確定有限級數(shù)解的階數(shù)上界的一種n階展開方法

宋宸葦, 柳銀萍

（1. 華東師范大學 計算機科學與技術學院, 上海 200062; 2. 華東師范大學 數(shù)學科學學院, 上海 200241）

0 引 言

齊次平衡方法是構造非線性演化方程精確解的一種有效方法, 其中假設變換的階數(shù)是通過部分地平衡最高階項來確定的[1-7], 這就是所謂的齊次平衡原則. 下面以雙曲正切方法[8-13]為例, 簡要介紹齊次平衡原則.

考慮如下非線性演化方程

1 擴展的齊次平衡原則

在這一章中, 我們仍以雙曲正切方法為例來介紹擴展的齊次平衡原則的基本思想和步驟.

考慮非線性演化方程

其中u=u(x1,···,xn,t) .u(k)表示u的所有k階導數(shù)的集合, 比如u(1)={ut,ux1,···,uxn}. 假設

將它們依次代入原方程, 得到了一個關于 t anh(ξ) 的多項式方程, 這個多項式的階數(shù)列表為

基于已有的齊次平衡原則可建立如下階數(shù)方程

來確定階數(shù)m的值, 即忽略了si=sj的情況. 但是, 我們不能否定平衡這些情況的可能性, 因此, 本文將平衡條件重新定義為

? 整數(shù)性約束:m∈Z+;

? 平衡性約束:?i?=j,sim+di=sjm+dj;

? 最大性約束:?k?∈{i,j},sim+di≥skm+dk.

令

平衡點分類示意圖如圖1所示. 從圖1中可以看出, 有三類平衡點.

圖 1 平衡點分類示意圖Fig. 1 Schematic diagram for the classification of balance points

?B1,B2,B3不滿足最大性約束, 它們不是平衡點.

?B4,B5可以由平衡性約束唯一確定, 它們是第一類平衡點.

?B6不能由平衡性約束唯一確定, 但可以由最大性約束確定, 它是第二類平衡點.

?B7,B8及它們右側的一系列整數(shù)點滿足上述三個平衡條件, 但我們不能確定它們的上界, 它們是第三類平衡點.

本文提出了一種基于第三類平衡點來確定解的階數(shù)的n階展開法.

2 n階展開方法

我們注意到, 由于求導的緣故, 階數(shù)m不僅會出現(xiàn)在指數(shù)中, 還會出現(xiàn)在一些系數(shù)中. 通過考慮第一類和第二類平衡點, 我們可以確定階數(shù)m的上界. 通過考慮第三類平衡點, 即考慮最高n項的指數(shù)和系數(shù), 可能會獲得階數(shù)m的新的上界. 本文提出的n階展開方法的思路和步驟如下.

定義一個關于x的m次多項式的n階展開形式

其中

在雙曲正切方法中, 令

將它代入原方程, 得到的方程通常為關于 t anh(ξ) 的多項式方程. 我們考慮最高的n項, 即n階展開多項式. 下面定義了n階展開多項式的乘法、求導和加法規(guī)則.

n階展開多項式的乘法:

我們得到

值得注意的是, 雖然該方程的三類平衡點都存在, 但由于m的最終上界等于由第一類平衡點確定的上界, 因此沒有獲得新的解.

3 應用實例

在這一章中, 我們將擴展的齊次平衡原則和n階展開方法應用于幾個具體的非線性演化方程, 由此獲得了一些新的解.

例 1 考慮(1+1)維非線性演化方程[22]

根據(jù)第一類平衡點, 我們有 2m+3=3m+1 , 得到m=2 . 由于有兩個相等的階數(shù) 2m+3 , 根據(jù)第二類平衡點, 我們有 2m+3＞3m+1 , 從而得到m＜2 . 在這種情況下, 我們得到m的上界為m=1 . 該方程沒有第三類平衡點. 因此, 解的階數(shù)的最終上界為m=2 . 在此基礎上, 我們獲得了該方程的如下7個解:

4 結 論

本文進一步擴展了原有的齊次平衡原則, 考慮了更多的平衡可能性, 并提出了一種n階展開方法來確定解的新的階數(shù)上界. 將其應用到雙曲正切方法中, 通過三個具體實例可以看出, 基于n階展開方法確實可以獲得所求級數(shù)解的新的更高階數(shù), 并由此獲得了所考慮的非線性演化方程的一些新解.需要說明的是, 擴展的齊次平衡原則雖然具有普適性, 但第二類平衡點和第三類平衡點都是基于重復的階數(shù), 即只有當非線性演化方程的階數(shù)列表中有重復的階數(shù)時, 才能使用擴展的齊次平衡原則, 以此來獲得新的更高階數(shù)以及非線性演化方程更多的新解. 另外, 目前關于有限級數(shù)解的成果不限于行波解, 還可構造出更一般的有限級數(shù)解, 如CRE (Consistent Riccati Expansion)方法, 通過將行波變量替換為關于自變量的更一般的函數(shù), 從而可構造出更復雜的有限級數(shù)解, 特別是不同波之間的相互作用解.