模李代數非限制表示中的傾斜模

李宜陽

（上海工程技術大學 數理與統計學院, 上海 201620）

0 引 言

令k是 特 征 為 素 數p的 代 數 閉 域,G是k上 的 簡 約 代 數 群, g =Lie(G) 是G的 李 代 數. 令g=n?⊕h⊕n+是 g 的三角分解, b+=h⊕n+是 Borel 子代數. 記R為李代數 g 的根系,U(g) 是李代數g的普遍包絡代數.U(g) 的中心元xp?x[p]作用在單 g -模E上為一個數χ(x)p, 其中χ∈g?. 這樣的χ稱為E的p-特征, 稱Uχ(g)=U(g)/Jχ是 g 的約化包絡代數, 其中Jχ=〈xp?x[p]?χ(x)p|x∈g〉是U(g) 的理想. 具有p-特征χ的 g -模范疇與Uχ(g) -模范疇是等價的(見文獻[1]中第2.7節). 當χ?=0 時,Uχ(g) -模稱為李代數 g 的非限制模, 相應的表示稱為非限制表示. 當χ=0 時,U0(g) 稱為限制包絡代數.U0(g) -模稱為李代數 g 的限制模. 應用Morita 等價(見文獻[2] 或文獻[3]), 一般非限制表示的研究可以歸結為當χ為冪零時的情形. 所以本文可以假設χ(b+)=0 . 令W是 g 的 Weyl 群,w0為W的最長元.

本文回答了這個問題: 當χ具有標準 Levi 型時, 非限制表示的傾斜模是投射的Uχ(g) -模. 本文用兩種方法證明了當χ具有標準 Levi型時, 一個Uχ(g) -模Q是傾斜模的充分必要條件是Q是投射模(見定理 3.1).

1 基本假設和概念

1.1 基本假設

令連通的簡約代數群G滿足以下三個假設[1]:

(H1)G的導子群DG是單連通的;

(H2)素數p對李代數 g 來說是好的;

(H3)存在 g 上G-不變的非退化雙線性型.

令T為G的一個極大環面,X(T) 為T的特征標群.X(T) 是一個秩為 d imT的自由交換群, 包含由根系R生成的子群 ZR.

對任意的α∈R, 令α∨表示α的余根,Wp為由sα,rp(r∈Z) 生成的仿射Weyl 群, 其中sα,rp是滿足sα,rp(μ)=μ?(〈μ,α∨〉?rp)α的仿射反射. 定義 Weyl 群元素w在λ上的點作用為:w.λ=w(λ+ρ)?ρ,其中ρ為正根和的一半.

1.2 誘導模

1.3 階化模

1.4 有限維代數的相關概念

令A是k上的一個有限維結合代數, “ ≤ ”是A的單模同構類{L(i)|i∈Λ}的指標集 Λ 上的一個固定的序. 令P(i) 是L(i) 的投射覆蓋,I(i) 是L(i) 的內射包絡. 標準模 ? (i) 定義為投射模P(i) 的滿足?(i)的所有合成因子的指標不大于i的極大商模. 余標準模?(i) 定義為內射模I(i) 的滿足?(i) 的所有合成因子的指標不大于i的極大子模. 內標準模 ? ˉ(i) 定義為滿足 [ ?ˉ(i):L(i)]=1 的標準模 ? (i) 的極大商模.余 內 標 準 模?ˉ(i) 定 義 為 余 標 準 模?(i) 的 滿 足 [?ˉ(i):L(i)]=1 的?(i) 的 極 大 子 模. 以 上 定 義 可 參 見 文獻[7].

給定一類A-模B, 記F(B) 為具有濾過因子在B中的濾過A-模范疇的滿子范疇.A作為左 (或右)A-模記為AA(或AA). 如果AA∈ob(F(?)) , 其中F(?) 表示過濾因子為標準的范疇, 稱 (A,≤) 為標準分層的.

定義 1.1[4]如果一個A-模T滿足T∈ob(F(?))∩ob(F(?ˉ)) (或T∈ob(F(?ˉ))∩ob(F(?)) ), 稱T為傾斜模 (或余傾斜模).

如果A是對稱代數, 存在A-雙模同構A～=A?且投射模也是內射模, 根據上面的定義可得,A-模范疇中的傾斜模的對偶在A?-模范疇中是余傾斜模. 所以對稱代數的模范疇中傾斜模和余傾斜模是一致的.

2 引理和定義

2.1 引 理

2.2 濾過的定義

2.3 濾過的性質

滿足

和性質:

滿足

和性質:

2.4 傾斜模的定義

根據上面的討論, (Uχ(g),≤) 是標準分層的, 在其模范疇中標準模、內標準模、余標準模和余內標

2.5 兩個上同調的引理

2.6 支柱簇

2.7 投射模

3 定理及其證明

根據引理2.4 可得 Φ (||g||Q)=0 . 于是Q是投射的, 即Q＾ 是投射模.

4 定理 3.1 的另一種證明

圖 1 交換圖Fig. 1 Commutative diagram