峰回路轉看變換

趙軍

解答數學問題，有幾大必備策略：一類是圖形的變換，包括平移、折疊（對稱）和旋轉;另一類是構造圖形。通過這些方法，我們可以將問題進行轉化，以達到化難為易的目的。

一、平移法

例1 在如圖1所示8×8的網格中，小正方形的邊長為1，點A、B、C、D都在格點上，AB與CD相交于點E，則∠AED的正切值是。

【思路分析】所求的∠AED不在某一直角三角形中，如何求其正切值？策略1：自力更生，“就地”構造直角三角形;策略2：通過圖形的變換，將此角進行轉化。策略1：結合已知條件，求tan∠AED雖然可以轉化為求tan∠CEB，然后在△CBE中作高，構造直角三角形求解，但點E不在格點上，所以求所構造的直角三角形的邊比較麻煩;策略2：試著通過平移線段將∠AED轉移到某一直角三角形中求解即可。

如圖2，將線段CD向右平移3格，使線段CD平移至BF，連接AF，在Rt△ABF中，tan∠B=[AFBF]=[2535]=[23]，所以∠AED的正切值為[23]。

【歸納反思】當求值遇到困難時，應首先想到轉化。所謂“山重水復疑無路，平移變換又一村”，借助平行，我們可以將所求的角進行轉化，達到化難為易的目的。

二、折疊（對稱）法

例2 如圖3，在平面直角坐標系中，點A（3，[3]），P為x軸上一動點，則[12]OP+AP的最小值為。

【思路分析】點A（3，[3]）的坐標隱藏了OA與x軸正方向的夾角為30°，如果能發現這個30°角，就為轉化[12]OP創造了條件。

如圖4，連接OA，過點P作PB⊥OA，垂足為B，則在Rt△OBP中，PB=[12]OP，所以[12]OP+AP=PB+PA，問題即轉化為求PA+PB的最小值。此時可作點A關于x軸的對稱點A′，連接AA′，交x軸于點D，再將PA轉化為PA′，最終將問題轉化為點A′到OA的距離最短問題。

如圖4，求A′C的長有三種思路：一是在連接OA′的基礎上，運用等積法（兩次計算△OAA′的面積）求解;二是證得△AA′C≌△AOD得到答案;三是運用銳角三角函數，分別在Rt△OAD和Rt△A′AC中，以sin∠OAD=sin∠A′AC解決問題。

【歸納反思】通過對稱變換，將求“和最小”的問題進行轉化，由某直線同側的“和最小”轉化為該直線異側的“和最小”。其思路概括為：“和最小，對稱找”，從而將問題轉化為點到直線的距離問題。

三、旋轉法

例3 如圖5，在平面直角坐標系中，點A（12，0），點B（0，4），點P是直線y=-x-1上一點，且∠ABP=45°，則點P的坐標為。

【思路分析】點P可視作直線BP和直線y=-x-1的交點，所以求出直線BP的表達式是解題的關鍵。而直線BP過點B（0，4），因此，只需在該直線上再找一點或者求得該直線的k值即可。剩下的問題就是如何利用好條件∠ABP=45°，這時候我們可以考慮旋轉線段。

如圖6，將線段AB繞點B逆時針旋轉90°至CB，過點C作CD⊥y軸，則容易得到△ABO≌△BCD、∠BAC=45°，所以可以得到C（4，16）、

BP∥CA，在求出直線CA的表達式y=-2x+24后，根據“兩直線平行，k值相等”，從而得到直線BP的表達式為y=-2x+4，最后列方程組[y=-2x+4，y=-x-1，]解得點P的坐標為（5，-6）。

【歸納反思】將線段AB繞點B逆時針旋轉90°的目的是構造等腰直角三角形，出現新的45°角，為直線的平行創造條件。當然，我們也可以將線段AB繞點B順時針旋轉90°（如圖7），則CA與BP的交點E就是CA的中點。在求得點E坐標的基礎上，求出直線BE的表達式，最后列方程組求得交點P的坐標。因此，旋轉線段的直接效果是出現等腰直角三角形，若題目中有與之相關聯的條件，可以嘗試運用此法。

四、構造法

例4 如圖8，四邊形ABCD是邊長為4的正方形，⊙B的半徑為2，點P是⊙B上一動點，則PD+[12]PC的最小值為，PD-[12]PC的最大值為。

【思路分析】如何找出一條線段代替[12]PC是解題的關鍵。仔細讀題，我們會發現：⊙B的半徑為2，與正方形的邊長4的比值是[12]，這與我們要找的線段長與PC之比相等，因此，考慮構造一組相似三角形，通過比值不變找出這條線段。

如圖9，連接BP，取BE的中點F，連接PF、DF，由[BFBP]=[BPBC]=[12]，∠FBP=∠PBC，得△BFP

∽△BPC，所以FP=[12]PC。問題即轉化為求PD+FP的最小值。很顯然，當D、P、F共線時，有最小值，最小值為DF的長。可在Rt△CDF中求得DF=5。同樣的思路，PD-[12]PC=PD-FP，如圖10，有PD-FP≤DF，所以當D、F、P三點共線（F在線段PD上）時，有最大值5。

【歸納反思】構造不是憑空捏造，它是有“根”的。本題的根在系數[12]，也是解題的“題眼”所在。因此，通過構造，我們化解了[12]PC，達到了轉化的目的。

圖形的變換是一種技巧。通過平移、折疊、旋轉及構造，我們能有效地將問題化難為易，化陌生為熟悉。什么時候采用哪種變換，要據題目的條件而定，不能一概而論。一般而言，其運用技巧可以歸納為：角度摸不著，平移來幫忙;要求“和最小”，對稱少不了;出現四十五，旋轉估一估;系數是個比，構造試一試。

（作者單位：江蘇省太倉市實驗中學）