一類具有粘彈性項和非線性邊界耗散的波動方程解的存在唯一性*

羅嘉蓓， 蒲志林， 米小平

四川師范大學 數學科學學院， 成都 610066

設Ω?R3是一個有界、 連通區域并且有光滑邊界Γ， 單位外法向量記為ν． 已有許多工作研究了如下方程：

(1)

這類方程主要用于粘彈性材料力學中． 對于這類方程， 一些研究者通過研究一類抽象積分微分方程在函數空間中的漸近穩定性態， 把最終結果應用于粘彈性中[1-3]． 在此基礎上一些研究者將粘彈性方程轉化在動力系統理論框架下[4-5]來討論解的存在唯一性． 上面這類方程(1)也是在動力系統框架下， 通過半群理論、 Faedo-Galerkin等方法討論解的存在唯一性問題[6-7]． 后來， 一些研究者研究了如下方程：

(2)

這類是含有內部阻尼項并且邊界項為0的粘彈性方程． 現在大部分文章都是討論非線性阻尼項在內部解的存在唯一性[8]， 而邊界阻尼的情形考慮不多[9]． 本文將研究非線性阻尼項在邊界且滿足Neumann邊界條件解的存在唯一性問題． 考慮方程如下：

(3)

在這個方程中f和g都是非線性項；u=u(x，t)是實值函數， 代表位移矢量． 為了將方程(3)轉化成某個相空間的自治動力系統， 根據文獻[5]， 對于這類帶記憶項的雙曲型的阻尼波方程引入新的變量：

ηt(x，s)=u(x，t)-u(x，t-s)

(4)

對式(4)中的t求導得

ηtt(s)=-ηst(s)+ut(t)

(5)

同時， 令μ(s)=-k′(s)且k(∞)=1， 定義v=ut， 則方程(3)可以轉化為如下形式：

(6)

為了讓方程(6)更加精確， 根據文獻[10]， 可以引入線性算子：

則方程(6)可以轉化為如下形式：

(7)

其初值條件為

通常記憶項μ滿足如下假設條件[6]：

(h1)μ∈C1(R+)∩L1(R+)， ?s∈R+；

(h2)μ(s)≥0且μ′(s)≤0， ?s∈R+；

(h4)μ′(s)+δμ(s)≤0， ?s∈R+且δ>0．

對非線性項f做如下假設[6]：

(f3) |f(y)|≤Γy．

對非線性項g做如下假設[6]：

(g1)g∈C1(R)且g(0)=0．g是一個增函數， 0≤m1≤g′(s)≤m2<∞， |s|>R．

1 記號與引理

設Ω?R3是一個有界、 連通區域并且有一個光滑的邊界Γ． 本文所涉及函數空間L2(Ω)的內積為

且相應的范數被定義為

(8)

和范數

(9)

由(h4)可知

(10)

最后定義乘積Hilbert空間： H=H1×L2×Lμ2(R+，H1)． 其內積為

(11)

范數為

(12)

引理1[11]設A是Hilbert空間H中的極大單調算子． 那么， 任給u0∈D(A)， 存在唯一的函數：

u∈C1([0， ∞)；H)∩C([0， ∞)；D(A))

滿足

此外， 我們有

2 主要結論

本文在文獻[9]的基礎上， 對方程(7)的解的存在唯一性進行了研究． 將利用最大單調算子理論證明全局解的存在性與唯一性．

定理1假設滿足條件(h1)-(h4)， (f1)-(f3)， (g1)， 當(u0，v0，η0)∈D(A)時， 方程(3)在有限區間[0，T]上存在唯一的強解(u，v，η)． 當T→∞時， 能量方程E(t)是有界的且只與初值有關， 則方程(3)存在唯一的全局解(u，v，η)．

證1)首先證明局部解的存在性與唯一性．

A是H上的非線性算子， 可定義

因此可以把方程(7)寫成類似于常微分方程的變分形式， 即

(13)

顯然方程(13)右端項-f(u)滿足局部Lipschitz條件． 要證明方程局部解的存在唯一性， 需要利用最大單調算子理論， 證明A是最大單調算子， 即根據定義1證明： 〈Az1-Az2，z1-z2〉H≥0， ?z1，z2∈D(A)且range(A+I)=H．

令?z1，z2∈D(A)， 其中z1=(u1，v1，η1)，z2=(u2，v2，η2)， 有

進一步由(g1)和(10)式可知對?z1，z2∈D(A)， 〈Az1-Az2，z1-z2〉H≥0．

(14)

由(14)式得

(15)

將(15)式代入(14)式中

(16)

其中設

整理方程(16)得：

v+dAv-ΔNNg(γv)=w

(17)

取d=1，(17)式即為：

-ΔNv+(I+B)v=w

(18)

現在根據算子理論來解決方程(3)的初值問題． 根據上述證明可知方程(13)是一個具有最大單調算子的有局部Lipschitz擾動的發展方程． 因此， 當(u0，v0，η0)∈D(A)時， 方程(3)在有限區間[0，T]上存在唯一的強解(u，v，η)．

2)證明當T→∞時， 方程(3)仍然存在唯一的解(u，v，η)， 即強解是全局解． 首先對(3)式的第一個等式乘以ut得

(19)

則能量等式

(20)

所以由(19)-(20)式得

(21)

由(g1)，(f2)和(10)式可知，(21)式左邊4項均大于等于0． 故一定存在

由Gronwall引理得

E(t)+F(u(t))≤E(0)+F(u(0))

最終得出

E(t)≤E(0)+F(u(0))

運用最大單調算子理論知結論成立．