著眼數學建模 提升核心素養

姚榕添

【摘要】數學建模是高中數學問題的良好解決方案之一.隨著當前教學環境的發展，對學生核心素養觀念的培養越來越重要.如何基于核心素養更好地建模和解決相關數學問題是當前教學中的一個重要問題.本文就針對核心素養理念下高中數學的建模教學進行策略研究.

【關鍵詞】高中數學建模;核心素養理念;高中數學教學

【基金項目】本文系增城區教育科學“十三五”規劃2019年立項課題《基于數學建模素養培育的高中“函數及其導數的應用”教學策略研究》的研究成果：ZC2019015

數學建模是根據實際問題解決相關的數學問題，并通過實際方法構建模型處理學習中的一些問題，可以提高學生對相關數學思維方法的思考.因此，高中數學教師應該及時向學生傳達一些數學建模思想，讓學生利用數學模型解決實際問題.本文基于核心素養，探究如何更好地制訂詳細的策略，促進數學建模研究的發展.

一、構建數學模型的理論策略

按照現代高中教育數學學科教學標準，我們可以將建模教學劃分為三個不同環節，分別是數學概念的構建、數學規律的探索、數學知識的論證和應用.

（一）數學概念的構建

由于高中數學建模教學的核心理念便是讓學生在學習之中大膽發揮想象力進行假設，因此，第一環節的重點內容便是理解概念.教師在實際教學之中要利用建模概念，將其與練習題相互結合，促使學生對建模與練習題進行對比，引導學生從答案到假設，更好地理解概念.

（二）數學規律的探究

將理論聯系實際，可以培養學生解決實際問題的能力.因此，第二階段教學主要是引導學生通過已知條件推導事物的發展規律，同時在邏輯結合實際生活的基礎上總結問題的解決規律.

（三）數學知識的論證和應用

進行結論分析和驗證，不斷完善建模思想.在數學建模過程中，除了提出結合實際情況的概念外，最后一步也是最重要的一步是分析和驗證結論，使其在應用中得到完善.本階段主要是培養學生對結論的驗證能力，使學生不斷進行思考，從而完善結論.

二、根據課程內容進行高中數學問題解決的教學設計

（一）二次函數

函數思想法是數學中的重要思想方法.在函數教學中，結合實際問題抽象出數學模型，可讓學生感受運用函數概念建立模型的過程，然后應用函數性質理解和處理現實生活中的簡單問題，促進學生逐步形成和發展數學應用意識，理解數學本質，提高實踐能力.

下面就二次函數的應用進行一些探討與分析.

【二次函數模型】f（x）=ax2+bx+c（a，b，c為常數，a≠0）

在現代生活中二次函數十分常見，其屬于兩個變量間的實際關聯，通過圖像便可促使各種數學問題得到解決.

【例】某文具店有一定類型的筆記本，每天可以賣100本，每本20元.現在因為店鋪裝修升級，老板想提高筆記本的價格.調查發現，如果每本筆記本的價格增加2元，每天售出的筆記本數量將減少10本，如果不考慮其他因素，店主應該把價格提高到多少，才可以達到每天最大的銷售額？

【問題分析】這是一個實際生活中常見的銷售問題，題目中涉及銷售數量、銷售成本、銷售價這三個量，教師在教學中可以引導學生自己整理出題目中量與量之間的關系，然后引導并幫助學生通過抽象思維將其變成數學問題.

【模型假設】通過以上可以了解到，此模型為二次函數，所以在假設環節所用模型便為二次函數.

【模型建構】設老板把價格提高到x元，銷售總額為w元，

則w=x100-x-202×10，

化簡，得w=-5（x-20）2+2000.

【模型求解】利用二次函數圖像，可以找到其對稱軸和最高點，故當x=20時，銷售額最高，最大銷售額為2000元.

【模型檢驗】通過對取值進行檢驗，符合實際情況，也符合問題要求.同時，這種模型可以應用于其他最優問題.

（二）分段函數

分段函數是對于自變量x的不同的取值范圍有著不同的解析式.應用分段函數時需要遵守變量出現變化后的實際規則，將其變成幾種問題，再分別確定每個問題中的變化規則與規律，然后把它們組合在一起，并標記好分段的自變量范圍，特別是端點值.

【例】提高跨江大橋的通行能力，可以改善全市的交通狀況.一般情況下，橋上的交通流速度v（單位：千米/時）是交通流密度x（單位：輛/千米）的函數.當橋上交通流密度超過200輛/千米時，交通流速度為0千米/時;當交通流密度不超過20輛/千米時，交通流速度為60千米/時.結果表明，當20

（1）當0≤x≤200時，求函數v（x）的表達式;

（2）當交通流密度x為多大時，交通流量（以輛/時為單位，單位時間內通過橋上觀測點的車輛數）f（x）=x·v（x）可以達到最大，請求出最大值.（精確至1輛/時）

【問題分析】引導學生先分析題目，由于題目中出現兩種不同的交通流密度，因此判定此題為分段函數.

【模型假設】根據問題分析，假設模型為分段函數模型.

【模型建構】

（1）由題意，當0≤x≤20時，v（x）=60;

當20

由已知，得200a+b=0，20a+b=60，解得a=-13，b=2003.

故函數v（x）的表達式為

v（x）=60，0≤x≤20，13（200-x），20

【模型求解】

（2）綜上可得f（x）=60x，0≤x≤20，13x（200-x），20

當0≤x≤20時，f（x）為增函數，故當x=20時，f（x）在區間[0，20]上取得最大值1200;

當20

所以當x=100時，f（x）在區間（20，200]上取得最大值100003.

綜上可得，當x=100時，f（x）在區間（0，200]上取得最大值100003，即當交通流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3333輛/時.

【模型檢驗】對取值進行檢驗，符合實際情況，符合問題要求.同時，這種模型可以應用于其他分段函數問題.

（三）三角函數

建模在高中數學教學之中本就屬于一種幫助學生提高解題能力，促使其掌握數學知識的有效方式，因此，本文通過建模教學中的三角函數應用，進一步探究如何在高中數學中利用三角函數開展建模教學.

【例】在生活中，我們經常遇到的一個問題是在安裝電視時，如何根據電視機的大小、客廳沙發到電視墻的距離來調整電視機的高度，使人們在舒適的狀態下看電視（也就是求最大的視角）.

【問題分析】這種數學問題與日常生活比較貼近，其中沒有任何數學符號與數字的存在，且可能在所有家庭之中都會出現這個問題，因此，教師便可要求學生針對問題展開自行探索，通過問題之中的隱藏內容，進一步確定問題與自我認知是否相同，這樣便可幫助學生快速解答數學問題.學生在解答問題時，需要先查找相關信息與資料，確定視角含義后嘗試構建圖1，這樣便可通過圖形建立數學模型.

圖1

【模型假設】依據圖1及問題分析，我們假設此模型為三角函數模型.

【模型建立】在建立模型時，如將P點作為眼球，其與電視墻之間的實際距離為PB，長度為x，電視頂部為A點，A點與B點之間的實際距離為a，電視底部為H點，H點與B點之間的實際距離為b，那么電視頂部和底部與眼球之間所形成的角度分別是∠APB=α，∠HPB=β，其中α>β，則α-β便是視角.

由圖可知，在△APB與△HPB中，tan α=ax，tan β=bx，

可得tan（α-β）=tan α-tan β1+tan αtan β=a-bx+abx.

【模型求解】因為a，b為常數，0<α-β<π2，要使α-β最大，只需要tan（α-β）最大，即x+abx最小.

利用均值不等式，可得x+abx≥2x·abx=2ab，當且僅當x=abx時取等號，即x=ab時，α-β最大，視角最大，人們觀看時最舒適.

【模型檢驗】對取值進行檢驗，符合實際情況，符合問題要求.同時，這種模型可以應用于其他三角函數問題.

（四）導數

在學生對問題展開進一步了解時，需要按照問題內容與建模意識挑選最為適合的建模方式，最后通過導數求解模型便可解答問題，這樣便可促使學生的數學核心素養得到提升.

【例】在做吹氣球動作時，當氣球內部空氣逐漸增多后，氣球半徑擴大速度反而會變慢，站在數學角度該如何解答這種現象？

【問題分析】氣球是一個近似的球體，我們可利用V（r）=43πr3這個函數幫助求解.

【模型假設】假設氣球的半徑r為體積V的函數，那么r（V）=33V4π.

【模型建立】由球體體積公式以及半徑r為體積V的函數，得到

r（V）=33V4π.

【模型求解】

（1）當V從0增加到1時，r增加的值可以表示為r（1）-r（0），約為0.62，那么氣球的平均膨脹率為r（1）-r（0）1-0，約為0.62;

（2）當V從1增加到2時，r增加的值可以表示為r（2）-r（1），約為0.16，那么氣球的平均膨脹率為r（2）-r（1）2-1，約為0.16.

綜上，隨著氣球體積逐漸增大，其平均膨脹率逐漸變小.

【模型檢驗】對取值進行檢驗，符合實際情況，符合問題要求.同時，這種模型可以應用于其他導數問題.

總之，在數學建模素養的影響下，高中數學課堂教學要有所改變，重視對學生的學習主動性和解決問題思維的指導，使他們在實踐過程中提高數學建模的意識、方法、思維和能力，促進學生綜合數學能力的發展.

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