不用花錢也玩高爾頓釘板

陳新龍

高爾頓釘板問題是由英國生物統計學家高爾頓提出來的，這個問題的模型如上圖所示，小球從最上方被扔下，每經過一個釘子，都有一半的可能從左邊走，一半的可能從右邊走，當有很多個小球從上往下隨機掉落時，落在下面的格子里的小球數量分布上會呈現一定的統計規律，這個模型可以用來直觀地認識中心極限定理——概率論中討論大量獨立隨機變量之和的分布漸近于正態分布的一類定理。這樣一塊高爾頓釘板淘寶上要賣上百元，我們用編程也能觀察到這種概率現象。

說到概率就很容易想到游戲用的骰（tóu）子，它可以產生隨機數1到6。當我們擲下一顆骰子時，每種點數出現的概率都是1/6;當我們擲下兩顆骰子時，一共有6×6=36種情況。兩顆骰子點數的和最小是2最大是12。

點數和為2，可能性只有（1，1）一種，概率為1/36。

點數和為3，可能性有（1，2），（2，1）兩種，概率為2/36=1/18。

點數和為4，可能性有（1，3）、（2，2）、（3，1）三種，概率為3/36=1/12。點數和為5的概率為5/36;點數和為6的概率為6/36=1/12;點數和為7的概率和點數和為9的概率為4/36=1/9……當大家對所有的點數的概率分析完成后可以進行加和，驗證最終是否等于概率1。

頻率和概率一樣都是統計系統各元件發生的可能性大小的概念。不過概率是一個穩定的數值，也就是某件事發生或不發生的概率是多少。頻率是在一定數量的某件事情上面，發生的數與總數的比值。假設事件A在100次測試中發生了28次，那么它的頻率是28/100=0.28，頻率是有限次數的試驗所得的結果，可能當測試無限次時A事件的概率為0.3。我們說骰子的每個數字出現的概率是1/6，僅僅幾次試驗是不具備統計規律的，只有投擲一定的數量，最終的頻率才會接近1/6。

我們用Scratch模擬投擲兩枚骰子的點數和，驗證一下高爾頓板的概率。角色使用圓球，先創建一個初始化積木，創建列表Results用1-12項來存放出現對應數字和的次數（投擲兩枚骰子不會出現點數和為1的結果）。變量total用來統計投擲的次數。變量roll記錄單次投擲兩顆骰子的點數和。一次roll，將total加1，roll設為2個1到6的隨機數之和，根據和將列表中的對應項記錄加1。

下面將列表中的讀數作成柱狀圖，橫軸為投擲的點數和1到12，縱軸為出現的次數，最大值為500。每次投擲后在（X=-100+roll×25），（Y=-100+Results的第roll項/2）畫下一個圖章。為了使得柱狀圖更加好看，這里我們可以采用改變顏色特效的方法，將顏色特效設定為Results的第roll項/6，這樣數量越接近500就越紅。

當使用自定義函數后，主程序變得更加簡潔了。當投擲骰子點數和的概率某一項大于500時，停止投擲，顯示出的柱狀圖就是概率分布圖。通過多次測試可以看出來結果頻數最高在7，且呈現正態分布，是不是和高爾頓釘板展現出的效果一致。

通過學習Scratch編程，我們可以融入課堂學習的數學知識和生活中的小技巧。并且形象生動地展示數學帶給我們的魅力，擴展自己的思維，活學活用。