數形結合思想在二次函數問題中的有效應用

張占平

摘要：二次函數是初中數學教學的重要組成部分，也是學生需要攻克的難點所在。在解決二次函數的問題時，教師可將數形結合的思想滲透其中，讓學生充分會其優勢，深入剖析二次函數的內在涵義。將該思想應用于二次函數的解題中，能夠讓復雜的問題變得簡單化，抽象的內容直觀化，學生抽象思維能力也可以得到極大提升，有助于解決學習過程中的簡單問題。

關鍵詞：數形結合；二次函數；意義；應用對策

中圖分類號：G634.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2021）05-0094

引言：二次函數因為涉及內容復雜，應用范圍較廣，所以被視為初中數學的巔峰。其不僅和代數方面的內容相連，而且也滲透了幾何方面的知識，在實際生活中的應用極為廣泛。由于二次函數內容的復雜性，學生在理解和解題過程中往往會陷入死胡同，不知如何進行下一步。數形結合思想為教師和學生提供了極佳的教學方式，其可以對題目假設與結論的內在聯系進行揭示，也可以體現出圖形與數量的關系。學生通過應用該思想，解題思路方面有了更加清晰的思路，并且對二次函數的內涵以及性質等會有更深的理解。

一、初中數學數形結合思想應用的意義

1.縮短學生解題的時間

現行的初中數學教材中，“數與代數”“空間與圖形”等內容中都可以看到數形結合的影子。與此同時，學生在應用題的聯系中也經常會看到，并直觀感受其帶來的便利，無形中會節省學生的解題時間。教師再給學生傳輸相關的思想理念時，要讓學生了解數形結合思想解題的具體流程。例如，學生應該找到“數”和“形”銜接的精確點，然后找到屬性對象，以此為基礎，將二者結合起來，實現“數”與“形”的轉化。

2.發散學生的數學思維

數形結合思想的應用，可以讓學生嘗試轉變原有的思考方式，拓展數學思考的廣度，從而尋求到最有效的解決方式，達到發散思維的目的。日常教學的過程中，學生經常會接觸到各種各樣的圖形，例如，拋東西的過程、房屋圖紙等都能夠用簡單圖形來表示。教師此時就可以將與學生生活緊密結合的內容滲透進去。例如，講解關于“二次函數”的相關內容時，教師就可以把圖像畫在黑板上。因為內容復雜，且較為抽象，所以學生往往難以快速理解。此時，教師就可以讓學生發揮想象，聯想鉛筆被扔之后的運動軌跡，再套用在二次函數中。通過這種方式，學生的思維方式就可以得到很好的轉化，讓思維能夠和生活結合起來，培養學生的發散性思維。

3.攻克二次函數的難題

通過總結初中數學中所學的知識，我們會發現方程與函數既是學習的重點，也是學生學習的難點，遇到這類題時，學生常常不知所措。數形結合思想的應用能夠將這一類問題的難度有效降低，并且讓問題條件更為淺顯，進而讓學生可以抓住重點，撥開層層的迷霧，以便解決實際問題。學習二次函數的內容時，若學生無法靈活應用該思想，那么題目中很多隱藏的關系或許就無法深入理解，這會增加學生掌握函數知識的難度。

二、二次函數數形結合攻克難點

1.最值問題

二次函數的內容因為較為復雜，所以很多方面學生都會遇到坎坷。通常來說，在求得二次函數最值問題的過程當中，往往是學生很難攻克的問題。區間和參變數的增加，使得其成了高考中的熱點題型，更是學生難以逾越的鴻溝。根據筆者的經驗總結，針對不同類型的函數，教師要將解題技巧告知學生，讓學生可以學會后續應對這一類的技能，最終順利求解。

2.拋物線圖形問題

二次函數進行解答的過程中，教師可讓學生在了解該思想的情況下，靈活應用此思想，以此將拋物線圖形聯系起來，以此讓學生可以更扎實。這種情況下，學生對于函數知識了解就會更加扎實。因為二次函數自身特性和類型等不同，因此在對其屬性有所了解的情況下，教師往往會讓學生現在紙上畫出圖形，并對其進行觀察。例如，常見的系數a取值從一定程度上可以決定拋物線開口方向與大小值，此時教師就可將最值和增減性等滲透其中。

三、二次函數中數形結合方式的應用

1.借助圖形直觀性，體現題意

圖形是數形結合思想直觀體現的形式，教師可以將題意中的數字位置、相關關系等內容在圖形上進行標注，在了解題意之后解題難度也會大幅降低。

2.牢牢記住概念性，明確頂點作用

二次函數在確定最值的過程中，頂點與變量取值等有著很大關系，相關的圖像信息也可以進行劃分，其可以分為有頂點和無頂點的狀態。若是有頂點存在，那么當處于頂點或是區間端點時就可以獲得，若是不存在頂點，則區間的端點位置即可獲得。例如，在求解最大值或最小值時，函數 x的變量在給定的范圍內，圖像主要顯示的是對應拋物線的某一段，在畫出坐標之后，頂點位置通常就是最大值，拋物線的最低端就是最小值。二次函數的區間應該牢牢記住不同x自變量的范圍，在對這些知識牢記后，后續的學習也就會事半功倍。

3.豐富解題方式，拓展解題思路

二次函數題目的類型千變萬化，所涉及的形式多種多樣，高考試題中也是以此為基礎，題目形式進行變化。總而言之，對這一類型題目進行攻克，并且堅持“快而準”的原則，是學生獲取高分的重要方式。二次函數的難易程度因人而異，往往當學生能夠掌握相應的解題方式后，解題思路就會豁然開朗。學生之間也可以針對問題進行多方溝通，開拓自己的思路，以尋求多變的解題方式。例如，如果題干中明確了頂點與原點位置，讓求函數解析式的時候，教師就可以給予學生一定的引導，讓其先對c的值進行預設，由此求得c、a、b的值，最終即可求得函數的解析式。

結束語： 數形結合的方式需要學生對數學問題條件與結論的關聯性有所了解，其不僅要對代數的意義進行分析，還應該揭示出幾何的規律。通過該方式在二次函數中的應用，數據與圖形就巧妙地結合在了一起，學生可以充分發揮此種模式的優勢，尋找多變的解題思路，讓問題變得更加簡單和容易，進而快速解決問題。

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（作者單位：重慶市江津雙福中學校 402247）