長周期地震動的能量反應譜

李宇，李琛，趙福志，李釗

（1.長安大學 公路學院，陜西 西安 710064；2.長安大學 建筑學院，陜西 西安 710064）

2003 年，在日本十勝沖地震中，苫小牧地區（震中距約225 km，PGA=89.2 gal）的儲油罐被破壞并引發火災；北海道許多橋梁也發生破壞，如Rekifune Bridge 跨中豎向位移達12 cm.2011 年，在東日本大地震中，東京都辦公大樓（震中距約300 km）地下3層的最大加速度僅為74 gal，而頂部（48 層）最大位移卻達65 cm；大阪府辦公大樓（震中距約700 km）頂部（52 層）最大加速度僅為131 gal，而最大位移卻達132 cm.可見，長周期地震動（遠場卓越周期偏大型地震動）對長周期結構有較大影響.此后，學者們開始真正地關注長周期地震，并研究了長周期地震作用下的超高層建筑結構[1-5]、基礎隔震結構[6-7]、隔震橋梁[8]、鋼筋混凝土框架[9-10]和風電機組[11]等長周期結構的地震響應.但是，上述研究僅停留在計算長周期結構地震響應的初步階段，還未能在長周期地震作用下進行長周期結構的抗震設計.究其原因，主要是由于缺乏抗震設計用的長周期地震反應譜.

目前，反應譜法仍是世界各國抗震規范中最主要的抗震設計方法，而反應譜則是該法的基礎.隨著長周期結構的日益增多，我國《建筑抗震設計規范》（GB 50011—2010）[12]、《鐵路工程抗震設計規范》（GB 50111—2006）[13]和《公路橋梁抗震設計規范》（JTGT 2231-01—2020）[14]分別將反應譜延伸至6 s、5Tg和10 s，但仍未能滿足工程應用要求，而且反應譜下降段也與實際長周期反應譜的特征不符（即特征周期Tg偏小、下降形式單一和幅值偏小）[15].因此，有必要針對長周期反應譜開展專門研究.

由于傳統地震儀的缺陷和大震級地震發生的概率較小，記錄到的長周期地震動時程并不多[15].因此，針對長周期地震動反應譜的研究還很少：張亮泉等[15]、李宇等[16]、Zhou 等[17]對長周期地震的彈性、彈塑性加速度和位移反應譜等進行了初步探索；陳清軍等[18]則選取了36 條長周期地震動記錄，對長周期地震的能量譜進行了研究.但是，由于他們所依據的長周期地震動記錄的數量太少，所得研究結果不具有統計意義，而且也沒有詳細討論長周期地震的非彈性能量反應譜.因此，本文通過對比長周期和常規地震動的特性，選取139 條長周期地震動記錄作為輸入，以期建立長周期地震動的彈性和非彈性輸入能量設計譜.

1 長周期地震動的特征

長周期地震動（臺灣集集地震的TCU018 和TCU094）和常規地震動（El Centro 波和天津波）的加速度時程（t 為時間，a 為加速度）如圖1 所示.通過傅里葉變換，可得其傅里葉幅值譜（如圖2 所示，f 為頻率，B 為幅值），可知：常規地震動的卓越頻率分布較寬，且集中在高頻（1～5 Hz）；而長周期地震動的卓越頻率分布較窄，且集中在低頻（0.1～1.0 Hz）.

將4 條地震動按同一PGA 調幅后，對比它們的彈性加速度和位移反應譜（Sat為加速度譜值，D 為位移譜值，T 為周期），從圖3 可知：在長周期段，長周期地震動的譜值要遠大于常規地震動，即長周期地震動對長周期結構（如大跨橋梁、超高層建筑）的影響很大.

圖2 長周期和常規地震動的頻率對比Fig.2 Comparison of the frequency of the long-period and conventional ground motions

圖3 長周期和常規地震動的反應譜對比Fig.3 Comparison of the response spectra of the long-period and conventional ground motions

2 長周期地震動的選取

根據長周期地震動記錄的挑選標準[16-19]：震中距較大；卓越頻率分布較窄，且集中在0.1～1.0 Hz 的低頻段；彈性加速度反應譜的峰值在中長周期段.從PEER、K-NET 和KIK-NET 中挑選了139 條長周期地震動記錄（6 級以上），并采用地震動數據處理軟件SeismoSignal 進行了濾波處理與基線校正，進而計算相關地震動參數.

根據文獻[20]：美國抗震設計規范的vs30（覆蓋層厚度為30 m 的剪切波速）≥510 m/s、260 m/s ≤vs30<510 m/s、150 m/s ≤vs30<260 m/s、vs30<150 m/s 的場地分別對應中國抗震設計規范[12-14]的場地SiteⅠ～Ⅳ.因此，可將139 條長周期地震動記錄按中國抗震設計規范[12-14]的場地標準進行分類，見表1：Site Ⅰ有38 條，Site Ⅱ有40 條，Site Ⅲ有41 條，SiteⅣ有20 條.

再以139 條長周期地震動記錄作為激勵，計算Ⅰ～Ⅳ類場地的動力放大系數β（阻尼比ξ=5%，周期為T），并與規范[14]的β 曲線進行對比（見圖4），從中可知：統計所得的β 曲線與規范值符合較好.可見，本文所選用的長周期地震動記錄符合規范要求.

圖4 β 的對比Fig.4 Comparison of β

2 非彈性地震能量譜的基本原理

將式（1）對x（t）積分，則[22]：

表1 選取的長周期地震動記錄Tab.1 Selected long-period ground motion records

式中：k1為恢復力模型初始剛度.

再定義滯回耗能比λH和阻尼耗能比λD，以評價系統的滯回耗能能力和阻尼耗能能力，即：

在地震作用下，計算具有不同周期T、阻尼比ξ和位移延性比μ 的非彈性SDOF 體系的各類能量響應的最大值，進而繪制輸入能量譜SEI、滯回耗能譜SEH、阻尼耗能譜SED、滯回耗能比譜SλH、阻尼耗能比譜SλD[18].則對于單位質量（m=1）的非彈性SDOF 體系，有：

注意：當非彈性SDOF 體系的m≠1 時，以上各能量譜值應乘以m 后，才能得到各類能量響應.

下文將考慮周期（T=0.01～20 s）、恢復力模型、屈服后剛度比（η=k1/k2=0.0～0.05，k2為二次剛度）、位移延性比（μ=xmax/xy=l.0～5.0，xmax為最大位移，xy為屈服位移）、阻尼比（ξ=2%～14%）、震級（MW）、場地、地震峰值加速度（PGA）的影響，利用BISPEC 程序，研究長周期地震的非彈性能量譜（SEI、SEH、SED、SλH、SλD）.

3 恢復力模型參數的影響

3.1 恢復力模型

以Ⅱ類場地為例，將40 條長周期地震動記錄的PGA 調幅為0.15g，采用考慮剛度退化的Takeda 模型和無剛度退化的雙線性模型（圖5），并取η=0.05、ξ=5%、μ=1.0～5.0，采用BISPEC 計算SEI、SEH、SED、SλD、SλH的平均值.

圖5 恢復力模型Fig.5 Restoring force models

從圖6 可知，當μ 相同時：1）無剛度退化模型的能量譜峰值平臺段要長于剛度退化模型的能量譜峰值平臺段，而且無剛度退化模型的特征周期也要大于剛度退化模型的特征周期；2）在中短周期段，無剛度退化模型的能量譜值要小于剛度退化模型的能量譜值，而在中長周期段則反之.可見，相比于剛度退化模型，無剛度退化模型能量譜的峰值平臺、特征周期和中長周期段譜值都要長或大，即采用無剛度退化模型的能量譜值對長周期結構進行抗震設計，會偏于保守.

從圖7 可知，當μ 相同時，在中短周期段，2 種模型的SλH和SλD的譜值差距較大，但隨著T 的增加，SλH和SλD的譜值逐漸趨于一致.可見，長周期結構的周期越長，恢復力模型對塑性鉸滯回耗能能力和系統阻尼耗能能力的影響就越小.

圖6 恢復力模型對長周期地震能量反應譜的影響Fig.6 Effect of restoring force models on the energy response spectra of the long-period ground motions

圖7 恢復力模型對SλH 和SλD 的影響Fig.7 Effect of restoring force models on the SλH and SλD

文獻[23]研究了恢復力模型對常規地震能量譜的影響，與本文的研究結果對比后可知：

1）恢復力模型對常規地震能量譜的影響隨著μ的增加而減小，特別是當μ>5 后，恢復力模型的影響可以忽略；但是，恢復力模型對長周期地震能量譜的影響則隨著μ 的增大而越加顯著.

2）不同恢復力模型對應的常規地震能量譜的峰值平臺段的長度和位置沒有太大區別；但是，相比于雙線性模型，Takeda 模型的長周期地震能量譜的峰值平臺段的長度更短而且更靠后（原點方向）.

3.2 屈服后剛度比

以I 類場地為例，將38 條長周期地震動記錄的PGA 調幅為0.15g，采用Takeda 模型，取μ=1.0～5.0、ξ=5%，采用BISPEC 計算η=0、0.025、0.05 的SEI、SEH、SED、SλD、SλH的平均值.

從圖8、圖9 可知：當μ 相同時，η 對SEI、SEH、SED、SλD、SλH的影響可以忽略，即在統計長周期地震能量反應譜時，可以不考慮η 的影響.

圖8 η 對長周期地震能量反應譜的影響Fig.8 Effect of η on the energy response spectra of the long-period ground motions

圖9 η 對SλH 和SλD 的影響Fig.9 Effect of η on the SλH and SλD

文獻[24]研究了η 對常規地震能量譜的影響，從中可知：η 對常規地震的能量譜譜值的影響很小.這與η 對長周期地震的能量譜的影響結論相同.可見，無論是何種類型的地震動，η 對地震能量譜的影響都是可以忽略的.

芬蘭財政部近日預測，2018年芬蘭經濟增長率為2.5%，2019年將放緩至1.5%。芬蘭央行預測，2018年芬蘭經濟增長率為2.7%，2019年將放緩至1.9%，2020年將進一步降至1.7%。芬蘭經濟的高速增長期已經過去，現在應該采取預防性措施，為今后可能出現衰退做好應對準備。分析人士認為，經濟增長放緩將導致稅收減少，從而影響當前芬蘭政府的龐大福利開支。如何在維持目前公共開支水平的同時，保持政府可持續運轉，將是芬蘭政府今后面臨的首要任務。

3.3 阻尼比

以I 類場地為例，將38 條長周期地震動記錄的PGA 調幅為0.15g，采用Takeda 模型，取η=0.05，μ=l.0～5.0，采用BISPEC 計算ξ=2%、5%、10%、14%時的SEI、SEH、SED、SλD、SλH的平均值.

從圖10、圖11 可知：隨著ξ 增大，SEI峰值、SEH和SλH都逐漸減小，SEI長周期段譜值、SED和SλD都逐漸增大，而SEI峰值平臺長度和特征周期則變化較小.可見，ξ 的增大，對SEI有削峰作用，并會增大SEI長周期段譜值，但不改變SEI峰值平臺長度和特征周期；另外，隨著ξ 增大，塑性鉸的滯回耗能能力降低，而系統的阻尼耗能能力提高.

圖10 ξ 對長周期地震能量反應譜的影響Fig.10 Effect of ξ on the energy response spectra of the long-period ground motions

圖11 ξ 對SλH 和SλD 的影響Fig.11 Effect of ξ on the SλH and SλD

文獻[24]研究了ξ 對常規地震能量譜的影響，與本文的研究結果對比后可知：ξ 對常規地震和長周期地震的SEH和SED影響相同（隨著ξ 增大，不同類型地震的SEH減小而SED增大）；但是，ξ 對不同類型地震的SEI長周期段的影響則不同（隨著ξ 增大，常規地震的SEI的長周期段的譜值減小，而長周期地震的SEI的長周期段的譜值則增大）.

3.4 位移延性比

以Ⅱ類場地為例，將40 條長周期地震動記錄的PGA 調幅為0.30g，采用Takeda 模型，取η=0.05、ξ=5%，采用BISPEC 計算μ=1.0～5.0 時的SEI、SEH、SED、SλD、SλH的平均值.

從圖12 可知：隨著μ 的增大，SEI和SED的峰值減小，SEH峰值變化較小，SEI和SEH的峰值平臺段增長，并往短周期方向移動，它們的特征周期也相應減小.可見，μ 的增大，對SEI和SED有削峰作用，并使SEI和SEH的峰值平臺段往短周期方向移動，并減小它們的特征周期.

圖12 μ 對長周期地震能量反應譜的影響Fig.12 Effect of μ on the energy response spectra of the long-period ground motions

從圖13 可知，當其他條件相同時，在中短周期段，隨著μ 的增大，SλH增大而SλD則減小；但隨著T的增加，SλH和SλD的譜值逐漸趨于一致.可見，隨著μ的增加，塑性鉸的滯回耗能能力都提高，而系統的阻尼耗能能力則降低；另外，長周期結構的周期越長，μ對塑性鉸滯回耗能能力和系統阻尼耗能能力的影響就越小.

圖13 μ 對SλH 和SλD 的影響Fig.13 Effect of μ on the SλH and SλD

文獻[24]研究了μ 對常規地震能量譜的影響，與本文的研究結果對比后可知：μ 對常規地震和長周期地震的SEI和SED的影響規律相同（隨著μ 增大，SEI和SED都逐漸減小），但對與μ 聯系最緊密的SEH的影響規律則不同（隨著μ 增大，常規地震的SEH的峰值平臺段后移（往原點方向））、平臺段縮短、峰值增大，相反地，長周期地震的SEH的峰值平臺段后移、平臺段延長、峰值降低）.

4 地震動特性的影響

4.1 震級

從圖14 可知，隨著MW的增大，SEI、SEH、SED隨之增大.這是因為MW越大，地震釋放的能量就越多，使得結構地震能量響應也越大.

圖14 MW 對長周期地震動能量反應譜的影響Fig.14 Effect of MW on the energy response spectra of the long-period ground motions

從圖15 可知：隨著MW的增大，SλH減小而SλD增大.可見，MW越大，結構的損傷也就越大，塑性鉸的滯回耗能能力下降，結構將主要依靠阻尼來消耗地震能量.

圖15 MW 對SλH 和SλD 的影響Fig.15 Effect of MW on the SλH and SλD

4.2 場地

將139 條長周期地震動記錄的PGA 調幅為0.30g，采用Takeda 模型，取η=0.05、ξ=5%、μ=3.0，采用BISPEC 計算I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ類場地的SEI、SEH、SED、SλD、SλH的平均值.

從圖16 可知：隨著場地土質的變軟，SEI、SEH、SED隨之增大.這是因為場地土越軟，場地與長周期地震動的卓越周期就越接近，進而導致結構地震能量響應的放大.

從圖17 可知：隨著場地土變軟，SλH減小而SλD增大.可見，場地土越軟，塑性鉸的滯回耗能能力就越低，而系統的阻尼耗能能力則提高.

圖16 場地對長周期地震能量反應譜的影響Fig.16 Effect of the site classification on the energy response spectra of the long-period ground motions

圖17 場地對SλH 和SλD 的影響Fig.17 Effect of the site classification on the SλH and SλD

4.3 PGA

以Ⅱ類場地為例，將40 條長周期地震動記錄的PGA 分別調幅為0.05g、0.10g、0.30g 和0.40g，采用Takeda 模型，取η=0.05、ξ=5%、μ=1.0～5.0，采用BISPEC 計算SEI、SEH、SED、SλD、SλH的平均值.

從圖18、圖19 可知：隨著PGA 的增大，SEI、SEH、SED隨之增大；同一PGA 下，隨著μ 的增大，SEI、SEH、SED逐漸減小；若結構的μ 相同，則可忽略PGA 對SλH和SλD的影響；另外，若以0.10g 的SEI為基準，則：

圖18 PGA 對長周期地震能量反應譜的影響Fig.18 Effect of the PGA on the energy response spectra of the long-period ground motions

圖19 PGA 對SλH 和SλD 的影響Fig.19 Effect of the PGA on the SλH and SλD

可見，若已知某基準PGAref下的SEI，ref，則其他PGAoth下的SEI，oth可根據PGAoth與PGAref比值的平方調整得到.

5 長周期地震輸入能量設計譜

5.1 長周期地震彈性輸入能量設計譜

以139 條長周期地震動記錄作為輸入，采用BISPEC 計算四類場地的長周期地震彈性輸入能量譜的平均值NE1（見圖20，PGAref=0.25g，對于長周期結構取ξ=2%），再采用三段式擬合函數[18，25]和最小二乘法對NE1進行擬合：

式中：NEI為的擬合值，即下文的長周期地震彈性輸入能量設計譜；NEImax為NEI的平臺段峰值；T1為峰值平臺起始周期；Tg為峰值平臺結束周期；r 為衰減指數；Δmin為最小誤差.

在此基礎上，可得四類場地NEI的擬合參數（見表3），并繪制NEI（見圖20），而其他PGA 下的NEI可根據4.3 節結論，由PGAoth與PGAref比值的平方調整得到.

表1 NEI 的擬合參數Tab.1 Fitted parameters of NEI

圖20 長周期地震彈性輸入能量設計譜Fig.20 Elastic long-period input energy design spectra

5.2 長周期地震非彈性輸入能量設計譜

5.2.1 μ 和ξ 對非彈性輸入能量譜形狀的影響

以Ⅱ類場地為例，將40 條長周期地震動記錄的PGA 調幅為0.25g，采用Takeda 模型，并取η=0.05、ξ=2%，用BISPEC 計算μ=1.0～6.0 的非彈性輸入能量譜（SEI，ξ=2%，μ）和彈性輸入能量譜（SEI，ξ=2%，μ=1）的比值R1（見圖21），對其擬合后得：

圖21 μ 對R1 的影響Fig.21 Effect of μ on R1

以Ⅱ類場地為例，將40 條長周期地震動記錄的PGA 調幅為0.25g，采用Takeda 模型，取η=0.05、μ=4.0，再用BISPEC 計算不同ξ 的非彈性輸入能量譜（SEI，ξ，μ=4）和ξ=2%的非彈性輸入能量譜（SEI，ξ=2%，μ=4）的比值R2（圖22），對其擬合后得：

圖22 ξ 對R2 的影響Fig.22 Effect of ξ on R2

同理，其他三類場地的R1和R2擬合公式也可用上述方法獲得.可見，具有不同μ 和ξ 的長周期地震非彈性輸入能量譜（SEI，ξ，μ）與ξ=2%的長周期地震彈性輸入能量譜（SEI，ξ=2%，μ=1）之比KT，ξ，μ為：

5.2.2 μ 和ξ 對非彈性輸入能量譜峰值的影響

以Ⅱ類場地為例，將40 條長周期地震動記錄的PGA 調幅為0.25g，采用Takeda 模型，取η=0.05，并用BISPEC 計算對應不同ξ 和μ 的非彈性輸入能量譜峰值（SEImax，ξ，μ）和ξ=2%的彈性輸入能量譜峰值（SEImax，ξ=2%，μ=1）的比值β.圖23 為β 的均值加1 倍方差的結果，對其擬合后得：

圖23 μ 和ξ 對β 的影響Fig.23 Effect of μ and ξ on β

同理，其他三類場地的β 擬合公式也可用上述方法獲得.

5.2.3 建立長周期地震非彈性輸入能量設計譜

對5.1 節建立的長周期地震彈性輸入能量設計譜（圖20 的NEI）進行調整，以建立長周期地震非彈性輸入能量設計譜（PEI）.步驟如下：

1）將NEImax乘以β，可得PEI的平臺峰值PEImax，即PEImax=NEImax×β；

2）將Tg代入式（14）可得KTg，ξ，μ，再定義譜值調整系數γ（式（16）），將NEI的T >Tg段的譜值乘以γ后，可得到PEI的T>Tg段的譜值.

3）其他PGAoth下的NEI可根據4.3 節結論，由PGAoth與PGAref比值的平方調整得到.

在此基礎上，以PGA=0.15g、ξ=2%、μ=4.0 為例，繪出四類場地的長周期地震非彈性輸入能量設計譜PEI，如圖24 所示.

圖24 長周期地震非彈性輸入能量設計譜Fig.24 Inelastic long-period input energy design spectra

6 結論

選取了139 條長周期地震動記錄作為輸入，研究了恢復力模型動力參數和地震動特性對長周期地震能量反應譜的影響，得到以下結論：

1）相比剛度退化模型，無剛度退化模型能量譜的峰值平臺、特征周期和中長周期段譜值都要長或大；可以忽略η 對長周期地震能量反應譜的影響；ξ對SEI有削峰作用，會增大SEI長周期段譜值，但不改變SEI峰值平臺長度和特征周期；μ 對SEI和SED有削峰作用，會減小SEI和SEH的特征周期；隨著T 或μ 的增大，各種因素對塑性鉸滯回耗能能力和系統阻尼耗能能力的影響減小.

2）與常規地震能量譜的研究結果對比可知：恢復力模型對常規地震能量譜的影響隨著μ 的增大而減小，但恢復力模型對長周期地震能量譜的影響則十分顯著；無論是何種類型的地震動，η 對地震能量譜的影響都可以忽略；ξ 對常規地震和長周期地震的SEH和SED影響相同，但是，隨著ξ 增大，常規地震的SEI的長周期段譜值減小，而長周期地震的SEI的長周期段譜值則增大；μ 對常規地震和長周期地震的SEI和SED的影響相同，但是，隨著μ 增加，常規地震的SEH的峰值平臺段后移（往原點方向）、平臺段縮短、峰值增大，而長周期地震的SEH的峰值平臺段后移、平臺段延長、峰值降低.

3）MW越大，結構損傷也越大，使得塑性鉸滯回耗能能力下降；場地越軟，長周期地震能量譜值越大，塑性鉸滯回耗能能力降低，而系統阻尼耗能能力則提高；若已知某基準PGAref下的能量譜，其他PGAoth下的能量譜可根據PGAoth與PGAref比值的平方調整得到.

在此基礎上，采用三段式擬合函數，建立了長周期地震彈性輸入能量設計譜NEI，并擬合了μ 和ξ 對長周期地震能量譜的影響公式，進而通過調整NEI譜值，以得到長周期地震非彈性輸入能量設計譜PEI，可為長周期結構（如超高層建筑、大跨度橋梁）基于能量的抗震設計提供譜依據.