數(shù)形結(jié)合思想方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)踐探索

【摘 要】高中數(shù)學(xué)學(xué)科的邏輯性非常強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的分析能力、理解能力和邏輯思維能力要求較高，很多知識(shí)內(nèi)容和題目的難度較大，需要運(yùn)用一定的數(shù)學(xué)思想方法。新課標(biāo)背景下，教師應(yīng)該深刻認(rèn)識(shí)數(shù)形結(jié)合思想方法的重要意義，結(jié)合實(shí)踐教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，加強(qiáng)這方面的教學(xué)，在明確基本內(nèi)涵與運(yùn)用原則的基礎(chǔ)上，立足教材挖掘數(shù)形結(jié)合思想方法，滲透數(shù)形結(jié)合思想方法，指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行小組合作與實(shí)踐運(yùn)用，以此提升高中數(shù)學(xué)教學(xué)效果，培養(yǎng)和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合思想方法;高中數(shù)學(xué);滲透;實(shí)踐運(yùn)用

【中圖分類號(hào)】G633.6 ?【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A ?【文章編號(hào)】1671-8437（2021）10-0050-02

高中數(shù)學(xué)主要研究的是數(shù)量關(guān)系與空間幾何，而數(shù)形結(jié)合思想方法是將兩者緊密結(jié)合起來(lái)的思想方法，通過(guò)將兩者聯(lián)系起來(lái)，運(yùn)用它們之間的相輔相成關(guān)系，將復(fù)雜抽象的問(wèn)題變得簡(jiǎn)單直觀，從而實(shí)現(xiàn)“以數(shù)解形”和“以形解數(shù)”，從而提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果與解題效果，更好地發(fā)展學(xué)生的思維能力與解題能力。

1 ? 數(shù)形結(jié)合思想方法的基本內(nèi)涵和運(yùn)用原則

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法，需要明確它的基本內(nèi)涵和運(yùn)用原則，這樣教師才能在一定的規(guī)則下，根據(jù)高中數(shù)學(xué)的知識(shí)內(nèi)容，引入豐富的教學(xué)資源，引導(dǎo)學(xué)生積極參與自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)與探究學(xué)習(xí)，在循序漸進(jìn)中有效掌握這種思想方法的具體運(yùn)用[1]。數(shù)形結(jié)合是指將數(shù)量關(guān)系與空間幾何相互融合，將數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)為空間幾何圖形，將空間幾何圖形轉(zhuǎn)為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的有機(jī)結(jié)合，進(jìn)而在“以數(shù)解形”和“以形解數(shù)”的過(guò)程中使抽象復(fù)雜的問(wèn)題變得直觀簡(jiǎn)單，進(jìn)而更好地解答相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題。高中數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法一般需要注意雙向性原則與等價(jià)性原則。雙向性是指要對(duì)幾何圖形進(jìn)行直觀分析，還要對(duì)代數(shù)關(guān)系進(jìn)行分析。等價(jià)性是指數(shù)形結(jié)合變化過(guò)程是等價(jià)的，不應(yīng)加入其他元素。

2 ? 數(shù)形結(jié)合思想方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體實(shí)踐

2.1 ?立足數(shù)學(xué)教材，挖掘數(shù)形結(jié)合思想方法

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)該認(rèn)識(shí)到數(shù)形結(jié)合思想方法在很多內(nèi)容中有所運(yùn)用，包括但不限于集合問(wèn)題、函數(shù)問(wèn)題、立體幾何、解析幾何、三角函數(shù)、不等式與方程等，在導(dǎo)入新的數(shù)學(xué)知識(shí)、展現(xiàn)算理和解答相關(guān)例題方面也有所體現(xiàn)[2]。對(duì)此，教師應(yīng)該先立足于數(shù)學(xué)教材，挖掘其中蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合思想方法，在課程導(dǎo)入與相關(guān)講解中運(yùn)用它實(shí)施教學(xué)。這樣可以更加有效地導(dǎo)入新課教學(xué)，幫助學(xué)生理解相關(guān)數(shù)學(xué)概念、算理和運(yùn)算法則等，更好地提升數(shù)學(xué)課程的教學(xué)效果。

如人教版必修一的“集合的基本關(guān)系”一課主要是讓學(xué)生了解和掌握集合中的子集、真子集等基本概念。在講解子集時(shí)，教師可運(yùn)用Venn圖敘述，展現(xiàn)兩個(gè)集合A、B，幫助學(xué)生更好認(rèn)識(shí)子集的概念。在“集合的基本運(yùn)算”一課的教學(xué)中，教師可運(yùn)用圖形展現(xiàn)A和B的相互關(guān)系，幫助學(xué)生理解并集的基本概念。對(duì)“集合的基本運(yùn)算”一課的例題：設(shè)集合A={x|?1

求A∪B。教師可以指導(dǎo)學(xué)生先運(yùn)用幾何的基本運(yùn)算方法求解，然后指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)軸直觀表示A∪B的過(guò)程，更好地解答此題。對(duì)之后的交集和補(bǔ)集等概念，同樣可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法進(jìn)行講解。在“充分條件與必要條件”一課中，在指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)充分條件與必要條件的基本概念后，教師可以通過(guò)講解例題的方式幫助學(xué)生更好掌握這些基本概念的運(yùn)用，在講解過(guò)程中注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法，以直觀、形象地解答。如題：若四邊形的對(duì)角線互相垂直，則這個(gè)四邊形是菱形。教師可以先指導(dǎo)學(xué)生畫(huà)出對(duì)應(yīng)圖形，然后運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法講解：如圖1所示，四邊形 ABCD 的對(duì)角線互相垂直，但它不是菱形，由 p 不能推出 q ，所以 q 不是 p 的必要條件。在講解后，教師可以出示相關(guān)習(xí)題，讓學(xué)生自主訓(xùn)練，更好地鞏固這方面的知識(shí)，再如題：如圖2所示，直線 a 和 b 被直線 l 所截，分別得到∠1、∠2、∠3、∠4，根據(jù)這些信息，寫(xiě)出幾個(gè)“a∥b”的充分條件與必要條件。

2.2 ?結(jié)合具體類型，滲透數(shù)形結(jié)合思想方法

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法，一般有兩種路徑：一是根據(jù)空間幾何圖形生動(dòng)、直觀展示數(shù)量關(guān)系，這是以解析數(shù)量關(guān)系為主要目標(biāo)，以幾何圖形為解題方法，如運(yùn)用函數(shù)圖象直觀說(shuō)明函數(shù)的性質(zhì);二是借助數(shù)量關(guān)系的規(guī)范嚴(yán)密性與精確性，解析空間幾何圖形的一些屬性，目的是解析圖形，主要的方法是運(yùn)用數(shù)量關(guān)系，如運(yùn)用曲線方程更好解析曲線的幾何性質(zhì)。教師在指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法解答具體的類型時(shí)，應(yīng)該合理滲透數(shù)形結(jié)合思想方法，并指導(dǎo)學(xué)生注意一些要點(diǎn)：一是明確數(shù)學(xué)基本概念、運(yùn)算幾何意義、曲線代數(shù)特點(diǎn)等，認(rèn)真分析題干的條件與結(jié)論，明確其中幾何與代數(shù)的意義;二是適當(dāng)設(shè)置參數(shù)與合理利用參數(shù)，形成相互關(guān)系，思考如何更好地進(jìn)行“以數(shù)解形”或者“以形解數(shù)”;三是更好地確定參數(shù)的取值范圍。

解析幾何是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，在指導(dǎo)學(xué)生解答相關(guān)習(xí)題時(shí)，教師可以根據(jù)具體的習(xí)題類型，有效滲透數(shù)形結(jié)合思想方法。如與斜率有關(guān)的一道題：有向線段 PQ 起點(diǎn) P 和終點(diǎn) Q 的坐標(biāo)分別是 P（?1，1）、Q（2，2），若直線 l：x+my+m=0與有向線段 PQ 延長(zhǎng)相交，求實(shí)數(shù) m 取值范圍。對(duì)這一題，教師可以指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)圖形（見(jiàn)圖3）進(jìn)行解答，然后進(jìn)行解析：根據(jù)已知條件可以將直線 l：x+my+m=0化成點(diǎn)斜式 y+1=，得出直線 l 過(guò)定點(diǎn)M（0，?1），斜率是? ;因?yàn)?l 和 PQ 延長(zhǎng)線是相交的，所以通過(guò)數(shù)形結(jié)合可得出過(guò) M 且和 PQ 平行時(shí)，直線 l 的斜率趨近于最小，過(guò)點(diǎn) M 和 Q 時(shí)，直線 l 的斜率趨近于最大，kPQ==，kMQ==，

設(shè)直線 l 的斜率是 k，根據(jù) kPQ< kl

2.3 ?出示相關(guān)習(xí)題，指導(dǎo)學(xué)生思考以及小組合作

通過(guò)以上分析可知，數(shù)形結(jié)合思想方法可以運(yùn)用在集合、函數(shù)、解析幾何、立體幾何、三角函數(shù)、不等式與方程等問(wèn)題的解答中，教師可以根據(jù)具體問(wèn)題先講解運(yùn)用方法，然后讓學(xué)生自主訓(xùn)練。教師可出示一些習(xí)題，讓學(xué)生結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想方法的基本運(yùn)用方式，在獨(dú)立思考與小組合作探究的過(guò)程中解決問(wèn)題，以此更好地提升數(shù)形結(jié)合思想方法的運(yùn)用效果，幫助學(xué)生熟悉與掌握它的具體運(yùn)用方式，有效發(fā)展邏輯思維能力和解題能力。

將數(shù)形結(jié)合思想方法運(yùn)用在函數(shù)中，可解決與方程的根相關(guān)的問(wèn)題。教師可引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想方法，將方程的解問(wèn)題轉(zhuǎn)為曲線交點(diǎn)問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)代數(shù)和幾何的結(jié)合，更好地解答問(wèn)題。如題：已知方程 x2?4x+3=m有4個(gè)根，實(shí)數(shù) m 的取值范圍是多少？教師可以先讓學(xué)生進(jìn)行自主探究，然后讓學(xué)生進(jìn)行小組合作解答，再分組展示。最后教師進(jìn)行總結(jié)：對(duì)這種沒(méi)有方程的根的具體值、只求根的個(gè)數(shù)的問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)為求兩條曲線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)。根據(jù)題意可知是求函數(shù) y=x2+4x+3和函數(shù) y=m 圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，可以畫(huà)出拋物線 y=x2+4x+3=（x?2）2?1的圖象，將其在 x 軸下方的圖象沿著 x 軸翻轉(zhuǎn)，得出 y=x2?4x+3的圖象，再畫(huà)出直線 y=m，根據(jù)圖象得出當(dāng)0

2.4 ?根據(jù)教學(xué)實(shí)踐，總結(jié)數(shù)形結(jié)合思想方法運(yùn)用方法

教師在解析相關(guān)具體運(yùn)用，以及指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法解答相關(guān)習(xí)題后，還應(yīng)該總結(jié)數(shù)與形的轉(zhuǎn)化路徑、主要類型與思想方法等內(nèi)容，以此幫助學(xué)生靈活運(yùn)用它們。如數(shù)與形的轉(zhuǎn)化路徑有：一是建立坐標(biāo)系，結(jié)合數(shù)量關(guān)系與幾何圖形，將靜止的關(guān)系轉(zhuǎn)為動(dòng)態(tài)關(guān)系，為求解打好基礎(chǔ);二是轉(zhuǎn)化，主要是分析數(shù)量關(guān)系與相關(guān)式子的特征，轉(zhuǎn)化問(wèn)題角度;三是構(gòu)造，包括構(gòu)造函數(shù)、幾何圖形等。主要類型與思想方法包括“以形解數(shù)”“以數(shù)解形”“數(shù)形轉(zhuǎn)換”三種。

綜上所述，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法，教師應(yīng)該讓學(xué)生明確數(shù)形結(jié)合思想方法的基本內(nèi)涵和運(yùn)用原則，在此基礎(chǔ)上根據(jù)高中數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，結(jié)合高中生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)與認(rèn)知能力，通過(guò)立足數(shù)學(xué)教材、結(jié)合具體類型、出示相關(guān)習(xí)題和根據(jù)教學(xué)實(shí)踐等，更好地講解數(shù)形結(jié)合思想方法，指導(dǎo)學(xué)生有效運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法更好實(shí)現(xiàn)“以形解數(shù)”“以數(shù)解形”和“數(shù)形轉(zhuǎn)換”，解答各類數(shù)學(xué)問(wèn)題，發(fā)展思維能力與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

【參考文獻(xiàn)】

[1]陸燕.數(shù)形結(jié)合思想方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用分析[J].新校園（中旬刊），2017（10）.

[2]李勇.論數(shù)形結(jié)合思想方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用分析[J].考試周刊，2018（6）.

【作者簡(jiǎn)介】

馬龍華（1964～），男，漢族，山東濟(jì)寧人，本科，中學(xué)高級(jí)。研究方向：高中數(shù)學(xué)教學(xué)。