圖形的旋轉變換在初中平面幾何中的運用探討

劉志敏

【摘要】圖形變換在初中數學幾何教學中經常遇到，在一些特殊圖形變換——圖形旋轉類的試題往往是很多學生頭疼的地方。文章基于幾種圖形旋轉試題的教學經驗，探討如何在這幾類試題中尋找解決問題的關鍵點，在解題分析中梳理邏輯思路，從而有效提高這類問題的教學質量。

【關鍵詞】初中數學;平面幾何;圖形的旋轉;教學探討

一般而言，初中幾何課程中的圖形變換涵蓋平移、軸對稱、旋轉，是對圖形運動變化規則的論述，尤其圖形旋轉重中之重。在歷年的中考試題中，這類題目考查往往是重分，常受到命題者的青睞，考查的知識點又多又雜。因為這類試題涉及三角形、四邊形、圓等初中數學幾何的重要圖形內容，里面考查的知識點往往很復雜、綜合性、邏輯性很強。在初中畢業班考試中，這類試題是各類考試中常見試題之一。教師需要結合具體圖形需要尋找策略，只改變圖形位置這一特性，把分散的元素集中起來，充分利用題中各元素最終使問題簡單化，最終形成求解幾何題的依據、思維方向。文章就圖形旋轉法在以下幾種問題中的應用舉例說明。

一、在求三角形角度問題中的應用

教師需要抓住題目要求，分析題目條件，選擇合適的旋轉點，從而構造性的圖形，再將新的圖形與原來的條件對應，從而找到問題的破口。其實很多這類問題都是如此，沒有找到突破口將不會解決問題。下面一道三角形角度問題而言，教師需要在試題中分析問題的關鍵點，即突破口才能迎刃而解。諸如，如圖1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=60。，AP=4，BP=3，CP=5，求∠APB的度數。

在閱讀題目后，教師引導學生這樣分析題目：由于條件中的AP=4，BP=3，CP=5像是勾股數，但又比較分散，不在同一個三角形中無法有效利用，于是想到利用圖形的旋轉方式改變圖形位置但不改變形狀大小這一性質，把分散的元素集中起來。在這道試題中，我們需要找到必要的關系量。因為等邊△ABC中有共頂點等線段AB和AC，所以在旋轉過程中，以點A為旋轉中心，將△ABP逆時針旋轉60°到△ACP'位置，連接PP‘（如圖1-1）得到△APP'是等邊三角形，通過轉移把已知條件中的AP=4，BP=3，CP=5集中到了△PP'C中，再結合勾股定理逆定理得到∠PP'C=90。，又由∠APB=∠AP'C=∠AP'P+∠PP'C=60。+90。=150。。

二、在求線段的長度問題中的應用

梳理題目條件與要求，轉化問題，適當將線段長度問題分散的條件集中在一起，對圖形合適旋轉即可。這類問題在求線段的長度問題方面，教師需要引導學生將分散的條件進行巧妙地集中。諸如，如圖2，在Rt△ACB中，CA=CB，點P為Rt△ACB內一點。已知AP=10，BP=8，且∠CPB=135。，求CP的長。

在閱讀題目后，教師引導學生這樣分析題目：由于題中各元素條件比較分散，不將其集中起來，直接求CP的長度不好完成求解任務，是否可以考慮將分散的元素集中起來？條件中有共頂點等線段CB和CA，于是以C為旋轉中心，將△ACP逆時針旋轉90°到△BCP位置，連接PP（如圖2-1）得到等腰直角△PCP并且把AP=10，BP=8，轉移到了中△BPP。由旋轉性質得到等腰直角△PCP中∠CPP=45。和∠BPP=90。，再根據勾股定理可以求得PP的長度，于是在等腰直角△PCP中直角邊PC的長度就迎刃而解了。

三、求線段的和差關系

在求解復雜幾何題時，教師需要引導學生有效地進行圖形變換，將分散的已知條件集中起來，構成新的基本圖形，創造有利條件，綜合分析，破題解題。在關于線段和差問題中，一般要看能否將圖形旋轉到某處，看看是否能共線，這樣就能將問題得以解決。例如，如圖3，在正方形ABCD中，點E與點F分別為BC、CD上動點，且∠FAE=45。，請根據條件分析線段BE、DF、EF存在什么樣的關系，并說明理由。

在閱讀題目后，教師引導學生這樣分析題目：線段BE、DF、EF的關系為DF+BE=EF。要證明兩條線段之和等于某線段，即可以考慮用“截長補短法”求解。不過，在這道題目中，顯然又難以實現這種做法，必然導致由于這題中條件不足截長法不易證得。其實，題中條件正方形ABCD中含有共頂點等線段AB和AD，為此，不妨將以A點作為旋轉點，將Rt△ADF以順時針旋轉90°到Rt△ABF'位置（如圖3-1）。由旋轉的性質得∠F'BE=180。，即點F'、B、E三點共線。接著，再證EF'=EF即可得證原問題。

四、在求圖形面積問題中的應用

在涉及圖形面積上，顯然不是直接要求問題最后圖形的面積，是將問題轉化成同已知條件相符的特殊圖形，這就是一種轉換思想。當然，部分題目還需要兩個旋轉圖形，才能使問題得以解決。例如，如圖4，點P為正方形ABCD內一點，由點P到其中三個頂點的距離分別為PA=1，PB=2，PC=3，請問正方形ABCD的面積是多少。

在閱讀題目后，教師引導學生這樣分析題目：此題已知為PA=1，PB=2，PC=3，要求正方形ABCD的面積，剛看真的有點風馬牛不相及無從下手，但考慮到正方形中不乏有共頂點等線段的條件，肯定要想著一些等量替換的做法。不妨將△ABP點A逆時針旋轉90°得到△ADP'，將△BCP繞點C順時針旋轉90°得到△DCP''，再分別連接PP'，PP''得到等腰直角△APP'和△CPP'（如圖4-1），由旋轉性質易得∠P'DP''=180。，即P'、D、P''三點共線。通過計算PP'、PP''、P'P''三邊長并根據勾股定理逆定理可以得到△PP'P''也是直角三角形。從而可以得到正方形ABCD的面積等于Rt△AP'P''、Rt△PP'P''，Rt△PCP''的面積之和。

另外，針對一些復雜圖形，即兩種或兩種以上圖形的情況，要懂得圖形與圖形之間的關系，在特殊關系中尋求問題的突破口。諸如，圓與三角形、圓與四邊形等都需要特殊考慮，因為兩種圖形結合的考查的知識點更多，需要的綜合性思維更加強。例如，如圖5，等邊△ABC內接于圓O，點P是劣弧BC上一點，PA=2，求四邊形ABPC的面積。

在閱讀題目后，教師引導學生這樣分析題目：題中條件只給出一條線段長度，要求四邊形ABPC的的面積，直接求很難找到突破口。由于題中條件給的是等邊三角形，存在等線段共頂點的線段，于是可以嘗試用旋轉法解題。現將△APC繞點B逆時針旋轉60°讓AC=AB與重合（如圖5-1），得到△AP'B。由旋轉的性質易得∠P'BP=180。∠P'，即點P'，B，P三點共線，通過旋轉將求四邊形ABPC的面積轉化為求△APP'的面積。而△APP'是等邊三角形且邊長PA=2，所以△APP'的面積不難求得。

綜上所述， 很多時候，學生會感覺幾何證明題存在困難，要么是難以綜合現有條件尋找解題方法，要么是輔助線添加存在問題……其主要根源在于學生對圖形的性質、判定不夠，因而導致對幾何知識的恐懼。文章通過以上幾種題型分析可以看出， 旋轉變換對解決平面幾何中的某些問題舉足輕重， 特別是在解決有關等邊三角形、等腰直角三角形、正方形、圓形等問題時， 更是經常用到它。當然，教師在平時教學中，要引導學生做題時的思維退出課本要求，要懂得幾何知識的學以致用，以知為謀，將知識轉化為技能，破題解題。只要在平時的學習中多加研究， 就可以讓平面幾何中的某些問題迎刃而解， 起到事半功倍的作用。

參考文獻：

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