教材固基礎　變式拓思維

環靖

試題源于教材又高于教材，翻閱歷年中考題，我們不難看到教材例題的身影。為此，在中考復習時回歸教材，關注典型例題的深層次挖掘，一方面符合思維能力較弱的同學的接受實際，另一方面也為思維能力較強的同學拓展思維深度。因此，深究教材例題，是考前復習較為有效的手段之一。

例題 （蘇科版數學教材八年級下冊第68頁例2）已知：如圖1，在?ABCD中，點E、F分別在AD、BC上，且AE=CF。

求證：四邊形BEDF是平行四邊形。

證明過程見教材。

本題可以從以下幾個方面進行變化：

【變式1】已知：如圖2，在?ABCD中，點E、F分別在AD、BC上，且AE=CF，EF、BD相交于點O。

求證：OE=OF。

證明：連接BE、DF。

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴ AD∥BC，AD=BC。

∵AE=CF，

∴DE=BF，

∴四邊形BEDF是平行四邊形，

∴OE=OF。

【點評】本題除了可以通過證明四邊形BEDF是平行四邊形外，也可以通過證明△EOD

≌△FOB來解決。本題在原題條件不變的情況下，圖形輕微變化，證明思路、策略與教材例題并無區別。

【變式2】已知：如圖3，在?ABCD中，點E、F分別在AD、BC上， EF、BD相交于點O，且OE=OF。

求證：AE=CF。

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴ AD∥BC，AD=BC，

∴∠EDO=∠FBO。

∵∠EOD=∠FOB，OE=OF，

∴△EOD≌△FOB，

∴DE=BF，∴AE=CF。

【點評】本題將變式1中的條件（AE=CF）與結論互換，雖然不能通過先證明四邊形BEDF是平行四邊形的方法得到DE=BF，但是可以從全等的角度得到。由此可見，條件與結論互逆后的解題方法并不是簡單地將原方法互逆，而是要尋找新的途徑進行思考。

【變式3】已知：如圖4，在?ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點。

求證： 四邊形AECF是平行四邊形。

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=DC，AB∥DC。

∵E、F分別是AB、CD的中點，

∴FC=[12]DC，AE=[12]AB，∴FC=AE。

又∵CF∥AE，

∴四邊形AECF是平行四邊形。

【點評】本題是對教材例題的特殊化。其實，利用教材例題的證明過程也可以進行證明，但是教材例題的證明卻不可以完全照搬本題的證明過程。

【變式4】已知：如圖5，在?ABCD中，∠ABC、∠ADC的平分線分別交AD、BC于點E、F。

求證：BE∥DF。

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC。

∵BE、DF分別平分∠ABC、∠ADC，

∴∠EBC=[12]∠ABC，∠ADF=[12]∠ADC，

∴∠EBC=∠ADF。

∵AD∥BC，∴∠ADF=∠DFC，

∴∠EBC=∠DFC，∴BE∥DF。

【點評】如果說變式3是線段的特殊化，那么本題就是角的特殊化。解題策略也從線段方面思考變為從角方面思考。

【變式5】已知：如圖6，在?ABCD中，∠ABE=[1n]∠ABC，∠FDC=[1n]∠ADC。

求證：BE∥DF。

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC。

∵∠ABE=[1n]∠ABC，∠FDC=[1n]∠ADC，

∴∠EBC=[n-1n]∠ABC，

∠ADF=[n-1n]∠ADC，

∴∠EBC=∠ADF。

∵AD∥BC，∴∠ADF=∠DFC，

∴∠EBC=∠DFC，∴BE∥DF。

【點評】本題雖然將變式4進行一般化處理，但是兩題的解題思路與過程卻是一致的。

我們可以發現，很多試題實際上是將教材例題的條件或者圖形進行強化、弱化、一般化、特殊化、條件結論互逆化等一系列的變化得到。在平時的學習中，同學們不能局限于教材例題的解決，也要利用變式思維思考這些題目還有哪些變化，進而達到解一題、通一類的效果。

（作者單位：江蘇省南京市六合高級中學附屬初級中學）