“初等數論”課程教學對師范生數學能力培養的研究

劉 雙,唐海軍,蒲雙艷

(1.四川文理學院 數學學院; 2.四川 達州中學, 四川 達州 635000)

0 引 言

隨著《高中數學課程標準(2017版)》的實施,新一輪義務教育課程改革也在如火如荼的進行中.嚴士健教授曾指出“教改的關鍵是教師問題”,而教育部2011年頒發的《教師教育課程標準(試行)》中也明確提出:教師教育課程應引導未來教師樹立正確的專業理想,掌握必備的知識與技能.[1]對于大學數學專業師范生(以下簡稱數學師范生)掌握基本的知識固然重要,但數學能力的培養也不容小覷.作為未來中小學數學教育的中堅力量,數學師范生數學能力的培養一方面是為了滿足自身專業發展,為將來的教育教學工作打下堅實基礎.另一方面有利于提升就業核心競爭力,更好的服務于社會.目前,普遍認為“能力是指人們順利完成某種活動的一種必需的個性心理特征”,但國內外學者對數學能力的概念和組成成分的探討異常激烈,提出的數學能力已達數百種,其中包含邏輯思維能力、運算能力、空間想象能力、實踐能力、創新能力以及發現問題等.[2]不同群體所從事的工作性質和內容的不同決定了他們應該具有的數學能力的差異性,因此劉喆等人對于數學師范生這一特定對象的數學能力進行了深入研究,提出了數學師范生的數學能力構成要素.[3]

好的數學教育是在促進人的發展的同時服務于社會的,想要培養出適應社會發展的數學人才,這需要在高校的數學課程中去實現.而初等數論(Elementary Number Theory)又稱為整數論,是數學師范專業的一門基礎性課程,主要開設在大三或大四階段.其在計算科學、組合數學、密碼學、代數編碼和計算方法等領域內有著廣泛的應用,又與中小學數學教學有較強的聯系.目前,從數學師范生專業教學的視角,立足于初等數論課程,探究師范生數學能力培養的研究還較為缺乏.因此以“初等數論”課程教學為例,對數學師范生數學能力培養的內容和策略展開探究具有重要的意義.通過查閱大量文獻,結合筆者多年的初等數論教學實踐,構建了初等數論課程教學對數學師范生能力培養的結構圖(如圖1所示).

圖1 初等數論教學對數學師范生的能力培養結構圖

1 數學能力培養的內容

1.1 運算求解能力的培養

數學師范生運算求解能力的培養貫穿其整個學習生涯,而通過初等數論的學習,此能力可在中學的基礎上得以進一步升華.比如:

求解：如果今天是星期一,問從今天起再過101010天是星期幾？[4]

這類問題貼近生活且充滿趣味,不難想到運用除法求解.但數字“101010”的出現,讓中小學方法在求解中出現一定困難.事實上,這個問題可以理解為“若101010+1被7除的非負最小剩余為r,則這一天就是星期r(當r=0時是星期日)”.由歐拉定理得106≡1(mod7),又：

1010≡(-2)10≡1024≡4(mod6),

所以：

1010=6k+4(k∈Z),101010+1≡106k+4+1≡104+1≡34+1≡5(mod7)從而：

利用同余理論運算求解得到這一天是星期五,其解題過程屬于高等教育內容,但立足點卻是初等數學內容,拓展了師范生運算求解能力.

1.2 演繹推理能力的培養

數學以嚴密的邏輯性著稱,初等數論的學習對演繹推理有著較高的要求.比如:在不定方程教學內容的“勾股數”小節里,其主要目的是研究一種特殊形式的二次不定方程x2+y2=z2的一切解,教師在該節內容的教學中可以采用三步走的方式進行,著重培養師范生演繹推理的能力.

第一步融入數學文化,引出探索主題. 先以《周髀算經》記載的“勾廣三,股修四,徑隅五”(即勾三,股四,弦五的原始提法)列出等式“32+42=52”,進而聯系中學的勾股定理三邊關系式“x2+y2=z2”,給這樣的方程下定義,并引發思考“x2+y2=z2還有其他解嗎?如何求解?”.接下來以劉徽的《九章算術》里“短面曰勾,長面曰股,相與結角曰弦,勾短其股,股短其弦”引出幾組解“5,12,13；8,15,17；7,24,25；20,21,29”,同時加入古希臘數學家畢達哥拉斯相關研究等國外數學文化素材,以體現數學文化的博大精深.從特殊到一般,從具體到抽象,步步深入教學主題.

第二步去粗取精,提煉問題本質. 該方程滿足xyz=0的解很容易求得,將其稱為顯然解.滿足xyz≠0的解稱為非顯然解.根據方程的對稱性,只需求出一切正整數解就可以了.

因此假定:x>0，y>0，z>0.若:(x,y)=d>1,則d2|x2+y2,即：d2|z2,d|z.此時方程的兩邊可以約去d,因此可以再假定(x,y)=1,同時考慮到此時x和y中一定是一奇一偶,不妨假定2|x.從而得出想要求出不定方程x2+y2=z2的一切解,只需要求出滿足上述三個假定的一切正整數解就可以了.這一過程是對問題本質的高度概括和抽象.

第三步嚴密論證,挖掘解法.可以先給出定理內容,然后引導師范生執果索因,經過嚴密的邏輯推理證得:

定理“不定方程x2+y2=z2的適合條件x>0,y>0,z>0,(x,y)=1,2|x的一切正整數解可以用下列公式表示出來x=2ab,y=a2-b2,z=a2+b2,a>b>0,(a,b)=1,a和b一奇一偶.”[4]

數論教學內容里有很多定理和性質需要去證明,這就體現出對演繹推理能力的較高要求.若能夠加以有效引導,師范生的這一能力將在初等數論課程學習過程中得到較好的培養.教學中需要在注重引導學生掌握知識和技能的同時,領會其中蘊含的數學思想方法,并潛移默化的形成良好的數學能力.

1.3 抽象概括能力的培養

高度的抽象性是數學學科的三大特征之一,這一特征在“初等數論”這一小分支里得以充分體現.比如:整除、帶余數除法、最大公因數、最小公倍數等概念及其性質,在初等數論里以概括程度較高的抽象方式呈現,而在中小學的相關教學內容則是取具體數字進行講解和計算,其學習過程對數學師范生的抽象概括能力起作良好的培養作用.教學中可充分利用“具體-抽象-具體”的思維過程,幫助他們理解概念,養成站在高觀點下看初等數學的思維習慣.

例如: 某數被7、11、13整除的特征是這個數的末三位數字所表示的數與末三位以前的數字所表示的數之差能被7、11、13整除.

這是一個具有高度抽象概括特征的結論,通常中學老師會要求學生記憶并直接運用于解題,而學生往往知其然而不知其所以然.在教學中,讓同學們隨意寫出滿足要求的數字,這似乎很容易做到,當詢問這個結論為什么成立時,卻又不知如何作答.可設具有這個特征的數：

a=an·10n+an-1·10n-1+…+a0，令M=a2·102+a1·10+a0，

N=an·10n-3+an-1·10n-4+…+a3，

因而：a=N×1000+M=N×1001+(M-N).

因為：1001=7×11×13,7|a,11|a,13|a,

所以：7|(M-N),11|(M-N),13|(M-N).

利用整除理論對中學結論加以證明和推導,這時師范生在初等數論的學習過程中解除了以往的疑惑,獲得了學習的成就感,學習的動力自然也會增加不少,接下來他們就可以放心的將這個結論運用于今后的解題和中小學數學教學.整個內容的教學過程“舉滿足條件的例子-證明過程-結論的具體運用”和“具體-抽象-具體”的思維過程相對應,對數學師范生抽象概括能力的培養起作重要的作用.這樣的內容在初等數論中并不少見,在教學中要善于挖掘這類素材,有針對性的對師范生的數學抽象概括能力進行培養,才能更好的實現數論知識和課堂教學的價值.

1.4 直觀想象能力的培養

初等數論雖然是一門代數類課程,但數論知識在歐幾里得的《幾何原本》中卻是以幾何的形態呈現,其中第7、8、9卷這三卷內容講解數論知識,涉及22個定義和102個命題.不妨將其適當融入教學中,用以提升師范生的直觀想象能力.比如:

命題VII.1“設有不等兩數,從大數中連續減去小數直到余數小于小數,再從小數中連續減去余數直到小于余數,這樣一直下去,如果余數測不盡其前一個數,直到最后的余數為一個單位,那么該二數互質.”[5]

這一命題描述的其實就是輾轉相除法,在西方常被稱作歐幾里得除法,也是我國古代數學著作《九章算術》中提出的“更相減損術”.其在《幾何原本》中的證明過程主要是結合線段直觀的進行邏輯推理證明,在教學過程中,可與其代數證明方法結合講解,建立代數與幾何的聯系,促進師范生對其的理解和掌握,培養師范生的直觀想象能力.

1.5 數學建模能力的培養

初等數論知識在組合數學、密碼學和代數編碼等領域的廣泛應用性是有目共睹的.但在實際教學中往往采用的是重理論而輕實踐的教學模式,導致學生對初等數論的認識大多局限于理論,很少真正體會學習這門課程的實用性.

例如: 教師在對同余理論內容進行章末小節的時候,可以參考潘承洞等人主編的《初等數論(第三版)》中“制作循環比賽的程序表”這一實踐課題:

設有N個籃球隊進行循環比賽,每個隊都要和其他的隊伍進行N-1場比賽.這樣至少要進行N-1輪比賽才能使各個球隊之間都進行了比賽.

這個課題里有兩個值得思考的問題,一是為了實現循環賽,舉行N-1輪比賽是否足夠?最少要舉行多少輪比賽?二是如何安排每一輪各隊之間的比賽?[6]在對課題內容進行簡要分析以后,引導學生利用同余理論建立數學模型,經過邏輯推理證明模型的可靠性以后,再考慮利用MATLAB軟件編程運行出N取不同數值時的比賽程序表.經歷提出問題、分析問題、建立模型和得出結論這一系列問題解決的過程,數學師范生的同余理論知識得以鞏固,理論聯系實踐的能力得以加強,數學建模能力得到培養.

2 數學能力培養的策略

2.1 加強代數類課程內容的融合,完善師范生的數學知識系統

高等教育各代數課程并不是孤立存在的,只要善于挖掘和深究,找到他們的契合點,將有利于幫助師范生完善數學知識系統,提升他們的數學能力.比如:高等代數作為初等數論的先修課程,其中整除、帶余數除法、輾轉相除法和多項式的標準分解式等內容可以在初等數論教學時適當融入.還可以利用近世代數中環的相關知識給出模n的剩余類環的一些性質,并利用這些性質證明初等數論課程中的孫子定理和Euler定理.[7]

2.2 數論教學立足于師范生未來發展,建立與中小學數學教學的聯系

大部分數學師范生將來會從事中小學數學教育教學工作,而很多初等數論知識是對中小學相關內容的高度抽象概括.其證明和推導過程為師范生理解中小學教材中那些“直接給定的結論”提供了依據,為他們數學能力的儲備提供了良好的平臺,為將來更好的開展教學奠定了一定的基礎.因此,數論教學中需要引導師范生研讀與中小學數學課程標準、競賽和教材相關的資料,適當的將課程教學目光投向他們今后從事的中小學數學教育工作,帶著教書育人的心態學習這門課程.同時近年來公務員和部分事業單位招考題目中包含了不少初等數論知識的內容,若在教學中融入這部分信息,可以在一定程度上促進學生未來職業發展的多樣化.

密切關注中小學數學競賽,可以將部分競賽題納入數論教學.例如:在2013年中國國家隊選拔考試題目中,有這樣一道題:

值得注意的是該題采用數學歸納法證明了條件加強的命題,即先證明一般性結論,再取特殊值證出原命題的結論.從一般到特殊的思維過程對師范生數學演繹推理能力的發展有著良好的促進作用.

2.3 將教學方式靈活化,課程評價體系多元化

在2015年國務院辦公廳頒發的《關于深化高等學校創新創業教育改革》的實施意見中,倡導各高校要積極實現教學和考核方式的改革.目前初等數論的教學方式大多采用傳統的講授式,學生的主體地位體現得較為薄弱,且教學內容枯燥難懂.在教學中可以廣泛開展啟發式、討論式和參與式教學,適當融入數學文化,不僅有助于課堂教學有效性的提升,推進師范生對數論知識的理解和內化,還能讓其師德在積極的數學文化氛圍里得以養成.同時羅列出具有代表性的課題,以任務驅動的方式讓學生分組完成.每組成員分工收集素材、制定問題解決方案、歸納總結和匯報課題等,在每個章節總結時開展,既有利于鞏固新學知識,又能幫助學生構建良好的知識體系,為授課技能的培養奠定基礎.對于課程評價不能局限于期末考試,可以讓學生選擇與初等數論相關的內容寫小論文,結合小組課題任務的完成情況作綜合性評價,旨在培養師范生的數學能力.

2.4 融入新的教學理念,增強數論知識的實用性

任何一門課程只有與時俱進才能體現出其最大的價值,所以將新的教育理念融入初等數論教學是很有必要的.比如:初等數論知識在密碼學、最優設計和代數編碼等領域的應用體現了多學科融合,與現今熱點研究問題“STEAM教育理念”相符合,打破學科壁壘,讓師范生的知識更系統化是將來教育教學的一個重要趨勢.對于數學這一門高度抽象概括的學科,其中的理論知識在各領域的應用情況具有重要的現實意義.例如:在閔嗣鶴等人主編的《初等數論》中介紹的“公開密鑰”內容屬于密碼學技術領域的問題,在潘承洞等人主編的《初等數論》中“電話電纜的鋪設”內容屬于通信工程問題,“循環比賽的程序表”內容屬于體育藝術類問題等等.只有充分了解數論知識在各領域的實際應用,才能在教學過程中更好的培養師范生的創新精神和實踐能力.而師范生學到的知識越豐富越系統,其數學能力才能得以更好的發展,在將來的中小學教育教學工作中才能更好的駕馭課堂,管理課堂.

結 語

在2018年8月教育部印發的《關于狠抓新時代全國高等學校本科教育工作會議精神落實的通知》中明確了新時代高校教學的主題:淘汰“水課”,打造“金課”.理想的數學課程設計應該是融知識、文化和實踐于一體的,初等數論作為數學師范專業的一門基礎性課程,其授課對象決定了數論教學需要聚焦在師范生數學能力方面的培養.想要提升數論教學的有效性,其教學理念、教學內容、教學方法和教學評價就必須緊跟時代的步伐,精心打磨才能成為一門促進學生發展,真正服務于社會的“金課”.