)生分為以下三類：?jiǎn)紊碚撸⊿ingle），其數(shù)量用s（t）來(lái)表示，代表t時(shí)刻是單身狀態(tài)但可能戀愛(ài)的人數(shù);戀愛(ài)者（Lovers），其數(shù)量用l（t）來(lái)表示，代表t時(shí)刻正在戀愛(ài)狀態(tài)的人數(shù);失戀者（Brokenhearted），其數(shù)量用b（t）來(lái)表示，代表t時(shí)刻從戀愛(ài)狀態(tài)回到單身狀態(tài)的人數(shù)。

該戀愛(ài)模型基于以下因素：（1）不考慮五邑大學(xué)學(xué)生人口的休學(xué)、退學(xué)、死亡等動(dòng)態(tài)因素。即默認(rèn)五邑大學(xué)學(xué)生人口始終保持一個(gè)常數(shù)，就是N（t）≡K。（2）基于大學(xué)校園戀愛(ài)氛圍的特殊性，我們認(rèn)為戀愛(ài)者對(duì)單身者必然具有一定的影響力，即單身者會(huì)受到戀愛(ài)者的影響變得趨向于戀愛(ài)。假設(shè)在t時(shí)刻單位時(shí)間內(nèi)，在一個(gè)環(huán)境中單身者的數(shù)目與戀愛(ài)者的數(shù)目成正比，設(shè)比例系數(shù)為β，則β=單身人數(shù)/戀愛(ài)人數(shù)。（3）假設(shè)在t時(shí)刻，單位時(shí)間內(nèi)失戀者人數(shù)與戀愛(ài)者數(shù)量成正比，比例系數(shù)為γ，單位時(shí)間內(nèi)移出者的數(shù)量為γl（t），比例系數(shù)為γ，則γ=戀愛(ài)人數(shù)/失戀人數(shù)。

由此在SIR模型的基礎(chǔ)上，我們歸納類比得到大學(xué)生戀愛(ài)模型：

而我們所收集的有效問(wèn)卷顯示五邑大學(xué)大三年級(jí)學(xué)生的戀愛(ài)者人數(shù)占比為41.18%，如圖1，這與我們模型得到的數(shù)據(jù)相吻合，這表明微分方程模型可以應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)生活中，而戀愛(ài)者人數(shù)占比接近一半，這與我們收集到的有效問(wèn)卷數(shù)據(jù)中在進(jìn)入五邑大學(xué)前戀愛(ài)人數(shù)所占比例的20%相比較，可以清晰地了解到戀愛(ài)氛圍在大學(xué)生中更為普遍。

四、結(jié)語(yǔ)

本文列舉了幾種用常微分方程求解實(shí)際問(wèn)題的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型。雖然常微分方程的推導(dǎo)過(guò)程煩瑣，但是其結(jié)果卻相當(dāng)簡(jiǎn)明，并可以對(duì)生活實(shí)際中的問(wèn)題做出合理解釋，從而能夠有效解決一些生活實(shí)際中的問(wèn)題。

常微分方程模型在我們的日常生活中有很多實(shí)際應(yīng)用，但是如果要將其應(yīng)用到日常生活實(shí)際中去，關(guān)鍵是要得到一些常微分方程所需的數(shù)值。但是很多時(shí)候，就是因?yàn)槲覀儾荒苤滥承┥踔潦悄硞€(gè)具體的常微分方程所需的數(shù)值，導(dǎo)致我們不能得到最終的結(jié)果，即使模型建立了，它也不是一個(gè)精確的常微分方程模型，這樣，即使確切地得知這個(gè)常微分方程模型在日常生活中有著廣泛的功能，能夠解決很多日常生活中的問(wèn)題，但由于某個(gè)值是不可知的，所以無(wú)法在日常生活中實(shí)現(xiàn)。

所以在確切得知該常微分方程模型能夠在生活實(shí)際中有著廣泛應(yīng)用的前提下，如果能夠求解得到常微分方程模型所需的全部數(shù)據(jù)，就可以有效地解決許多日常生活中的實(shí)際問(wèn)題。

參考文獻(xiàn)：

[1]郭爽，侯麗英，李秀麗.常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2009（4）：57-60.

[2]姜啟源.數(shù)學(xué)模型（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2016.

[3]盧里舉.試論死亡時(shí)間的鑒定[J].中國(guó)校外教育，2014（33）：29.

[4]劉珺.SIR模型及其在投資者行為研究中的應(yīng)用[D].濟(jì)南：山東大學(xué)，2018.

編輯 李 爭(zhēng)

①基金項(xiàng)目：五邑大學(xué)2019年大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃項(xiàng)目（201911349272）;五邑大學(xué)2019年度本科教學(xué)質(zhì)量與教學(xué)改革工程建設(shè)項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：JX2019037）。

通訊作者：盛業(yè)青（1979—），女，漢族，安徽蕪湖人，碩士。