基于廣義隨機空間的護面塊體穩定性概率分析

張寶華，劉俊濤，蔣學煉，張 笑*

(1.交通運輸部天津水運工程科學研究所，天津 300456；2.天津水運工程勘察設計院有限公司，天津 300456；3.天津城建大學 天津市軟土特性與工程環境重點實驗室，天津 300384)

護面塊體是防波堤的主要消浪構件，其穩定性決定了堤身的尺度和安全。李炎保等[1]基于世界各國200余例防波堤典型損壞案例的統計分析指出，護面塊體散亂占斜坡式防波堤受災總數的59.2%，而破損的直立式防波堤無一例外伴隨著消浪棱體散亂和消浪棱體損壞現象。周枝榮等[2]通過三維穩定試驗發現，由于破波流對底部塊體的沖擊，淺水非標準段塊體的穩定重量需增加到設計值的2.0～2.3倍。李東洋等[3]采用OpenFOAM三維數值波浪水槽模擬了不規則波越浪對堤后護面層的沖擊效應。Lee等[4]構建了基于和諧搜索算法(harmony search algorithm)的神經網絡模型HS-ANN，用于預測斜坡堤護面塊體的穩定數。鐘雄華等[5]、江超等[6]采用模型試驗分別探討了不同安放方式對扭王字塊體、透空式四面體和六面體、四角錐體的空隙率和穩定性的影響。上述研究表明，護面塊體的失穩是一個隨機過程，其中設計參數中存在的不確定性是內在誘因之一。為此，本文引入廣義隨機空間可靠度計算方法對護面塊體的穩定性進行概率分析，以闡明設計公式和設計參數中的不確定性對塊體穩定的影響。

1 廣義隨機空間可靠度計算方法

結構可靠度的計算方法有三個水準：半經驗半概率法(水準I)、近似概率法(水準II)、全概率法(水準III)。從工程應用角度看，半經驗半概率法精度較低不能滿足實際需要，全概率法受隨機變量聯合分布研究水平的限制很難推廣，只有近似概率法能夠滿足工程需要的精度且計算簡便，是目前規范標準推薦使用的方法。常用的近似概率法有一次二階矩法、二次二階矩法等[7-8]，由于這些方法采用的是正交直角坐標系(笛卡兒空間)，故對于相關的隨機變量，需要轉化為不相關的隨機變量才能進行計算。本文將設計變量定義于非正交坐標系，在廣義隨機空間內進行可靠度計算，無需將相關變量正交化，計算更為直接[9]。以下簡要介紹這一算法。

設隨機變量X1,X2,…,Xn構成一個n維廣義隨機空間，Xi與Xj的相關系數為ρXi Xj。在廣義隨機空間中，隨機變量間的相關系數為各坐標軸夾角的余弦，如式(1)所示。當變量間的相關系數均為0時，廣義隨機空間即為笛卡兒正交空間。

θXi Xj=arccos(ρXi Xj)

(1)

圖1展示了可靠指標β的幾何意義，即坐標系原點至極限狀態曲面間的最短距離。這一最短距離可通過搜索極限狀態曲面的切平面法線得到：

圖1 廣義隨機空間可靠指標和驗算點示意Fig.1 Design point and reliability index in the generalized random space

首先，將隨機變量Xi(i=1,2,…,n)轉換為標準正態分布Yi(i=1,2,…,n)

(2)

線性變換不會改變隨機變量間的相關關系。轉換后Yi的均值和標準差分別為μYi=0，σYi=1。將式(2)代入結構的功能函數

Z=GY(Y1,Y2,…,Yn)=0

(3)

假設功能函數連續，且對于所有隨機變量其偏導數均存在，則極限狀態曲面上任一點處的切平面法線方向表示為

(4)

以兩個隨機變量情形為例(圖1)，當極限狀態曲面上P點的切平面法線通過坐標原點O時，OP距離最短(即可靠指標β)，P點為極限狀態臨界點，稱為驗算點。

由式(4)，P點切平面的法線方向為

(5)

(6)

(7)

根據可靠指標的幾何意義，驗算點P的坐標Y*應滿足

(8)

極限狀態方程可寫為

(9)

此外，由于可靠度計算理論構建于正態空間中，對于非正態的隨機變量，需要通過等概率變換、當量正態化、Rosenblatt變換等方法轉化為正態隨機變量，具體操作詳見文獻[10]。

采用文獻[11]中的算例檢驗廣義隨機空間可靠度計算方法的有效性。算例條件為：結構功能函數Z=g(X1,X2)=X1X2-130，隨機變量X1和X2服從正態分布，均值和標準差分別為μX1=38.0，σX1=3.80，μX2=7.0，σX2=1.05，相關系數ρ12分別取-0.9、-0.2、0.0、0.2、0.9。驗算點和可靠指標的計算結果列于表1。可以看出，廣義隨機空間可靠度計算結果與改進一次二階矩法及原文獻一致，相對于改進一次二階矩法，廣義隨機空間法在處理變量相關方面更為便捷。

表1 可靠度計算方法驗證Tab.1 Verification of reliability calculation method

2 護面塊體穩定性公式比較

護面塊體的穩定性驗算常采用Hudson公式和Van de Meer公式[12]，以功能函數的形式寫出

Hudson公式

G1(X)=Y1ΔDn50(KDcotα)1/3-Hs

(10)

Van der Meer公式(卷破波)

(11)

Van der Meer公式(崩破波)

(12)

表2 無量綱穩定系數KD[13]Tab.2 Non-dimensional stability coefficient KD

表3 Hudson公式和Van de Meer公式破壞程度的對應關系[13]Tab.3 The corresponding damage levels between Hudson formula and Van de Meer formula

為了比較上述兩套護面塊體穩定性驗算公式在概率設計方面的優劣，采用可靠度影響系數的平方作為敏感性因子衡量公式中各隨機設計參數對結構可靠度的貢獻

(13)

同時，采用相對變動因子來衡量各設計參數本身的隨機性對結構可靠度的影響程度

(14)

上述兩套公式中的設計參數的概率分布和相關關系分別見表4[14]和表5[15]。

表4 設計參數的概率分布Tab.4 The probability distribution of design parameters

表5 設計參數的相關關系Tab.5 Correlation of design parameters

基于第一節中的廣義隨機空間可靠度方法和表4～表5的設計參數概率特性及相關關系，計算得到不同工況下的敏感性因子和相對變動因子。各工況的計算結果表現出一致的規律。此處以一典型工況的敏感性分析結果(表6和表7)為例進行說明：隨機拋放粗糙塊石，破壞程度DL=0%～5%、KD=4、S=2，設計參數獨立不相關。表6顯示，Hudson公式本身隨機性的敏感性因子SFY1=67.42%，相對變動因子RC=1.75，表明公式本身的不確定性對可靠指標的影響最大，考慮因素過少。此外，與波浪要素相關的設計參數HS和FHs的敏感性因子和相對變動因子分別為19.67%和9.89%，敏感度較高。其余變量的敏感性因子和相對變動因子均很小，說明其隨機性對可靠度貢獻很小，在設計中可取定值。表7顯示，Van de Meer公式的敏感性結果與Hudson公式差別很大，敏感性最強的設計參數均是與波浪要素相關的變量(Hs、FHs、Hs/Lz)，公式本身的敏感性因子和相對變動因子分別為SFY2=10.85%、RC=1.06，相對較小。其它變量的敏感程度很小，在設計中可取定值。

表6 敏感性分析(Hudson公式)Tab.6 Sensitivity analysis of Hudson formula

表7 敏感性分析(Van der Meer公式)Tab.7 Sensitivity analysis of Van de Meer formula

總體來說，與Hudson公式比較，Van de Meer公式納入了更多的重要影響因素，如波浪周期、波浪歷時、結構滲透性等，其不確定性主要來自于客觀的波浪條件，公式本身的隨機性并不顯著。此外，以上研究表明，可靠度分析不僅可用于求取結構的可靠指標和失效概率，還可用于比較同類型設計公式的優劣，衡量設計變量的重要程度，從而指導技術工作的重點。

3 護面塊體穩定性概率分析

以下采用Van de Meer公式進行護面塊體穩定性的概率分析，各設計參數的概率分布和相關關系見表4～表5，各種情況的計算結果見圖2。圖2-a給定結構設計使用年限L=50 a，得到不同破壞水平下的結構失效概率-名義直徑曲線。結果顯示，當選定使用期限和失效概率時，破壞程度隨名義直徑的增大而減小，意味著在工程設計中若選擇較小的護面塊石粒徑，初始建造費用將下降，但會增加后期的維護費用，需要從全生命周期費用角度進行平衡。圖2-b給定破壞程度S=2，得到不同使用期限下的結構失效概率-名義直徑曲線。結果顯示，當選定破壞程度和失效概率時，使用期限的延長對應著護面塊石粒徑的增大，意味著在工程設計中應基于全生命周期費用效益比選擇合理的使用期限。圖2-c給定名義直徑Dn50=1.0 m(標準差0.03)，得到不同使用期限下的結構失效概率-破壞水平曲線。結果顯示，當選定名義直徑和失效概率時，使用期限越長，破壞程度加劇，同樣意味著工程設計中應基于全生命周期費用效益比平衡使用年限和風險水平。為了探討變量相關對失效概率的影響，圖2-d給定結構設計使用年限L=50 a，得到變量獨立和變量相關情況下的結構失效概率-名義直徑曲線。數據表明，變量相關對結構的失效概率有一定的影響。例如S=6時，變量相關較變量不相關的失效概率高出約12%，由于防波堤工程往往位于惡劣的工作環境，這可能意味著巨大的風險損失。目前工程設計對此考慮很少，可能低估失效概率和風險損失，應加強研究，盡可能準確地估計和引入設計變量相關性。

圖2表明，除設計波高外，使用期限、名義直徑、容許破壞水平等均會影響護面塊體的失穩概率，同時，這4個變量也決定了工程投資中的初始建造費用和后期維護費用的相對占比。從工程經濟角度來看，目前設計中選用確定的使用期限并不完全合理。為此，由風險分析的概念Risk=f(失效概率,失效后果)，可建立基于可靠度的全生命周期風險評估方法，將結構的失效概率與設計變量、失效后果聯立獲得優化的設計方案。

以圖2-b中S=2、L=100 a的情況為例，失效損失為失效概率和破壞程度的函數，如式(15)所示，計算得到名義直徑與失效損失的關系曲線(圖3)，其中失效損失以Dn50=1.0 m的對應值為基礎標準化。圖3顯示，本工況的最優名義直徑在Dn50=1.0 m附近。

圖3 名義直徑與失效損失關系曲線(L=100 a)Fig.3 Relationship between nominal diameter and normalized failure cost (L=100 a)

Rexp=Pf·Ed(S)

(15)

式中：Rexp為失效損失的期望經濟價值，Ed(S)為與破壞程度S對應的失效后果經濟價值，本文假定失效后果的經濟價值與損失程度成正比，即Ed(S)=CdS，其中Cd為經濟損失系數。

4 結語

(1)廣義隨機空間可靠度計算方法屬于近似概率法，其隨機變量定義于非正交坐標軸的坐標系中，進行可靠度計算時無需將相關的隨機變量正交化，相對于一次二階矩法、二次二階矩法等常用的水準II方法更為便捷。

(2)結構可靠度分析可用于比較同類設計公式的優劣和衡量設計參數的相對重要性。Hudson公式的不確定性主要來自公式本身的隨機性，而Van de Meer公式的不確定性主要來自于客觀的波浪條件，公式本身的隨機性并不顯著。

(3)概率分析結果表明，護面塊體穩定性的主要影響參數為使用期限、名義直徑、容許破壞水平，變量相關性對結構的可靠度有一定的影響，忽視相關性可能會低估失效概率和風險損失。可建立基于可靠度的全生命周期風險評估方法，通過設計變量的不同組合獲得最優設計方案。