隱藏在中考題中的“摸球試驗”

秦建敏

這幾年，圍繞概率的問題逐漸由考查概念和計算轉為考查閱讀、理解以及實際運用，這部分試題往往材料新穎、圖文并茂。但是簡單的隨機事件的概率問題本質上都可以轉化為等可能條件下的摸球試驗問題。下面我們通過幾道中考題加以闡述，以便大家更好地認識中考中的概率問題。

例1 （2020·湖南湘潭）生死守護，致敬英雄。湘潭28名醫護人員所在的湖南對口支援湖北黃岡醫療隊紅安分隊，精心救治每一位患者，出色地完成了醫療救治任務。為致敬英雄，某校音樂興趣小組根據網絡盛傳的“紅旗小姐姐”跳的儋州調聲組建了舞蹈隊。現需要選取兩名學生作為舞蹈隊的領舞，甲、乙兩班各推薦了1名男生和1名女生。（溫馨提示：用男1、女1，男2、女2分別表示甲、乙兩班的4名學生。）

（1）請用列舉的方法寫出所有可能出現的結果;

（2）若選取的兩人來自不同的班級，且按甲、乙兩班先后順序選取，請用列表或畫樹狀圖的方法求出恰好選中1男1女的概率。

【分析】本題考查列表法和畫樹狀圖法，同時，按照題目中“寫出所有可能出現的結果”的要求，在使用列舉法時，要注意按一定的順序列舉，做到不重不漏。

（1）直接列舉出所有可能出現的結果即可;

（2）畫出樹狀圖，找出符合題意的可能結果，再利用概率公式求出概率。

解：（1）可能出現的結果有：男1女1、男1男2、男1女2、男2女1、男2女2、女1女2。

（2）畫樹狀圖如下：

共有4種等可能的結果，其中恰好選中1男1女的結果有2種，所以恰好選中1男1女的概率為[24]=[12]。

【點評】本題的第（2）小題，考查的是選中的學生為1男1女的概率。我們不妨把男生看作紅球，把女生看作白球，甲班的男生、女生分別為紅1、白1，乙班的男生、女生分別為紅2、白2。那么此題就轉化為從紅1、白1和紅2、白2中分別取1個球，求這兩個球的顏色不相同的概率。這樣，問題就順利地從到班級選學生轉化為摸球試驗，回歸熟悉的問題，思考起來簡單明了。

例2 （2020·遼寧營口）隨著“新冠肺炎”疫情防控形勢日漸好轉，各地開始復工復學。某校復學后成立“防疫志愿者服務隊”，設立4個“服務監督崗”：①洗手監督崗，②戴口罩監督崗，③就餐監督崗，④操場活動監督崗。李老師和王老師報名參加了志愿者服務工作，學校將報名的志愿者隨機分配到4個監督崗。

（1）李老師被分配到“洗手監督崗”的概率為;

（2）用列表法或畫樹狀圖法，求李老師和王老師被分配到同一個監督崗的概率。

【分析】（1）一共有4個監督崗，李老師被分配到每個監督崗的可能性相等，所以李老師被分配到“洗手監督崗”的概率為[14]。

（2）在分配監督崗時，李老師有4種等可能的崗位分配，針對李老師的每一項崗位分配，王老師又有4種等可能的崗位分配，由此得出李老師和王老師所有的崗位分配種數。其中李老師和王老師被分配到同一個監督崗的情況有4種，進而求得相應概率。

解：（1）[14];

（2）（方法一）畫樹狀圖，如圖所示：

由樹狀圖可以看出，隨機將李老師和王老師分配到4個監督崗，可能出現的結果共有16種，并且它們出現的可能性相等，其中，兩位老師被分配到同一個監督崗的情況有4種，即①①，②②，③③，④④，

∴P（兩位老師被分配到同一個監督崗）=[416]=[14]。

（方法二）根據題意，列表如下：

[ ① ② ③ ④ ① （①，①） （①，②） （①，③） （①，④） ② （②，①） （②，②） （②，③） （②，④） ③ （③，①） （③，②） （③，③） （③，④） ④ （④，①） （④，②） （④，③） （④，④） ][王老師][李老師]

由表格可以看出，隨機將李老師和王老師分配到4個監督崗，可能出現的結果共有16種，并且它們出現的可能性相等，其中，兩位老師被分配到同一個監督崗的情況有4種，即（①，①），（②，②），（③，③），（④，④），

∴P（兩位老師被分配到同一個監督崗）=[416]=[14]。

【點評】這是一道以防疫監督崗人員調配為背景的實際問題，我們依然可以將它轉化為摸球試驗。“一只不透明的袋中裝有標號分別為①、②、③、④的小球，這4個球除標號外完全相同，從中隨機抽取一個小球，記下標號，放回后再從中隨機抽取一個，求兩次抽出小球標號相同的概率。”對大家來說，這個摸球試驗是一個可以輕松應對的問題。

同學們，通過對這幾個問題的分析，我們會發現，在數學的學習過程中，模型思想、轉化思想是多么重要。數學是需要積累解題經驗的，但是如果能在解決一類問題后，認真觀察、思考、歸納其中的規律，對我們提高數學水平會有很大的幫助。

（作者單位：江蘇省連云港市海州實驗中學）