弄清問題　踩點得分

毛亞玲

圍繞平行四邊形知識點的考查，同學們在答題時時常會出現“會而不對”“對而不全”的現象。如何做到規范解答？跳步、漏步的原因是什么？怎樣才能做到步步得分呢？下面我們結合具體題目，嘗試用“踩點得分”的方式去分析問題、解決問題。

例 （本題滿分8分）已知：如圖，在?ABCD中，G、H分別是AD、BC的中點，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E、F。

（本小題5分）（1）求證：四邊形GEHF是平行四邊形;

（本小題3分）（2）已知AB=5，AD=8。當四邊形GEHF是矩形時，求BD的長。

【分析】條件有3個：?ABCD;G、H分別是AD、BC的中點;AE⊥BD，CF⊥BD。從第（1）問為5分來看，平行四邊形的判定需兩個條件，各2分，結論1分。從此入手，3個條件如何組合，可以得出平行四邊形判定的兩個條件呢？按照分類來看有三種可能，第一種和第二種我們可以用下面的框圖來表示。

第一種：

第二種：

那么第三種情況：?ABCD與G、H分別是AD、BC的中點這兩個條件的組合可以嘗試嗎？選擇連接GH，設GH與BD相交于點O，這里容易產生的邏輯漏洞是直接得到點O是BD的中點，這也就是缺步驟、跳步驟的源頭。正確的做法應該是繼續連接BG、DH，去證明四邊形BGDH是平行四邊形，從而得到O是BD、GH的中點。進一步的證明可得到OE=OF，進而證得四邊形GEHF是平行四邊形。下面我們選取第二種組合來分析如何做到踩點得分，其他兩種大家可以自主嘗試。

（1）證明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴∠AED=∠CFB=90°。（1分）

∵G、H分別是AD、BC的中點，

∴EG=DG=[12]AD，FH=BH=[12]BC，

∴∠GED=∠GDE，∠HBF=∠HFB。（3分）

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD=BC，AD∥BC，

∴EG=FH，∠GDE=∠HBF，

∴∠GED=∠HFB，

∴EG∥FH，（4分）

∴四邊形GEHF是平行四邊形。（5分）

【點評】第（1）問的證明分為四個邏輯塊，也就是四句。第一句由垂直得直角，基于直角三角形的前提不能省;第二句里面有兩個得分點，一個是線段相等，還有一個是角相等;第三句得對應邊相等且平行;最后一句下結論得證。我們可以用同樣的方法來解決第（2）問。

【分析】第（2）問強化了條件，四邊形GEHF是矩形。我們先弄清BD的構成，BD=BE+EF+FD，發現BE和FD可以用全等三角形證明相等，而EF=GH，并且可以通過證明四邊形ABHG是平行四邊形得到EF=GH=AB=5。因此，問題的關鍵轉化為求BE的長。

（2）解：連接GH，∴當?GEHF是矩形時，EF=GH。

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD=BC，AD∥BC。

∵G、H分別是AD、BC的中點，

∴AG=[12]AD，BH=[12]BC，

∴AG=BH，AG∥BH，

∴四邊形ABHG是平行四邊形，

∴EF=GH=AB=5。（1分）

∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴∠AEB=∠CFD=90°。

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=DC，∠ABD=∠CDB，

∴△ABE≌△CDF（AAS），

∴BE=DF。（2分）

設BE=x，則DF=x，ED=5+x。

∴52-x2=82-（5+x）2，解得x=1.4，

∴BD=7.8。（3分）

【點評】由矩形想到對角線相等，這是從線段角度入手來解決第（2）問。將BD分解之后，邏輯塊分成三句：第一句證明GH=AB=5;第二句證明BE=DF;第三句也是最難的，利用兩次勾股定理構造方程求解BE。如果由矩形聯想到的是直角，從角度入手的話，你會發現什么？提示一下，可以通過相似三角形來解決第（2）問。

（作者單位：江蘇省南京市金陵中學仙林分校中學部）