練習課原來可以這樣上

朱宇

作為一種常見課型，練習課不僅要鞏固知識、習得方法，更承載著提升思維、生成智慧的目標。特級教師華應龍在“化錯教育2019年度峰會”上執教的“買比薩的故事——圓面積的練習”一課，從比薩的面積大小問題切入，著眼“為什么”“還有什么”等指向高階思維的原生問題，引導學生展開辨錯、研錯、糾錯活動，不斷拓展思維，使思維從“淺表”走向“深層”。

【片段一】趣味情境引出原生問題

（教師播放動畫《買比薩的故事》）

一天中午，加拿大一家餐廳，一位來自中國的游客點了一個直徑12英寸的比薩作為午餐。一會兒，服務員端來了兩份比薩，說：“12英寸的比薩沒有了，給您一份8英寸的和一份4英寸的。”

這位游客客氣地請服務員叫來了老板。他給老板普及了圓面積計算公式：12英寸比薩的面積約為113.09平方英寸，8英寸和4英寸比薩的面積分別約為50.26平方英寸和12.57平方英寸，50.26+12.57=62.83平方英寸，遠小于12英寸比薩的面積。

老板慚愧不已，又給了這位游客2個8英寸的比薩，并豎起大拇指夸獎道：“中國人真厲害！中國人的數學真厲害！”（學生笑）。

師：大家有疑問嗎？同桌交流一下。

（同桌兩人交流討論）

師：能把你的疑問分享給全班同學嗎？

生：這個人怎么一眼看出8英寸比薩和4英寸比薩的面積加起來不等于12英寸比薩的面積？

生：8英寸比薩和4英寸比薩的面積加起來為什么小于12英寸比薩的面積？

生：后來老板又給了2個8英寸比薩，2個8英寸比薩是不是就等于12英寸比薩？

【賞析】也許這個買比薩的故事并不真實，但是這并不影響練習素材的“真實感”和“趣味性”。通過故事的巧妙“包裝”，使圓面積的計算練習變得生動起來，學生據此提出了一些很有數學味的問題。其中最具價值的問題是：“一個8英寸比薩和一個4英寸比薩的面積之和為什么不等于一個12英寸比薩的面積？”這個問題聚焦了學生認知中可能存在的誤區——由“8+4=12”想當然地推導出“82+42=122”，錯誤地把一維長度之和與二維面積之和等同起來。

筆者以為，要使數學練習進程真實地開始，前提就是要有從學生內心生長出來的原生問題。在很多練習課上，練什么、練到什么程度都是教師決定的，課堂上鮮有原生問題的出現。在這節課上，華老師設計了生活味與數學味兼具的問題情境，把問題的根扎在學生思維的“最近發展區”，激起學生認知上的沖突，啟發學生從是什么、為什么等角度提出自己想研究的問題，并能夠主動帶著問題尋找解決方法。

【片段二】深度思辨凸顯內在關聯

師：一個8英寸比薩加上一個4英寸比薩比12英寸比薩小，這是真的嗎？

（學生獨立思考并驗證，然后全班交流）

生：我們可以把比薩看作是一個圓，根據圓的面積公式，求出8英寸比薩的面積約是50.24平方英寸，4英寸比薩的面積約是12.56平方英寸，合起來就是62.8平方英寸。而12英寸比薩的面積約是113.04平方英寸。62.8<113.04。

師：通過計算說明了問題。故事中是怎么說的？有什么發現？

生：這個故事里的數據跟我們算出來的不一樣，他貌似算錯了。

生：都沒錯，主要是在計算時取的π值不同，我們取的是3.14，故事里是取3.1415計算后再保留兩個小數，其實故事里的數據更加精確。

師：原來是這么回事。還有其他方法嗎？

生：我有一種方法，就是不把π算出來，拿82π+42π與122π比較，82+42=80，122=144，因此82π+42π<122π。這樣不需要計算π就可以得出結果。

生：你說錯了，4英寸、8英寸和12英寸都是指直徑，而不是半徑。

師：差錯就是提醒。大家計算圓面積的時候，一定要用半徑。他雖然把直徑當成了半徑計算，但是思路非常好，不把π計算出來是很好的方法。你能重新說一下嗎？

生：直徑12英寸的比薩的面積是36π平方英寸，直徑8英寸的比薩的面積是16π平方英寸，直徑4英寸的比薩的面積是4π平方英寸。直徑8英寸的比薩和4英寸的比薩的面積之和是20π平方英寸，小于直徑12英寸的比薩的面積。

師：所以，不把π算出來也能得出結論。

師：確實，給1份8英寸比薩和1份4英寸的比薩，顧客虧大了。虧了多少？

生：16π平方英寸。

師：看來，再給一份8英寸比薩正好。

師：我們平時在做題的時候，有時需要把π算出來，有時就不用算出來，這和我們將來到中學的解題方法是一致的。

生：我是這么想的，8英寸比薩、4英寸比薩和12英寸比薩直徑之比是8∶4∶12，也就是2∶1∶3，所以半徑之比也是2∶1∶3，面積之比就是4∶1∶9。4+1<9，所以8英寸比薩和4英寸比薩加起來小于12英寸比薩。

師：他是用什么知識來解決這個問題的？

生：用我們學過的直徑之比、半徑之比和面積之比之間的關系解決問題。

師：把學過的知識綜合起來就能很好地解決這個問題，很有意思，是不是？

師：現在我們回過頭來想想，有的同學把直徑當成了半徑，可為什么結果卻對了呢？

生：雖然把直徑當成了半徑，但它們的比是一樣的。

【賞析】在一些練習課上，教師不注重知識的內在關聯，知識碎片化呈現，練習內容缺少層次，學生就題論題，思維方式呆板，一節課下來，只有數量的累積，不見目標的豐盈。或者說，練習課僅僅關注學生獲得知識、習得技能，缺少如何獲得數學方法與數學思想的考量。

本教學片段中，學生的思維非常活躍，對“一個8英寸比薩加上一個4英寸比薩比12英寸比薩小”的探究驗證，層層遞進地呈現了不同的解決方案。首先，將π取3.14進行具體計算，這是常規的驗證方法，使知識在基本題中得到鞏固。接下來，把π看作定量，只比較半徑的平方，方法趨于簡潔;并另辟蹊徑應用比的知識來綜合比較，呈現了與運算有關的解決問題的不同策略，展現了運算能力發展的層級性，也為學生思維的發展創造了機會。最后，還以形助數，巧妙地把一維世界與二維世界進行了形象的表征，各種思維方式融會貫通。通過思辨，學生不僅加深了對圓面積計算方法的感悟，而且自然而然地受到了轉化、建模、數形結合等思想方法的浸潤。

【片段三】真實反思提升思維品質

師：關于這個買比薩的故事，你有新的疑問嗎？

（學生思考）

師：吃比薩吃的是面嗎？

生：不是，還有料！

（全班大笑）

師：我的問題是，比薩的大小真是個面積問題嗎？

生：體積的問題。

師：那你又要考慮什么問題？

生：12英寸比薩和8英寸、4英寸的比薩厚度一樣嗎？

生：一樣。

生：不一定。

師：這是個什么問題啊？

生：圓柱體積的問題。

師：吃過比薩的同學都知道，比薩的翻邊十分脆，非常香。但這么一換，對喜歡吃翻邊的顧客來說，是賺了還是虧了呢？（微笑）這又是什么問題了？

生：周長的問題。

生：圓環的問題。

師：上完這堂課你們有什么收獲？

生：看問題不能只看一個角度，比如比薩的問題，服務員是從直徑的角度看問題，顧客是從面積的角度來看，所以要從多角度去考慮。

生：我的收獲是學會了提出問題。

生：我知道了數的問題可以用圖來表示，結果會更加清楚。

生：不要以為別人說什么都是對的，要自己學會驗證。

師：確實，我們有很多收獲，那么，我們的收獲是怎么來的？

生：思考。

師：思考是從哪里來的？

生：思考是從生活中來的，從服務員的差錯中來的。

師：今天這節課我特別想和同學們分享一句話：“牽手差錯思且行，前方自有新風景。”新風景的關鍵是什么？

生：關鍵是要會提問題，會思考問題。

【賞析】在一般人看來，學生能夠用多元方法計算比薩的面積，完美求證“是真的嗎”，本節練習課的目標已經圓滿達成。誰曾想，華老師用“比薩的大小真是個面積問題嗎”使課堂波瀾又起！

這個問題的提出，引導學生把比薩看成圓柱（真實情況的確如此），成功地把學生的認知視野從“二維”引向“三維”。筆者以為，之所以這樣處理，是由本課的教學目標所決定的。本課的教學目標不僅僅在于“借助不同方法解決圓面積的問題，發展開放性思維”，更是要以此為基礎，推動學生敢于質疑，提出有價值的問題。課尾的反思著眼思維空間的進一步拓展，學生對比薩的厚薄、翻邊的寬窄等問題的提出，體現了思維的創造性品質。在教學中，華老師鼓勵學生表達，促進學生爭鳴，讓學生思維的觸角多方面、多角度伸展。

縱觀這節練習課，圍繞“比薩的大小問題”這一生活化的素材，跳出了“圓的面積”計算操練的窠臼，充分激發學生練習的積極性、主動性，借助諸多化錯學習行為，不但幫助學生形成熟練的面積計算技能，而且使學生學會了在練習中自主提問、糾正錯誤，在思辨中提升素養、發展素質。

（作者單位：江蘇省高郵市天山小學）

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