四次函數的對稱性初探

李廣朋

【摘 要】本文研究了一般型四次函數在什么條件下具備軸對稱性，得出了軸對稱四次函數的對稱軸公式和極值公式。運用公式可以快速確定軸對稱四次函數的對稱軸和極值，避免了繁瑣的求導和代值計算，可以快速準確地畫出軸對稱四次函數的簡圖，有助于提升對四次函數的整體認識，提高解答對稱性四次函數問題的速度。

【關鍵詞】四次函數;對稱性;極值

【中圖分類號】G633.6 ?【文獻標識碼】A ?【文章編號】1671-8437（2021）10-0061-02

在高中數學學習中，學生對三次函數的圖象與性質理解清楚、運用熟練，但對四次函數的圖象與性質了解不多，掌握較差。在2013年新課標全國卷I理科卷中曾出現一道四次函數問題：若函數f（x）=（1?x2）（x2+ax+b）的圖象關于直線x=?2對稱，則f（x）的最大值為 ?。該題為一典型的四次函數問題，大多數學生對該類型題求解困難，或者因計算量大耗時較長。本文研究函數f（x）= x4+ax2+b的對稱性與極值點，并將之推廣到一般型四次函數f（x）=x4+a1x3+a2x2+a3x+a4 對稱性的判斷與性質上。

運用本文結論得出該函數具有軸對稱性，函數圖象為標準的W型，根據公式可以直接得出函數的極大值和極小值，避免繁瑣的求導和求極值，提高解答該類型題的速度和正確率。

【參考文獻】

[1]馮貝葉.四次函數實零點的完全判據和正定條件[J].應用數學學報，2006（3）.