不同基函數對LSM美式期權定價的影響

于 拓, 唐亞勇

(四川大學數學學院, 成都 610064)

1 引 言

不同于歐式期權，美式期權的期權持有人可以在期權到期日之前的任何時刻執行該期權.因此，我們無法用經典的B-S公式為美式期權定價.當前，對于美式期權的定價主要采用數值分析的方法.

對美式期權進行定價的常用數值方法有三類，其中的二項式方法和有限差分方法均采用逆向求解的方法.雖然它們可以用于美式期權定價，但是在處理具有多個標的資產的期權定價問題時這兩種方法均表現不好.蒙特卡洛模擬方法雖然在處理多個標的資產的期權定價問題以及有關路徑依賴的期權定價問題上具有明顯的優勢，但由于該方法采用正向求解方法，因而無法將某一時刻立即執行該美式期權的收益與繼續持有該美式期權的期望收益相比較，從而導致在計算過程中無法確定是立即執行期權還是繼續持有期權.2001年，Longstaff和Schwartz[1]提出了最小二乘蒙特卡洛法，解決了這一問題，進而該方法成為美式期權定價中最常用的一種方法.此后，許多學者對該方法進行了研究，如Guo和Loeper[2]討論了應用多個多項式基的最小二乘蒙特卡羅模擬法；Joshi和Kwon[3]對具有小偏差和單向偏差的最小二乘蒙特卡羅的信用值進行討論和調整；孫延維和雷建軍[4]利用圖形處理器優化實現了最小二乘蒙特卡洛模擬法的美式期權模擬定價系統；Mostovyi[5]分析了算法在行權日數增加時的穩定性，證明了如果股票價格的基本過程是連續的，等.

基于LSM算法，需要對當前標的資產價格S進行最小二乘回歸.選擇不同的基函數(通常是正交函數)將導致最終美式期權定價得到不同的結果[6-16].本文中我們將對不同的基函數對最小二乘蒙特卡洛法的影響進行討論.

2 美式期權

與歐式期權不同，美式期權在合約到期前的任何時刻都可以執行.由此直觀來看，美式期權持有者可以在期權到期之前的任意一天行權也就表示著美式期權持有者比歐式期權持有者享有更多權利，因而一般來說歐式期權的價格要小于美式期權的價格.其能否提前執行的標準是在某一時刻執行所獲得的價值是否大于不提前執行所獲得的價值，后者是后續存續期內期權的價值.值得注意的是，在期權的存續期內可能有多次提前執行的機會，而只有一次是最優的——只有一次可以使得期權的價值最大，此時的價值才是期權真正的價值.

由于美式期權的連續性，在討論美式期權時我們往往討論另一種期權——百慕大期權，它可以在到期日前的某一固定時間點行權，也就是說在某一系列的離散時間中百慕大期權的價值可以由最優截止問題給出.對于某一有限時間點集合0

當t=tn時，即在最后行權時，百慕大期權的價格應該等同于和其有著一樣標的歐式期權的價格，此時的歐式期權的價格可以由B-S方程給出，即Un=En=(K-Sn)+.由于百慕大期權可以在到期日前的某一固定時間點行權，所以我們需要找到一個使得執行美式期權以后可以獲得最大利潤的時停(最優時停).那么，在某一時刻tn，期權的持有者有著兩個選擇：

(i) 執行期權的收益En-1；

(ii) 保留期權的收益EQ[Un|Ftn-1]，

其中EQ為風險中性測度下的期望值(在風險中性概率測度下，任何期權的當前價值等于其未來支付期望值的折現)，F為一個σ-域.此時，某個百慕大期權在tn-1時刻的價值為

Un-1=max(En-1,EQ[Un|Ftn-1]).

問題的關鍵就變為求解EQ[Un|Ftn-1]的值，此時便可以用最小二乘法去近似求解.

3 正交多項式和LSM

運用最小二乘蒙特卡洛法(LSM)去近似求解美式期權最早由Longstaff和Schwarts于2001年給出.方法的核心就是經過引入最小二乘法來估計繼續持有某一期權的價值的條件期望，再通過比較在某一時刻立即執行該美式期權所獲得的收益與在該時刻所求得的繼續持有期權的價值的條件期望的大小，從而得出對于該路徑的美式期權的最優行權時刻.對于百慕大期權這種能夠在離散時間點行權的情形，需要求解的問題則變為在未來某一個固定的時間點繼續持有期權的價值的條件期望，這同樣也可以用LSM法進行求解.于是，對于tn-1,tn-2,…t1中的某一時刻tm-1，EQ[Um|Ftm-1]可以表示為可列個Ftm-1可測函數的線性組合.不妨假設該條件期望屬于Hilbert空間L2.則由最小二乘法有

EQ[Um|Ftm-1]=∑αjPj(X)，

其中X是一個馬爾科夫過程，αj是一組常數，Pj是一組基函數.于是可以得到如下算法：

Step 1輸入S0、K、T、σ、r、m、n,其中m為樣本路徑數，n為每年期 權可執行數;

Step 2生成一列服從標準正態分布的m維向量A(生成m條樣本路徑 數);

Step 3計算末尾的期權價格

及每個時期行權的收益(EV)

EVn=max(K-Sn,0);

Step 4從時間末尾開始逆向比較某一時期繼續持有期權和行使期權的收益;

Step 4.1令i=n-1,計算Si與EVi，

其中

Δt=T/n,

EVi=max(K-Si,0);

Step 4.2計算此時繼續持有期權的條件期望值(使用LSM法)

Step 4.2.1選擇所有j使得EVi(j)>0,計算回歸時所需的繼續持有期權時的價值(HV)

HVi(j)=EVi+1(j)e-rT;

Step 4.2.2選取某一組正交多項式Lk關于HVi做最小二乘回歸得到常系數a與回歸系數ak;

Step 4.2.3計算此時繼續持有期權的條件期望值E(HVi(j)),

E(HVi(j))=a+ak·Lk;

Step 4.3比較EVi(j)與E(HVi(j)),當EVi(j)

EVi(j)=EVi+1(j)e-rT;

Step 4.4i=i-1，i=0時停止;

Step 5計算期權價格

誤差

該算法可以選取一系列不同的正交多項式作為該最小二乘回歸的基函數，從而獲取一系列不同的獨立算法，進而比較不同的正交多項式對最終結果的影響.下面我們給出一些正交多項式并討論其對LSM算法結果的影響.

拉蓋爾多項式(Laguerre polynomials) 權函數

勒讓德多項式(Legendre Polynomials) 權函數

w(x)=1,

P0(x)=1,

P1(x)=x,

埃爾米特多項式(Hermite polynomials) 權函數

w(x)=e-x2,

H0(x)=e-x2,

H1(x)=e-x2·x,

H2(x)=e-x2(x2-1),

第一類切比雪夫多項式(Chebyshev polynomials of the first class) 權函數

Tn+1(x)=2xTn(x)-Tn-1(x)；

第二類切比雪夫多項式(Chebyshev polynomials of the second class) 權函數

Un+1(x)=2xUn(x)-Un-1(x);

廣義拉蓋爾多項式(generalized Laguerrepolynomials) 權函數

w(x)=xαe-x,

分別用這些正交多項式作為最小二乘回歸的基函數做LSM算法，并得出結果.

4 數值計算

取現價S0=36，期權協議價K=40，期權年限T=1，波動率σ=0.2，無風險利率r=0.06，樣本路徑數m=1 000，每年期權可執行數n=50T.使用R語言進行編程設計，計算結果如表1所示.

表1 第一個算例的計算結果

當我們改變參數而得到多組數據時，取S0=38,K=40,T=1,σ=0.2,r=0.06,m=1 000,n=50T，計算結果如表2所示.

表2 第二個算例的計算結果

再取S0=40,K=40,T=1,σ=0.4,r=0.06,m=1 000,n=50T，計算結果如表3所示.

表3 第三個算例的計算結果

最后，我們取S0=42，K=40，T=2，σ=0.4，r=0.06，m=1 000，n=50T，計算結果如表4所示.

表4 第四個算例計算結果

通過對參數進行不同選取，我們可以看出，選取不同的正交多項式作為基函數時其對得出的最終定價p和誤差e略有差異.綜合來看，勒讓德多項式(Legendre Polynomials)表現最好，第一類切比雪夫多項式(Chebyshev polynomials)表現較差.

本文主要討論使用最小二乘蒙特卡洛法(LSM)為美式期權定價時選取不同正交多項式作為基函數對最終結果的影響.首先，我們簡單介紹了美式期權(為了簡化模型而選用百慕大期權近似美式期權)及最小二乘蒙特卡洛法(LSM).在給出算法后，我們計算不同正交多項式作為基函數下使用最小二乘蒙特卡洛法對美式期權定價的結果.值得注意的是本文所使用的B-S模型過于理想化，并不符合實際應用計算.此外對于最小二乘法的改進形式如偏最小二乘法、加權最小二乘法也可以作進一步討論.