貨架管理模型的選品與布局啟示＊
——以自動(dòng)售貨機(jī)為例

■ 毛宇晨 黎俊

中國(guó)科學(xué)院大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院 北京 100190

0 引言

隨著中國(guó)在線支付技術(shù)的發(fā)展，貨架管理問題已成為零售企業(yè)面臨的熱點(diǎn)問題。具體而言，出于日益增加的商品種類數(shù)量與有限貨架空間之間的矛盾：一方面，可供銷售的商品種類日益增多，不同商品其規(guī)格與需求不同；另一方面，盡管零售企業(yè)已改良自動(dòng)售貨機(jī)內(nèi)部結(jié)構(gòu)以擴(kuò)大商品擺放數(shù)量，但是仍存在自動(dòng)售貨機(jī)空間大小的限制。因此，如何科學(xué)地決策自動(dòng)售貨機(jī)的商品種類以及設(shè)計(jì)貨架商品布局以提高零售企業(yè)收益尤為關(guān)鍵。

作為供應(yīng)鏈管理領(lǐng)域的一個(gè)重要問題，本研究首先回顧與本研究關(guān)系最為密切的貨架管理相關(guān)研究。Baron 等[1]分析了多商品的聯(lián)合貨架布局與庫(kù)存決策問題，其中商品需求受貨架布局以及庫(kù)存水平影響；Urban等[2]分別研究了選品與貨架布局模型，并將其拓展到多產(chǎn)品、多約束的情形；Hübner等[3]首次提出同時(shí)決策選品與貨架布局的貨架管理模型，其考慮了需求的隨機(jī)性與空間彈性、以及替代商品的影響；Geismar 等[4]考慮了二維矩形空間分配問題，其中產(chǎn)品需求由其排列位置決定；Hübner等[5]進(jìn)一步總結(jié)了二維貨架管理模型的建模與求解方法；更多相關(guān)研究見Xue 等[6]以及Irion 等[7]。除此，大多數(shù)選品相關(guān)文章都與顧客選擇模型(choice model)有關(guān)[8-9]。一方面，大多數(shù)關(guān)于貨架管理的研究?jī)H考慮選品問題[8,10-11]或貨架布局問題[2,6-7]，而實(shí)際中貨架管理包含選品與貨架布局兩個(gè)方面，因此同時(shí)決策選品與貨架布局尤為關(guān)鍵；另一方面，貨架管理的許多研究都基于一組給定的商品，通過將高維貨架縮減為一維空間來設(shè)計(jì)具有空間彈性需求的貨架布局，然而其并沒有全面考慮零售商要求的商業(yè)規(guī)則[12-14]與貨架復(fù)雜結(jié)構(gòu)。

基于目前文獻(xiàn)中缺乏同時(shí)決策選品與貨架布局以及考慮商業(yè)規(guī)則的相關(guān)研究，本研究考慮了某些商業(yè)規(guī)則，包括商品與貨架之間的規(guī)格適配性，每一層貨架的商品容納能力以及商品放置的連續(xù)性，提出了同時(shí)決策選品與貨架布局的貨架管理模型，目標(biāo)是最大化期望總收益，約束是滿足上述真實(shí)商業(yè)規(guī)則。然而該模型的約束中存在二次項(xiàng)難以直接求解，本研究進(jìn)一步通過線性化技術(shù)將原始貨架管理模型轉(zhuǎn)化為整數(shù)線性規(guī)劃模型，并提出與零售價(jià)、邊際利潤(rùn)以及需求相關(guān)的管理啟示，以指導(dǎo)零售商進(jìn)行選品以及設(shè)計(jì)貨架布局：為了獲得更高的期望收益，一方面，當(dāng)需求與邊際利潤(rùn)滿足某些關(guān)系時(shí)，隨著N增大，決策將由需求導(dǎo)向轉(zhuǎn)變?yōu)檫呺H利潤(rùn)導(dǎo)向；另一方面，當(dāng)需求與零售價(jià)滿足某些關(guān)系時(shí)，決策始終是零售價(jià)導(dǎo)向的。其優(yōu)勢(shì)在于零售商可以直接根據(jù)商品歷史零售價(jià)、邊際利潤(rùn)以及需求信息，決策選品以及設(shè)計(jì)貨架布局，而無(wú)需求解一個(gè)整數(shù)規(guī)劃模型。最后，本研究提出原始貨架管理模型的抽樣平均近似模型，并給出數(shù)值例子驗(yàn)證管理啟示。本研究最主要的創(chuàng)新點(diǎn)在于提出了一類多產(chǎn)品多周期的基于報(bào)童模型的貨架管理模型，其同時(shí)考慮了選品與貨架布局以及某些真實(shí)商業(yè)規(guī)則。

1 自動(dòng)售貨機(jī)的貨架管理模型

1.1 問題描述

考慮一個(gè)包含J個(gè)貨架的自動(dòng)售貨機(jī)，并且每個(gè)貨架j都有Kj列空間用于放置商品，其中j∈[J]={1,2,…,J}。總商品類別數(shù)量表示為I，貨架j上的每一列最多可以放置bij個(gè)商品Ci，其中i∈[I]={1,2,…,I}。每個(gè)商品Ci的零售價(jià)與訂購(gòu)成本分別用pi與ci表示。本研究?jī)H考慮一個(gè)銷售周期，商品種類以及貨架布局決策在一個(gè)銷售周期內(nèi)是固定的，且該周期包含T個(gè)補(bǔ)貨周期，每個(gè)補(bǔ)貨周期包含N個(gè)單位時(shí)間（如天，周），因此，N決定了單個(gè)補(bǔ)貨周期的時(shí)間。此外，自動(dòng)售貨機(jī)的商品會(huì)在每個(gè)補(bǔ)貨周期t開始時(shí)定期補(bǔ)貨，補(bǔ)貨遵循選品以及貨架布局決策，每次補(bǔ)貨的固定成本為C0。我們將周期t中單位時(shí)間需求表示為，這是一個(gè)隨機(jī)變量。期初，零售企業(yè)決策自動(dòng)售貨機(jī)售賣商品種類以及貨架布局，用y=(yij)i∈[I],j∈[J]表示，其中yij∈Z+是一個(gè)整數(shù)變量，表示自動(dòng)售貨機(jī)貨架j上放置商品Ci的列數(shù)。

在一個(gè)補(bǔ)貨周期t中，商品Ci的總需求為，并且根據(jù)貨架空間分配決策y，每種商品Ci的總庫(kù)存量為，我們用Z1(d,y)表示在第一個(gè)補(bǔ)貨期內(nèi)自動(dòng)售貨機(jī)的收益：

此外，補(bǔ)貨周期t∈[2;T]內(nèi)自動(dòng)售貨機(jī)的收益Zt(d,y)表示為：

整體上，我們用Z(d,y)表示一個(gè)銷售周期內(nèi)的總收益，它是所有補(bǔ)貨周期收益的總和：

其中[a]+:=max{a,0}。

1.2 商業(yè)規(guī)則

商業(yè)規(guī)則1（商品與貨架之間的規(guī)格適配性）每層貨架可以放置不同規(guī)格的商品，而某些規(guī)格的商品只允許放置在某些貨架上，如Bai 等[13]與Düsterh?ft 等[15]提出只允許高度比貨架高度低的商品放置在該貨架上，本研究將其建模為以下約束條件：

其中aij是一個(gè)預(yù)先給定的0-1 常數(shù)，如果允許商品Ci放置在貨架j上，則aij= 1，否則為0；

商業(yè)規(guī)則2（每層貨架的容量）由于每一層貨架的空間有限，則需要限制每一層貨架放置商品的列數(shù)。數(shù)學(xué)上，將其表示為

商業(yè)規(guī)則3（商品放置的連續(xù)性）考慮到零售商通常希望將同一商品放置在相同的高度上，以呈現(xiàn)較大的吸引力（如Bai 等[13]，Düsterh?ft 等[15]），本研究將其建模為以下約束條件：

基于上述商業(yè)規(guī)則1-3，目標(biāo)為最大化一個(gè)銷售周期內(nèi)的總收益函數(shù)(1)，本研究提出如下原始貨架管理模型：

其中目標(biāo)函數(shù)為最大化一個(gè)銷售周期內(nèi)總期望收益；前三個(gè)約束分別表示上述3 個(gè)商業(yè)規(guī)則，最后一個(gè)約束表明決策變量是一個(gè)非負(fù)整數(shù)，表示自動(dòng)售貨機(jī)貨架j上放置商品Ci的列數(shù)。然而，由于第三組約束中存在決策變量的二次項(xiàng)，該模型難以直接求解，下一節(jié)將提出原始貨架管理模型的等價(jià)整數(shù)線性規(guī)劃模型。

1.3 線性貨架管理模型

考慮到原始貨架管理模型難以求解，本節(jié)將利用線性化技術(shù)，引入輔助0-1 決策變量x=(xij)i∈[I],j∈[J]，其中xij= 1 表示自動(dòng)售貨機(jī)貨架j上放置商品Ci，否則xij= 0，則原始貨架管理模型(5)可以等價(jià)轉(zhuǎn)化為如下線性貨架管理模型

上述等價(jià)性由如下命題給出。

命題1.原始貨架管理模型(5)等價(jià)于線性貨架管理模型(6)。

證明：首先，兩個(gè)模型的目標(biāo)函數(shù)相同且僅與y有關(guān)，則證明該命題只需要分別證明其中一個(gè)模型的最優(yōu)解y?為另一個(gè)模型可行解即可。

一方面，假設(shè)y?為原始貨架管理模型的最優(yōu)解，令

另一方面，假設(shè)(y?,x?)為線性貨架管理模型的最優(yōu)解，根據(jù)約束∑j∈[]J xij≤1,?i∈[I]，對(duì)于?i∈[I]，如果存在j∈[J]使得= 1，則有= 0,?l∈[J],j≠l，此時(shí)，根 據(jù) 約 束yij≤Kjxij,?i∈[I],j∈[J]，則 有y?il=0,?l∈[J],j≠l，此時(shí)y?滿足原始貨架管理模型約束條件；否則對(duì)于?j∈[J]，都有= 0，則有= 0，y?同樣滿足原始貨架管理模型約束條件，因此y?為原始貨架管理模型的可行解，命題得證。

2 商品邊際利潤(rùn)、零售價(jià)與需求對(duì)貨架管理模型的影響分析

為了獲得有關(guān)選品以及貨架布局的管理啟示，本節(jié)將分析商品邊際利潤(rùn)、零售價(jià)與需求對(duì)貨架管理模型的影響。

實(shí)際上，為了獲得更高的利潤(rùn)，管理者會(huì)從兩方面進(jìn)行決策：一是當(dāng)補(bǔ)貨周期較短時(shí)，大部分商品存在剩余，管理者會(huì)根據(jù)商品歷史需求信息，決策選擇期望利潤(rùn)較高的商品；而當(dāng)補(bǔ)貨周期較長(zhǎng)時(shí)，大部分商品售罄，管理者會(huì)決策選擇邊際利潤(rùn)更高的商品。接下來從理論上驗(yàn)證上述觀點(diǎn)。

為了簡(jiǎn)單起見，本節(jié)僅考慮單層貨架且只能容納一列商品的特殊情況，且假設(shè)各補(bǔ)貨周期商品需求相等，令

此時(shí)，原始貨架管理模型(5)簡(jiǎn)化為

基于上述簡(jiǎn)化模型，接下來各小節(jié)分別討論當(dāng)具有相同訂購(gòu)成本與不同訂購(gòu)成本時(shí)，商品邊際利潤(rùn)、零售價(jià)與需求對(duì)單個(gè)貨架商品選擇的影響。

2.1 相同訂購(gòu)成本下商品邊際利潤(rùn)、零售價(jià)與需求對(duì)貨架管理模型的影響分析

假設(shè)存在A,B,C,D共4 類商品，其訂購(gòu)成本均為c，而相應(yīng)的零售價(jià)、邊際利潤(rùn)與需求如下

其中p1≥p2,r1≥r2,d1≤d2。如果該貨架對(duì)四類商品的容納數(shù)量相同，即b ∶= bA= bB= bC= bD，則有或者，其來自于

顯然應(yīng)該首先選擇商品A，最后選擇商品D，然而商品B與C的選擇順序仍無(wú)法確定。接下來，本研究給出以下引理以及定理來說明這兩類商品的選擇方法，同時(shí)揭示了商品選擇順序與商品邊際利潤(rùn)、零售價(jià)與需求之間的關(guān)系。

引理1假設(shè)只能容納一列商品的單層貨架上需放置數(shù)量b、且滿足此列規(guī)格的商品B或C，兩者的訂購(gòu)成本均為c，且商品B與C的需求與邊際利潤(rùn)滿足關(guān)系

則有

證明：只需要在商品B與C之間選擇平均利潤(rùn)更高的商品，其可以表示為

A.如果N≥NB，則有

此時(shí)，-=(r1- r2)b ≥0，則首先選擇邊際利潤(rùn)更大的商品B；

B.如果N≤NC，則有

此時(shí)，可以得到

因此，在前一種情況下，首先選擇邊際利潤(rùn)更大的商品B；而在后一種情況下，首先選擇需求更高的商品C；

C.如果NB≥N≥NC，則有

此時(shí)，可以得到

考慮以上所有情況，可以得出引理中的結(jié)論，引理得證。

管理啟示1：為了獲得更高的期望收益，當(dāng)r1d1-時(shí)，對(duì)于任意N，首先選擇邊際利潤(rùn)更大的商品B；否則，當(dāng)N較小時(shí)，決策是需求導(dǎo)向的，即首先選擇需求更高的商品C，并且隨著N增大，決策由需求導(dǎo)向轉(zhuǎn)變?yōu)檫呺H利潤(rùn)導(dǎo)向，即首先選擇邊際利潤(rùn)更大的商品B。

引理2假設(shè)只能容納一列商品的單層貨架上需放置數(shù)量b、且滿足此列規(guī)格的商品B或C，兩者的訂購(gòu)成本均為c，且商品B與C的需求與零售價(jià)滿足關(guān)系

對(duì)于任意N，首先選擇零售價(jià)更高的商品B。

證明：根據(jù)引理假設(shè)，可以得到

可以根據(jù)引理1直接得到該引理結(jié)論，得證。

管理啟示2：當(dāng)需求與零售價(jià)滿足上述關(guān)系時(shí)，決策始終是零售價(jià)導(dǎo)向的，也就是說，對(duì)于任意N，都應(yīng)該首先選擇零售價(jià)更高的商品B。

引理1 與引理2 僅給出了基于兩類商品的管理啟示，下面定理1與定理2拓展到多商品的管理啟示。

定理1假設(shè)只能容納一列商品的單層貨架上需放置數(shù)量b、且滿足此列規(guī)格的商品Ci,i∈[I]，其訂購(gòu)成本均為c，且這些商品的需求d1,…,dI與邊際利潤(rùn)r1,…,rI滿足關(guān)系

證明：根據(jù)定理假設(shè)，可以將不等式兩邊同時(shí)疊加得到

因此，任意一組商品Ci與Cj可以依據(jù)引理1 進(jìn)行選擇，此時(shí)，可以將N分為三部分來證明定理結(jié)論。

根據(jù)引理1，首先選擇邊際利潤(rùn)更大的商品C1；

根據(jù)引理1，首先選擇需求更高的商品CI；

C.如果存在I- 1 ≥i≥2 使得，首先考慮右端不等式，則有

其中第二個(gè)不等式成立來自于不等式(8)，根據(jù)引理1，對(duì)于商品Cj,j∈[i]，首先選擇邊際利潤(rùn)更大的商品Ci；另一方面，考慮左端不等式，則有

其中第二個(gè)不等式成立來自于不等式(8)，根據(jù)引理1，對(duì)于商品Cj,j∈[i:I]，首先選擇邊際利潤(rùn)更大的商品Ci，定理得證。

管理啟示3：定理1 將引理1 拓展到了多商品的情況，其同樣表明為了獲得更高的期望收益，隨著N增大，決策將由需求導(dǎo)向轉(zhuǎn)變?yōu)檫呺H利潤(rùn)導(dǎo)向。

定理2假設(shè)只能容納一列商品的單層貨架上需放置數(shù)量b、且滿足此列規(guī)格的商品Ci,i∈[I]，其訂購(gòu)成本均為c，且這些商品的需求d1,…,dI與零售價(jià)p1,…,pI滿足關(guān)系

則對(duì)于任意N，首先選擇零售價(jià)更高的商品C1；此外，如果該貨架能容納K列商品，則選擇零售價(jià)較高的商品C1,…,CK。

證明：對(duì)于任意商品Cj,j∈[2:I]，根據(jù)定理?xiàng)l件，則有

因此任意一組商品C1與Cj可以依據(jù)引理2 進(jìn)行選擇，則有對(duì)于任意N，首先選擇零售價(jià)更高的商品C1；如果該貨架能容納K列商品，每次選擇一個(gè)商品，然后在剩余產(chǎn)品中繼續(xù)按照上述方法進(jìn)行選擇，最終選擇出零售價(jià)較高的商品C1,…,CK，定理得證。

管理啟示4：定理2 同樣將引理2 拓展到了多商品的情況，當(dāng)需求與零售價(jià)滿足上述關(guān)系時(shí)，決策始終是零售價(jià)導(dǎo)向的。

2.2 不同訂購(gòu)成本下商品邊際利潤(rùn)、零售價(jià)與需求對(duì)貨架管理模型的影響分析

上一節(jié)考慮各商品訂購(gòu)成本是相同的，本節(jié)將拓展到不同訂購(gòu)成本的情況，并基于上節(jié)提出的引理與定理，提出以下推論分析商品邊際利潤(rùn)、零售價(jià)與需求對(duì)貨架管理模型的影響。

推論1假設(shè)只能容納一列商品的單層貨架上需放置數(shù)量b、且滿足此列規(guī)格的商品B或C，兩者的需求、邊際利潤(rùn)以及訂購(gòu)成本滿足關(guān)系

則有

（1）當(dāng)

對(duì)于任意N，將首先選擇邊際利潤(rùn)更大的商品B。

（2）當(dāng)

證明：該推論證明方法與引理1證明方法完全類似，因此本研究省略了該部分證明。

推論2假設(shè)只能容納一列商品的單層貨架上需放置數(shù)量b、且滿足此列規(guī)格的商品Ci,i∈[I]，這些商品的需求、邊際利潤(rùn)以及訂購(gòu)成本滿足關(guān)系

證明：該推論證明方法與定理1證明方法完全類似，因此本研究省略了該部分證明。

推論3假設(shè)只能容納一列商品的單層貨架上需放置數(shù)量b、且滿足此列規(guī)格的商品B或C，兩者的需求、零售價(jià)以及訂購(gòu)成本滿足關(guān)系

對(duì)于任意N，首先選擇零售價(jià)更高的商品B。

證明：該推論證明方法與引理2證明方法完全類似，因此本研究省略了該部分證明。

推論4假設(shè)只能容納一列商品的單層貨架上需放置數(shù)量b、且滿足此列規(guī)格的商品Ci,i∈[I]，這些商品的需求、零售價(jià)以及訂購(gòu)成本滿足關(guān)系

則對(duì)于任意N，首先選擇零售價(jià)更高的商品C1；此外，如果該貨架能容納K列商品，則選擇零售價(jià)較高的商品C1,…,CK。

證明：該推論證明方法與定理2證明方法完全類似，因此本研究省略了該部分證明。

上述推論將上一節(jié)引理與定理拓展到訂購(gòu)成本不同的情形。

管理啟示5：為了獲得更高的期望收益，一方面，當(dāng)需求與邊際利潤(rùn)滿足某些關(guān)系時(shí)，隨著N增大，決策將由需求導(dǎo)向轉(zhuǎn)變?yōu)檫呺H利潤(rùn)導(dǎo)向；另一方面，當(dāng)需求與零售價(jià)滿足某些關(guān)系時(shí)，決策始終是零售價(jià)導(dǎo)向的。

3 實(shí)驗(yàn)研究

本節(jié)將提出原始貨架管理模型的抽樣平均近似模型，并設(shè)計(jì)數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證管理啟示。

3.1 抽樣平均近似模型

首先，根據(jù)命題1，原始貨架管理模型(5)等價(jià)轉(zhuǎn)化為

其中

3.2 數(shù)值例子

本節(jié)將利用零售企業(yè)便利蜂某門店的真實(shí)銷售數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)數(shù)值實(shí)驗(yàn)，其包含了2019年下半年該門店自動(dòng)售貨機(jī)銷售的部分商品品類、零售價(jià)、邊際利潤(rùn)以及需求量等數(shù)據(jù)，進(jìn)一步基于這些樣本求解抽樣平均近似模型(9)并驗(yàn)證管理啟示。

首先表1給出了自動(dòng)售貨機(jī)的基本設(shè)置：自動(dòng)售貨機(jī)有5層貨架，且每層貨架的商品容納列數(shù)不同；每一列可以容納不同數(shù)量的商品。假設(shè)固定補(bǔ)貨成本C0= 10。

表1 自動(dòng)售貨機(jī)的規(guī)格

令總補(bǔ)貨周期T= 7，接下來調(diào)整N∈{1,5,9}，圖1與圖2分別給出樣本平均近似模型最優(yōu)決策所選商品的邊際利潤(rùn)與平均需求、零售價(jià)與平均需求之間的關(guān)系，其中橫坐標(biāo)表示商品平均需求，縱坐標(biāo)分別表示商品的邊際利潤(rùn)與零售價(jià)。

圖1與圖2均驗(yàn)證了管理啟示5：隨著N增大，所選商品由右下向左上移動(dòng)，其反映了N較小時(shí)，模型首先選擇需求較高的商品，隨著N增大，決策由需求導(dǎo)向轉(zhuǎn)變?yōu)檫呺H利潤(rùn)或零售價(jià)導(dǎo)向，此時(shí)選擇邊際利潤(rùn)或零售價(jià)較高的商品，同時(shí)表明單貨架的管理啟示可以拓展到多貨架的情形。該結(jié)果在實(shí)際中也是合理的：當(dāng)N較小時(shí)，單個(gè)補(bǔ)貨周期的周期短，大多數(shù)商品售罄前就開始補(bǔ)貨，此時(shí)模型傾向于選擇高需求商品，以達(dá)到薄利多銷獲取更高利潤(rùn)；而隨著N增大，單個(gè)補(bǔ)貨周期的周期短，大多數(shù)商品售罄，此時(shí)模型傾向于選擇高邊際利潤(rùn)或零售價(jià)的商品，以獲取更高利潤(rùn)。

圖1 抽樣平均近似模型最優(yōu)決策所選商品的邊際利潤(rùn)與平均需求之間的關(guān)系圖

圖2 抽樣平均近似模型最優(yōu)決策所選商品的零售價(jià)與平均需求之間的關(guān)系圖

為了進(jìn)一步展示抽樣平均近似模型最優(yōu)決策所選商品的特征，圖3給出了不同N下所選商品的平均零售價(jià)、平均邊際利潤(rùn)以及平均需求變化情況：隨著N增大，所選商品平均零售價(jià)以及平均邊際利潤(rùn)增大，同時(shí)所選商品平均需求降低，進(jìn)一步驗(yàn)證了隨著N增大，決策將由需求導(dǎo)向轉(zhuǎn)變?yōu)榱闶蹆r(jià)導(dǎo)向以及邊際利潤(rùn)導(dǎo)向。

圖3 不同N下抽樣平均近似模型最優(yōu)決策所選商品的平均零售價(jià)、平均邊際利潤(rùn)以及平均需求的變化圖

4 結(jié)語(yǔ)

本研究基于一些真實(shí)商業(yè)規(guī)則，包括商品與貨架之間的規(guī)格適配性、每一層貨架的商品容納能力以及商品放置的連續(xù)性，提出了同時(shí)決策選品與貨架布局的貨架管理模型，目標(biāo)是最大化期望總收益。然而該模型的約束中存在二次項(xiàng)難以直接求解，本研究進(jìn)一步通過線性化技術(shù)將原始貨架管理模型轉(zhuǎn)化為整數(shù)線性規(guī)劃模型，并提出與零售價(jià)、邊際利潤(rùn)以及需求相關(guān)的管理啟示，以指導(dǎo)零售商進(jìn)行選品以及設(shè)計(jì)貨架布局：一方面，當(dāng)需求與邊際利潤(rùn)滿足某些關(guān)系時(shí)，隨著N增大，決策將由需求導(dǎo)向轉(zhuǎn)變?yōu)檫呺H利潤(rùn)導(dǎo)向；另一方面，當(dāng)需求與零售價(jià)滿足某些關(guān)系時(shí)，決策始終是零售價(jià)導(dǎo)向的。其優(yōu)勢(shì)在于零售商可以直接根據(jù)商品歷史零售價(jià)、邊際利潤(rùn)以及需求信息，決策選品以及設(shè)計(jì)貨架布局，而無(wú)需求解一個(gè)整數(shù)規(guī)劃模型。最后，本研究提出原始貨架管理模型的抽樣平均近似模型，并給出數(shù)值例子驗(yàn)證管理啟示。實(shí)際中，商品需求存在不確定性，并且其直接影響管理決策，而本研究缺乏對(duì)需求不確定性的建模與處理，因此如何引入需求不確定性值得進(jìn)一步研究。針對(duì)該問題，未來可以從兩個(gè)方向進(jìn)行深入研究，一方面是利用魯棒優(yōu)化技術(shù)建立魯棒優(yōu)化模型，另一方面是引入顧客選擇模型，并將其嵌入貨架管理模型。