巧用直徑，妙解圓的綜合題

趙宏敏

圓的直徑具有以下性質：直徑是圓中最長的弦，直徑所在的直線是圓的對稱軸，直徑所對的圓周角是直角。我們在解與圓的直徑有關的題型時，要注意利用好直徑的這些性質。

一、利用直徑求最值

例1 如圖1，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是線段BC上的一個動點。以AD為直徑畫⊙O分別交AB、AC于點E、F，連接EF，則線段EF長度的最小值為。

【分析】連接OE、OF，作OM⊥EF于點M，作AN⊥BC于點N。根據圓周角定理得到∠EOF=120°，再計算出EF=[3]OE，則OE最小時，EF的長度最小，此時圓的直徑的長度最小。利用垂線段最短得到AD的長度最小值為AN的長，接著計算出AN=[2]，從而得到OE的最小值為[22]，最后確定EF長度的最小值。

解：連接OE、OF，作OM⊥EF于點M，作AN⊥BC于點N，如圖2。

∵∠EOF=2∠BAC=2×60°=120°，

而OE=OF，OM⊥EF，

∴∠OEM=30°，EM=FM。

在Rt△OEM中，OM=[12]OE，

EM=[32]OE，

∴EF=2EM=[3]OE，

∴當OE最小時，EF的長度最小，此時圓的直徑的長度最小，即AD的長度最小。

∵AD長度的最小值為AN的長，

而AN=[22]AB=[2]，

∴OE的最小值為[22]，

∴EF長度的最小值為[3]×[22]=[62]。

故答案為[62]。

二、利用直徑求線段長

例2 如圖3，點A、B、C、D在⊙O上，OA⊥BC，垂足為E。若∠ADC=30°，AE=1，則BC的長為（）。

A.2B.4C.[3]D.[23]

【分析】連接OC，根據圓周角定理求得∠AOC=60°，則在Rt△COE中，可得OE=[12]OC=OC-1，得到OC=2，從而得到CE=[3]，最后根據垂徑定理得到BC的長。

解：連接OC，如圖4。

∵∠ADC=30°，

∴∠AOC=60°。

∵OA⊥BC，

∴CE=BE，∠CEO=90°，

∴在Rt△COE中，

OE=[12]OC，CE=[3]OE。

∵OE=OA-AE=OC-1，

∴OC-1=[12]OC，

∴OC=2，

∴OE=1，

∴CE=[3]，

∴BC=2CE=[23]。

故選D。

三、利用直徑判斷線段之間的關系

例3 如圖5，在△ABC中，∠B=90°，點D為AC上一點，以CD為直徑的⊙O交AB于點E，連接CE，且CE平分∠ACB。

（1）求證：AE是⊙O的切線;

（2）連接DE，若∠A=30°，求[BEDE]。

【分析】（1）連接OE，證明OE∥BC，得∠AEO=∠B=90°，即可得出結論;

（2）連接DE，先證明△ECB∽△DCE，得出[BEDE]=[CECD]，易證∠ACB=60°，由角平分線定義得∠DCE=[12]∠ACB=[12]×60°=30°，由此即可得出[BEDE]的值。

（1）證明：連接OE，如圖6。

∵CE平分∠ACB，

∴∠ACE=∠BCE。

又∵OE=OC，

∴∠ACE=∠OEC，

∴∠BCE=∠OEC，

∴OE∥BC，

∴∠AEO=∠B。

∵∠B=90°，

∴∠AEO=90°，

即OE⊥AE。

∵OE為⊙O的半徑，

∴AE是⊙O的切線。

（2）解：連接DE，如圖7。

∵CD是⊙O的直徑，

∴∠DEC=90°，

∴∠DEC=∠B。

又∵∠DCE=∠ECB，

∴△ECB∽△DCE，

∴[BEDE]=[CECD]。

∵∠A=30°，∠B=90°，

∴∠ACB=60°，

∴∠DCE=[12]∠ACB=[12]×60°=30°，

∴[CECD]=cos∠DCE=cos30°[=32]，

∴[BEDE][=32]。

直徑是圓的重要特征之一，可以確定圓的大小，計算圓的周長和面積，也可以構造直角三角形。因此，我們可以根據題意將要求的線段、角度、線段之比等轉化到直角三角形中，然后利用勾股定理或相似三角形求解。

（作者單位：江蘇省蘇州工業園區星澄學校）