基于深度學習的數學復習課教學探索

【摘 要】近年來深度學習理論正被廣泛運用于初中數學教學，深度學習強調應用、分析、綜合、評價的認知水平，重視學生自主參與構建知識結構，理解知識。數學復習課具有綜合性的特征，具有需要整合理解知識的教學和學習的特點。本文初步探究深度學習理論在數學復習課教學中的應用，強調以核心問題為驅動的復習課教學，提出借開放性問題引領學生發散思維，提供深度學習的機會;回歸本源，觸類旁通，提升深度學習的價值;抓住教學中的“意外”，用學生的探究行為開啟課堂的深度學習的數學復習課教學策略。

【關鍵詞】深度學習;問題驅動;數學復習課教學

【中圖分類號】G633.6 ?【文獻標識碼】A ?【文章編號】1671-8437（2021）10-0034-03

深度學習理論認為，淺層學習對應知道、領會的認知水平，屬于低階的思維活動，注重外力驅動的學習和知識的重復記憶、簡單描述;深度學習則對應應用、分析、綜合、評價的認知水平，屬于高階的思維活動，更注重學生自主參與學習和知識的理解、應用[1]。數學復習課通常是教師感覺較為棘手的教學，一是教學的知識已被學生了解，失去了新鮮感，復習時學生難免會疲乏;二是復習內容簡單容易形成對知識的流水賬式梳理，太難又難以讓學生跟上教學思路。對此，本文結合深度學習的特征和數學學科特點，以問題為驅動，拓寬學生的思維寬度和深度，提高復習效率的策略。

1 ? 借開放性問題引領學生發散思維，提供深度學習的機會

案例1：一題串通二次函數圖象與性質

在復習二次函數圖象與性質時，教師通常在教學開始，以表格形式展示二次函數的各類性質、不同的二次函數表達式等，然后配以各類例題對二次函數的圖象與性質進行鞏固。這樣的復習方式比較有效，能夠很好地提高復習效率。深度學習旨在解放學生的思維，讓學生主動探索和思考知識。所以在教學中，筆者嘗試以一個開放性問題為啟發點，激發學生的聯想學習能力，串聯整堂復習課。

問題1：關于二次函數y=2x2+4x?1，你能寫出哪些結論？

問題1設計評析：該問題屬于基礎性知識復習，學生稍作思考就能很快得出各種各樣的結論。

生1：我將該二次函數配方得到 y=2（x+1）2?2，可以知道該二次函數的圖象的對稱軸為直線 x=?1，頂點坐標為（?1，?2）。

生2：這個二次函數的圖象的開口向上，當x?1時，y隨x的增大而減小;當x=?1時，函數有最大值-2。

生3：該二次函數的圖象與 y軸的交點為（0，?1），與x軸的交點為（，0），（，0）。

生4：把該二次函數的圖象向上平移k個單位，二次函數的解析式就為 y=2（x+1）2?2+k;把該二次函數的圖象向左平移h個單位可得到解析式 y=2（x+1+h）2?2。

在學生從不同角度解讀該二次函數后，教師可從函數圖象的形狀、開口方向、對稱軸、頂點坐標、最值、增減性這幾個方面進行系統歸納與整理，收攏學生的發散思維。針對問題1，筆者引導學生進行了基礎知識的復習。

問題2：剛才有同學對二次函數y=2x2+4x?1的圖象進行了平移，那你能對它進行幾何變換嗎？通過幾何變換，你得到的二次函數解析式又怎樣？

問提2設計評析：用該問題再次啟發學生思考，于是學生進一步從關于x軸對稱、關于 y軸對稱、關于原點中心對稱這三個角度進行討論。最后，教師提出更一般性的問題，留給學生課后思考：如何求圖象關于任意一點中心對稱的二次函數解析式？

問題3：當?2 ≤ x<6時，求 y的取值范圍。

問題4：當 y>0時，求自變量 x 的取值范圍。

問題5：當 y≤ 5時，求自變量 x 的取值范圍。

問題3—5的設計評析：討論完函數本身性質及變化后，筆者提出了問題3，考查學生在自變量有限制的情況下如何求二次函數的最值;問題4可以用高中二次不等式解法解決，但此處的目的在于利用二次函數圖象求范圍，達到對二次函數圖象的復習;問題5則更進一步，需要將二次函數與二次方程相結合，通過解方程2x2+4x?1=5，求出直線 y=5與二次函數y=2x2+4x?1的交點坐標，再利用函數圖象求范圍，進一步深度復習二次函數的圖象。

問題6：若方程2x2+4x?1=h有兩個不等實根，請直接寫出h的取值范圍。

問題7：若方程|2x2+4x?1|=h有四個不等實根，請直接寫出h的取值范圍。

問題6—7設計評析：在運用二次函數圖象解決方程、不等式的基礎上，進一步引入參數，進行更深一步的討論。問題6考查如何用二次函數圖象來解決方程含參問題;問題7涉及絕對值方程，難度較大，但是如果從二次函數圖象方面考慮，問題則變成了直線 y=h與函數 y=|2x2+4x?1|的交點問題。

本節復習課，從具體的二次函數解析式入手，圍繞一個二次函數解析式，從函數圖象性質、二次函數與二次方程、二次不等式關系、二次函數涉及參數的問題等角度進行深度探究，使學生體會到不同問題只是函數解析式變化，其考查方式、運用知識的方式不會改變，做到對知識的舉一反三。

2 ? 回歸本質，觸類旁通，提升深度學習的價值

函數與幾何的綜合問題通常是學生學習的難點，原因在于解答此類問題需要綜合運用代數和幾何知識，充分體現數形結合思想[2]。

案例2：從點在平面直角坐標系上的意義談起。

問題1：你能談談點 P（3，4）在平面直角坐標系上的幾何意義嗎？

問題1設計評析：回歸概念的本質，讓學生理解點坐標與幾何之間的聯系，為后續學習作鋪墊。

問題2：如圖1，在平面直角坐標系中，點A1，A2，A3和B1，B2，B3分別在直線和x軸上。△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3都是等腰直角三角形，求A1，A2，A3的坐標。

問題3：如果將頂點A1，A2，A3改為在反比例函數函數的圖象上，那么你還能求出A1，A2，A3的坐標嗎？

問題2—3設計評析：通過問題1的引導，在解決問題2的過程中，學生將體會到“設函數圖象上的點的坐標，并轉化為線段”和“設線段長，表示函數圖象上的點的坐標”兩種解題方法;在解決例題1的基礎上，問題3將題干中的一次函數改變為反比例函數，讓學生運用例題1的方法解決問題，然后進行兩個解后反思：

（1）回顧以上兩題的解答過程，收獲了怎樣的解題經驗？能總結一下嗎？

（2）如果對題目中的圖形進行改變，能編擬一道類似的習題嗎？

反思1的目的在于引導學生總結解答問題的一般思路;反思2的目的在于拓展學生的思維，使學生體會到方法的統一性，并在自主編題的環節收獲學習數學的樂趣。

通過以上環節，學生便能夠在領悟方法的基礎上，做到靈活運用，結合題目中的幾何圖形進行改編，并體會改編后方法的統一性，做到“多題歸一”。

問題4：如圖2，若反比例函數與邊長為5的等邊△AOB的邊OA，AB分別相交于C，D兩點，且OC=3BD，求反比例函數解析式。

思路點撥1：如何利用OC=3BD這一條件？

思路點撥2：C，D兩點在反比例函數上這一條件如何使用？

思路點撥3：能用上面例題的方法解決本題嗎？

問題4設計評析：通過上述問題的解決過程，使學生體會到將點坐標轉化為線段長，就可以用代數式表示線段長。而幾何的數量關系與函數的關系，則提供了等量關系建立方程。于是教師設計一個蘊含更復雜幾何關系的問題，需要學生在將點坐標轉化為線段列方程或將線段化為點坐標列方程時，挖掘隱藏更深的幾何關系，進一步強化對方法的掌握。

問題5：如圖3，在平面直角坐標系 xOy中，拋物線 y=x2?4x?5 交 x 軸于 A、B ，交 y 軸于 C 。設 E 是 y軸右側拋物線上異于點 B 的一個動點，過點 E 作 x 軸的平行線交拋物線于另一點 F，過點 F 作 FG 垂直于 x 軸于點 G，再過點 E 作 EH 垂直于 x軸于點 H ，得到矩形 EFGH 。當矩形 EFGH 為正方形時，求點 E 的坐標。

思路引導：①解題方案選擇：設點還是設線段長？

②設出點的坐標表達式之后，你是否可以列出方程來表示兩條線段？③如何表示線段 EF 的長度？④你是否可以列出方程，求解點E的坐標？

問題5設計評析：在學生解決以一次函數和反比例函數為背景的幾何綜合問題后，為體現方法的通用性，在此處引入二次函數為背景的幾何問題。同樣，學生可以利用設點轉化線段，并結合正方形的幾何性質建立二次方程求解。此處需要提醒學生注意分類討論點E的位置，考查學生思維的嚴謹程度。

3 ?抓住教學中的“意外”，用學生的探究行為開啟課

堂的深度學習

案例3：課堂意外引起的深度探究。

初三復習課中，一位學生“意外”的回答，讓課堂偏離原本設定的教學軌跡，這在激發了學生探究熱情的同時，也意外地圓滿達到了復習目的！

在進行圓的切線復習時，教學設計為先請學生對切線長基本圖形進行簡單的結論復習，隨之進行相關的基礎練習與難度較大的圓的計算和證明問題。筆者展示出如圖4所示的圖象，提出問題：“根據PA、PB為圓O的切線，你能得出什么結論？”

學生回答：“根據切線長定理，可以得到PA=PB。”

另一位學生舉手答道：“如果連接PO，能得到PO平分∠APB這一結論。”

這位學生的回答似乎打開了潘多拉的盒子，啟發了更多的學生對這一基本圖形進行線段的添加，學生得到了非常豐富的結論。

學生2：“將PO延長，分別交⊙O于C、D，連接切點AB，則可以通過全等三角形證明AB垂直于PD，垂足為H，且PD垂直平分AB。”（如圖5）

學生3：“連接AC，由弦切角和圓周角的轉化可以證明AC平分∠APB。”（如圖6）

學生4：“我們發現這個圖形中有相似，還可以發掘出射影定理的模型，所以還可以得到線段的等積關系PC?PD=PH?PO。”

學生5：“我們常做的關于圓的習題中，需要利用三角函數結合圓中的直角三角形轉化為線段關系，再利用相似三角形或直角三角形進行計算，這道題應該也可以吧？”

在接下來的幾分鐘里，學生進入了自主編題的狀態，最終呈現出了這樣一道具有綜合考查功能的關于圓中的線段的計算題：“設 tan∠CAB=，PA=4，求⊙O的半徑。”

于是這樣一節本該按部就班開展的圓的切線復習課，就在學生對圖象的“添磚加瓦”中，變成了一節探究型的幾何課堂，基本圖形發揮了其“源頭”的作用。課堂最后，學生將所得到的圖形總結如下。

如圖7，PA與PB與⊙O相切，切點為A、B，連接AB，連接PO并延長交圓O于C、D，交AH于H，連接AC。①PA=PB;②PO平分∠APB;③PD垂直平分AB;④AC平分∠PAB;⑤PC?PD=PH?PO;⑥CD2=4PO?HO;⑦設tan∠CAB=，PA=4，求⊙O的半徑[3]。

深度學習已經引起了廣泛的關注，教師也漸漸將相關理論運用于數學的教學。深度的“本”在于學生，“度”在于教師，所以教師對如何提出有“深度”的問題來激發學生的思維，將學習導入“深度學習”還需要多研究和思考。

【參考文獻】

[1]潘長成.初中數學課堂促進學生深度學習的策略[J].數學學習與研究，2019（5）.

[2]中華人民共和國教育部.全日制義務教育數學課程標準（修改稿）[M].北京：北京師范大學出版社，2011.

[3]陳正非.中考幾何復習課中對教材例題的使用和改編[Z].成都市論文二等獎，2018.