探索“幾何畫板”在中小學數學教學中的應用

[摘 要] “幾何畫板”在中小學數學教學中發揮了獨特的優勢，充分發揮了“以學生為主體，以教師為主導”的新課程模式，激發學生的學習興趣，提高了學生自主探究的能力，培養學生數形結合等思想。借助中小學數學中的一系列案例，從創設情境、自主探究、數形結合、概念教學等應用方式探索“幾何畫板”在中小學數學教學過程中的應用，并用二次函數的教學案例來說明“幾何畫板”在中小學數學教學中的價值所在。

[關鍵詞] 幾何畫板;數學教學;自主探究

[基金項目] 2020年度云南省教育廳科學研究基金教師類項目“中緬邊境地區小學生數學學習現狀調查研究”（2020J0749）

[作者簡介] 王麗美（1987—），女，山東臨沂人，碩士，滇西科技師范學院數理學院講師，主要從事數學教育、教育統計研究。

[中圖分類號] G40-01 ? ?[文獻標識碼] A ? ?[文章編號] 1674-9324（2021）14-0150-04 ? ?[收稿日期] 2020-12-30

現代教育技術的發展將對數學教育的價值、目標、內容以及學習和教學的方式產生重大影響。數學課程要重視運用現代技術手段，特別是要充分考慮計算機對數學學習的影響，利用現代技術作為學生學習數學和解決問題的強有力的工具，使學生從大量繁雜、重復的運算中解放出來，將更多的精力投入到現實的、探索性的數學活動中去[1]。新課程提倡自主探索，動手實踐與合作交流的學習方式，要求我們在整個數學教學過程中以學生為主體，教師為主導。“幾何畫板”正是一種很好的實現以學生為主體的一種可視化的動態教育軟件。在學習數學的過程中，學生不再是知識的容器而是作為探索者參與進來，不僅有助于學生能力的提高，而且充分發揮了教師的主導作用，使教師探索出新的教學模式。本文結合教學案例探索“幾何畫板”在中小學數學教育中的應用和價值。

一、“幾何畫板”簡介

“幾何畫板”是由美國Key Curriculum Press公司制作并出版的教學輔助軟件，適用于幾何（平面幾何、解析幾何、射影幾何等）及物理教學的軟件平臺，使用該軟件可以很方便地制作出一些表現數學或物理規律的課件。通過該軟件制作的課件不僅簡單實用、容易學習，而且制作出的課件比較小、便于攜帶、交互性強。它適用于數學的平面幾何、解析幾何、立體幾何等教學，以點、線、面為基本元素，通過對這些基本元素的變換、構造、測算、計算、動畫、跟蹤軌跡等，顯示或構造出其他較為復雜圖形[2]。“幾何畫板”主要有以下幾個特點[3]。

一是動態性。可以用鼠標拖動圖形上的點、線、圓，且事先設定的圖形的基本性質不發生變化。二是交互性。提供多種方法幫助教師了解學生的思路和對概念的掌握程度。三是探索性。師生可以用幾何畫板去發現、探索、表現、總結幾何規律，建立自己的認識體系，成為真正的研究者。四是簡潔性。制作工具少，制作過程簡單，容易掌握，不需要花費很多時間和精力去學習軟件，強調操作者對學科知識的建構和理解。

二、“幾何畫板”在中小學數學教學中應用方式

“幾何畫板”既能創設情境又能讓學生主動參與，所以能有效地激發學生的學習興趣，使枯燥、抽象的數學概念變得直觀、形象，使學生從害怕、厭惡數學變成對數學喜愛并樂意學數學[4]。讓學生通過做“數學實驗”去主動發現、主動探索，不僅使學生的邏輯思維能力、空間想象能力和數學運算能力得到很好的訓練，而且還有效地培養了學生的發散思維和直覺思維。“幾何畫板”在中小學數學教學中主要應用于創設情境、自主探究、數形結合、概念教學等幾個方面。

（一）創設情境

在課堂教學中培養學生的應用意識，應當采取靈活多樣的課堂教學模式和教學方法，通過活躍的“問題解決”和數學實踐活動，引導學生把數學知識與生活實際聯系起來[5]。新課程標準要求為學生提供自主學習和自主探究的機會，通過問題情境導入數學的學習過程。幾何畫板的優勢之一在于能夠為學生提供豐富的數學實驗情境和問題情境，動手操作，在“做”數學的過程中學到知識。

案例一：三角函數y=Asin（ωx+φ）.

本案例是高一數學第一冊（下）第四章（三角函數）4.9節的教學內容。這里可以通過直觀演示物理中“簡諧運動”動畫，充分顯示運動的整個過程，調動學生的思維和學習興趣，為培養學生邏輯思維、觀察分析等數學能力提供了很好的素材，較好地為新知識創設了情境。

學生利用“幾何畫板”，單擊“描點”按鈕，在坐標系上描出相應的點，描完5個點后單擊“顯示圖像”按鈕繪制出相應的曲線。在教師的指導下，學生還可以改變參數A、ω、φ來改變三角函數，充分認識三角函數的圖像和性質。本案例通過創設情境，激發學生的學習興趣和求知欲，使枯燥的數學變得直觀、形象、生趣。

（二）自主探究

通過學生自己動手操作發現、分析、探索，真正成為知識的探索者，而不再是知識的容器。在不斷探索的過程中完善自己的知識體系，提高獲取知識的能力。

案例二：拋物線y=2px及其標準方程。

教師給出素材圓錐曲線的統一形式，通過改變離心率讓學生自主探究來認識圓錐曲線，在探索拋物線圖像及性質的基礎上，回顧橢圓和雙曲線的圖像及性質。

問題探究一：當離心率e>1時圖形會變成什么？（學生自主探究后會發現是雙曲線）

問題探究二：當離心率e<1時圖形會變成什么？（學生自主探究后會發現是橢圓）

問題探究三：當離心率e=1時圖形會變成什么？（學生自主探究后會發現是拋物線）

通過自主探究可以看出圖像的明顯變化，從而得出當離心率e=1時的圖像是拋物線。

（三）數形結合

中小學數學中很多內容、概念比較抽象，而中小學生正處在形象思維發達的階段，但是抽象邏輯思維能力還在形成中。華羅庚說過“數缺少形時少直覺，形缺少數時難入微”。“幾何畫板”能將許多抽象的知識變得直觀、簡單，數形得到充分的結合。

案例三：圓與圓的位置關系。

圓與圓的位置關系是在學習點與圓的位置關系、直線與圓的位置關系基礎上對圓與圓的位置關系的探究。設其中一個圓的圓心為O，半徑為r，另一個圓的圓心為O，半徑為r（規定r>r）。通過探究OO的距離d和兩個圓半徑的關系來充分理解圓與圓的位置關系。

當d>r+r時，圓與圓外離;當d=r+r時，圓與圓外切;當r-r

（四）概念教學

概念在數學教學中比較困難，特別是中小學生對于概念的理解總是不到位。通過“幾何畫板”可以使學生從直觀上來理解概念的內涵，彌補傳統教學中不能清晰描述出概念形成的過程。

案例四：棱臺的概念。

“幾何畫板”可以輕松繪制出各種立體幾何圖形，也可以讓學生充分理解平面圖像到立體圖形、從二維空間到三維空間的轉變。可以將原本黑板上的固定圖形變成幾何畫板中活靈活現的圖形，讓學生進入一個數形的世界中。能夠清晰地看到棱臺的組成部分以及隨著棱臺的高度變化而發生變化，使同學們輕松的學到新知識、新概念。

三、“幾何畫板”在中小學數學教學中的應用案例分析

案例五：二次函數y=a（x-h）+k的圖像和性質。

本案例是人教版九年級上冊第22章的教學內容，新課標指出：二次函數的教學必須讓學生從二次函數動態化特征的觀察過程中，提出假設，并通過實驗的方式探索知識點之間的內在聯系和相應結論的推導過程。利用幾何畫板創造良好的數學環境，探索二次函數的圖像及性質。本案例采用基于課堂的探究協作型模式，以學生為主體，教師為主導的指導思想。教師先創設環境，提出問題，學生通過“幾何畫板”進行數學實驗，從而觀察分析，與同學交流，在教師的指導下進行歸納總結。在整個教學過程中，教師的點撥和學生的自主探究相結合，引導學生主動思考而達到理解二次函數的圖像和性質，并通過練習加以檢驗和鞏固。

（一）教學目標

一是知識與技能。首先，會用描點法畫出二次函數y=ax的圖像，并了解拋物線的概念。其次，利用幾何畫板觀察分析二次函數y=ax圖像及性質，總結出二次函數y=ax的開口方向、對稱軸、增減性、頂點坐標。最后，能運用二次函數的知識解決簡單的實際問題。

二是過程與方法。首先，通過動手操作、觀察比較、分析思考、規律總結等活動過程，利用幾何畫板完成對二次函數y=ax的圖像及其性質的認知。其次，經歷探索二次函數的圖像的作法和性質的過程，培養學生的探索能力。

三是情感態度與價值觀。經歷觀察、猜想、總結等數學活動過程，發展合情推理能力和初步的演繹推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點。創設情境，讓學生積極主動參與自主探索的過程，培養學生數形結合的思想。

（二）教學重點和難點

教學重點：二次函數y=ax的圖像及其性質。

教學難點：通過“幾何畫板”對圖像的觀察，分析規律，歸納性質，利用數形結合的思想解題。

（三）教學過程

一是創設情境。教師演示憤怒的小鳥這款游戲的動畫，在展示動畫過程中拋出問題：憤怒的小鳥在射出的過程中所形成的圖形是什么？怎樣才能讓小鳥精準地射中目標？你覺得這個動畫跟我們數學知識有什么關聯？（學生在思考后得出這個圖形是拋物線。）

通過這個動畫調動學生的思維和學習興趣，為學生觀察分析二次函數等的數學能力提供很好的素材，較好地為學習二次函數創設了思維情境，引出這節課的主要內容拋物線。

二是復習引入。教師引導學生先復習一次函數的相關知識點，從y=kx到y=kx+b的圖像及性質，從k的數值改變總結出一般歸路。并讓學生用描點法繪制出一次函數y=kx的圖像，一次函數的圖像時一條直線，反比例函數的圖像是雙曲線，從而引出二次函數的圖像會是什么？為下一步的自主探究做好準備。

三是自主探究。自主探究一：利用幾何畫板采用描點法繪制出二次函數y=x的圖像，觀察二次函數的圖像時什么樣子的？在作圖的過程中需要注意什么？

自主探究二：學生觀察二次函數圖像，并大膽猜想二次函數的圖像的特征。

教師補充糾正學生猜測的二次函數圖像的特征，并引導學生觀察分析圖像引出二次函數圖像的開口方向、對稱軸、頂點坐標以及函數的增減性。

自主探究三：在探究一的圖像坐標系中作出二次函數y=3x和y=x的圖像，通過對比研究y=x的圖像，分析這三個函數的相同點和不同點。

自主探究四：在探究三的圖像坐標系中繼續作出二次函數y=-x、y=-3x和y=-x的圖像，此時從開口方向、開口大小、頂點坐標、對稱軸、增減性對比研究六個函數圖像的特征，歸納出一般規律。

自主探究五：思考y=ax圖像的特征，分a>0和a<0兩種情況研究，并分小組討論總結出一般規律。

通過五個問題的自主探究，在教師的指導下，學生親自動手操作，改變a的值來觀察圖像的變化。用數形結合的思想和分類討論的思想利用如下圖表進行歸納總結，教師進行歸納補充。

歸納總結如下：

二次函數y=ax圖像關于y軸對稱，頂點為（0，0）。當a>0時，二次函數的開口方向向上，原點是最低點，隨著a的值增大，開口越小，當x>0時，函數值y隨著x的值增大而增大，當x<0時，函數值y隨著x的值增大而減小;當a<0時，二次函數的開口方向向下，原點是最高點，隨著a的值減小，開口越小;當x>0時，函數值y隨著x的值增大而減小;當x<0時，函數值y隨著x的值增大而增大。

四是練習鞏固。通過設置不同形式和層次的練習題進行知識的應用和鞏固，鍛煉學生解決問題的能力，同時檢測學生對于二次函數知識的掌握情況。

基礎題：

（1）二次函數y=5x的對稱軸______，頂點坐標_______，開口方向_______，當x>0時，函數值y隨著x的值增大而_____，當x<0時，函數值y隨著x的值增大而______.

（2）二次函數y=x的對稱軸______，頂點坐標_______，開口方向_______.

提高題：

已知二次函數y=（m-1）x的開口方向向上，則m的取值范圍是______.

拓展題：

已知二次函數y=ax與y=2x-1相交于點（1，n），求a，n的值，并畫出二次函數的圖像.

五是課堂小結。積極組織學生進行本節教學內容的總結，對知識點進行梳理，從而完善學生的認知結構。

六是探究性問題。思考：二次函數y=ax+k的圖像及性質。通過學生對這次二次函數的課外自主探究，指導學生拓展思路、發展思維，為下一個教學內容打好基礎。

四、教學反思

通過“幾何畫板”在中小學數學教學中的應用探索，充分認識到“幾何畫板”實現了“以學生為主體，教師為主導”的新課程模式。德國教育學家第斯多惠曾說過：“教學的藝術不在于傳授本領，而在于激勵、呼喚”。“幾何畫板”使學生從知識的容器變為知識的探索者，使教師從知識的灌輸者變為學習過程的組織者、指導者。同時使學生融入數學情景中，提高了對數學的求知欲，激發學生學習數學的興趣。在數學教學的整個過程中，使學生自主探究，觀察、比較、分析、思考，從而提升學生的實踐操作能力，豐富了數學課程，使數學教學活動得到有效的開展。

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（實驗）[M].北京：人民教育出版社，2003.

[2]李秉德.教育科學研究方法[M].北京：人民教育出版社，1986.

[3]繆亮，盤俊春.幾何畫板[M].北京：清華大學出版社，2018.

[4]翁娟.幾何畫板在初中數學教學應用中的有效性研究[D].蘇州：蘇州大學，2010.

[5]常亮.基于幾何畫板軟件的平面幾何數學建模教學設計研究[D].拉薩：西藏大學，2018.

Exploration of the Application of The Geometer's Sketchpad in Mathematics Teaching in Primary and Secondary Schools

WANG Li-mei

（School of Mathematics and Physics， West Yunnan University， Lincang， Yunnan 677000， China）

Abstract： The Geometer's Sketchpad plays a unique role in mathematics teaching in primary and secondary schools， gives full play to the "student-centered， teacher-led" new teaching model， stimulates students' interest in learning， improves students' ability to explore independently， and cultivates students' thought of combination of numbers and shapes. With the help of a series of cases in mathematics in primary and secondary schools， this paper explores the application of The Geometer's Sketchpad in mathematics teaching in primary and secondary schools from the application methods of creating situation， self-inquiry， combination of numbers and shapes， and concept teaching， and illustrates the value of The Geometer's Sketchpad in mathematics teaching in primary and secondary schools with the teaching cases of quadratic function.

Key words： The Geometer's Sketchpad; mathematics teaching; self-inquiry