偶數維帶邊流形上的一類Kastler-Kalau-Walze類型定理

2021-06-03 09:29:46包開花孫愛慧夏令遠

華東師范大學學報(自然科學版) 2021年3期

包開花, 孫愛慧, 夏令遠

（1. 內蒙古民族大學數理學院, 內蒙古通遼 028000; 2. 吉林師范大學數學學院, 吉林四平 136000;3. 東北師范大學數學與統計學院, 長春 130024）

0 引言

非交換幾何框架下的非交換留數是定義在閉流形經典擬微分算子代數上的跡, 但它不是通常算子跡意義下的延拓. 低維流形上的非交換留數是由Adler[1]發現的, 而高維流形的非交換留數是由Wodzicki[2]和Guillemin[3]同時發現的. Connes[4]敏銳地發現Dirac算子逆平方的非交換留數與Einstein-Hilbert作用成比例, 現稱此結論為Kastler-Kalau-Walze定理(以下簡稱KKW定理). Kastler[5],Kalau等[6]分別獨立地證明了此定理. 這開創了非交換幾何框架下的非交換留數在重力作用方面的理論和應用, 為重力作用給出了一種算子理論解釋, 賦予了KKW定理非平凡的研究意義.

Wodzicki的結論是: 當底流形為非緊致或帶邊流形時, 經典擬微分算子代數上不存在跡形式. 在帶邊流形的情況下, 需要考慮不同的代數結構. Fedosov等[7]將經典的非交換留數在Boutet de Monvel代數上進行推廣, 得到帶邊流形上的非交換留數. Wang[8]將Connes的框架推廣到帶邊流形情形, 得到了帶邊流形的共形不變量. 進一步, Wang[8-10]結合Ponge[11]的工作, 用帶邊流形上的非交換留數定義了與無撓Dirac算子相關的帶邊流形上的低維體積, 并得到了這種情況下的KKW類型定理, 對帶邊流形上的重力作用給出一種算子理論解釋. 對于帶撓率的Dirac算子不能直接利用Fedosov,Ponge等給出的方法得到緊致帶邊流形的低維體積. Ackermann等[12]在偶數維Spin流形上證明了帶撓率的Dirac算子的Lichnerowicz公式. 近期, Pf?ffle等[13]在配有保度量聯絡的緊致黎曼流形上考慮了帶撓率Dirac算子的特征. 進一步, Pf?ffle等[14]考慮了在緊致黎曼流形上帶撓率的保度量聯絡的變化情況, 并結合誘導的Dirac算子、形變Dirac算子以及Chamseddine-Connes類型Dirac算子表示出了其譜作用. 在文獻[15-16]中, 筆者將文獻[8,13]中的結論進一步推廣, 對緊致帶邊Spin流形給出了帶撓率的Dirac算子相關的低維體積表示, 得到相應的KKW類型定理, 并導出了低維緊致帶邊Spin流形上的重力作用.

1 帶邊流形上關于帶撓率的Dirac算子的低維體積

設 (M,gM) 是n=2n+2 維定向帶邊黎曼流形, 邊界為?M且配備有固定的Spin結構. 設M上的度量gM有下面的形式:

2 偶數維帶邊流形上的一類Kastler-Kalau-Walze類型定理

本章將構建一類KKW類型定理. 首先計算帶撓率的Dirac算子的與本文相關的一些符號. 帶撓率的Dirac算子的定義、符號及相關的詳細內容請參看文獻[15]中的第二節, 本章不再詳細介紹相關的幾何環境. 設 (M,gM) 是n=2n+2 維定向帶邊黎曼流形, 邊界為?M且配備有固定的Spin結構. 那么由文獻[15]得出, 帶撓率的Dirac算子DT定義為