回轉體并聯入水運動狀態預測

王 聰,何超杰,余德磊

(哈爾濱工業大學 航天學院,哈爾濱 150001)

在海上進行反水雷作戰時，往往需要短時間內投放多枚射彈，使敵方防御系統短期內應接不暇.這是典型的運動體并聯入水過程.該過程中，兩個或多個運動體同時或在極短時間間隔內平行地穿越自由液面進入水中，由于各運動體流場和彈道存在耦合作用，力學環境更加復雜，運動體極易發生運動失穩.

國內外對單個運動體入水開展了大量的研究，包括空泡形態特性、運動體受載特性和彈道特性. Logvinovich[1]提出了空泡獨立膨脹原理，為后續的空泡形態研究提供了理論基礎；Lee等[2]提出了高速入水空泡形態發展的理論分析方法，該方法可以模擬高速入水過程中空泡的生成及潰滅；Aristoff等[3]基于空泡壓力平衡理論和勢流理論提出了空泡形態的理論求解方法；王京華等[4]基于空泡獨立膨脹原理，研究了空泡的記憶效應及其對空泡形態的影響，詳細計算了超空泡航行體各部分所受的流體動力，并提出了避免滑行力出現的預測和控制方法；張偉等[5]進行了不同速度、形狀彈體入水試驗，得到了3種彈體的入水初期空泡形態與運動特性，建立了平頭運動體入水的空泡形態和彈道預測模型；王柏秋等[6]基于動網格技術對超空泡射彈的阻力系數開展了數值研究，結果表明同一模型長細比下，模型阻力系數隨時間呈準線性變化；馬慶鵬等[7]開展了不同速度下的錐頭柱體高速入水過程數值研究，發現入水速度越高，航行體頭部壓力峰值越大，相同時刻入水空泡最大直徑也越大；何乾坤等[8-14]對超空泡射彈的尾拍特性進行了大量數值研究.

目前國內外對并聯入水的研究較少.盧佳興等[15]基于高速攝像技術開展了圓柱體并聯入水空泡演化特性的實驗研究，發現各深度空泡截面擴張和空泡中心偏移的峰值和持續時間均隨弗勞德數增大而先增后減；宋武超等[16]基于勢流理論提出了回轉體低速并聯入水過程空泡形態發展的預測方法.綜上所述，對入水問題的研究多針對單體入水，涉及并聯入水的研究非常少，且未考慮空化現象對運動體并聯入水流體和運動的影響.

本文基于對急動度的限制性假設，推導出描述圓柱體并聯入水側向位移和偏航角的預測公式，研究初始空化數和初始凈距等初始條件對側向和偏航運動特性的影響及其機理，提出避免回轉體運動失穩的策略.

1 數值計算方法

1.1 控制方程及其求解

本文基于有限體積法對雷諾時均的N-S方程進行離散，使用VOF多相流模型描述各相分布. 混合介質的連續性方程為

(1)

其中i=1,2,3，下同. 動量方程為

(2)

式中：ρm=αlρl+αgρg+αvρv，μm=αlμl+αgμg+αvμv.αl、αg、αv分別為水、空氣和水蒸氣的體積分數；ρl、ρg、ρv為三相的密度；μl、μg、μv為三相的動力黏度；μt=ρmCμk2/ε為湍流黏性系數；Cμ為經驗常數；k為湍動能；ε為湍動耗散率；ui、uj為速度分量；xi、xj為位移分量.Cμ由下式確定：

(3)

本文采用適用于大雷諾數流動的realizablek-ε模型[17]，其湍動能和湍動耗散率的輸運方程分別為:

Gk+Gb-ρε-YM+Sk,

(4)

(5)

本文采用Schnerr and Sauer空化模型[18]描述空化現象.水蒸氣相輸運方程為

(6)

式中:RB=1×10-6m為氣核半徑；αnuc=5×10-4為不可凝結氣體體積分數；p為遠場壓力；pv為飽和蒸氣壓；Fvap=50,Fcond=0.001.

1.2 方法有效性驗證

文獻[4]中給出了同實驗結果符合良好的空泡形態模型，其表達式為

(7)

式中:R為空泡半徑；R0為頭部半徑；z為位移；z0為初始位移；σ0、σ分別為初始空化數和空化數；Cd=C0(1+σ),0.82≤C0≤0.83；N為經驗系數，取為2.

為驗證計算方法的有效性，對半徑5 mm的圓柱體以98.7 m/s入水過程進行數值計算，并和式(7)進行對比.由圖1中可知兩者較吻合，說明本文數值計算方法是可信的.

圖1 空泡形態對比

2 側向位移和偏航角預測公式

并聯入水具有對稱性，兩回轉體的側向位移和偏航角大小相等，方向相反.本文約定質心相互遠離的方向為側向位移的正方向，頭部遠離而尾部靠近的旋轉方向為偏航角的正方向，如圖2所示. 圖3給出了直徑D=10 mm，長l=60 mm鋁制圓柱體在初始空化數σ=0.02，初始凈距d=0.6D條件下并聯入水的側向和偏航運動曲線. 由圖2可以看出，由于頭部靠近內側的壓力較大，回轉體受到負方向偏航力矩，導致負方向偏航運動；偏航運動使頭部壓力對回轉體產生正向附加側力，引起正方向側向位移.

圖2 并聯入水示意圖

圖3 左側回轉體側向和偏航運動

進一步考察側向加速度和偏航角加速度可知，入水初期兩者波動性均較強，隨著時間增加逐漸趨于線性變化.因此若忽略波幅較小的波動，可近似認為t較小時側向加速度和偏航角加速度曲線均有4個極值點，而t充分大時兩者為線性變化，如圖4所示.因此由羅爾中值定理可知，側向急動度和偏航角急動度在t較小時都至少有3個極值點，而當t充分大時兩者都幾乎為零.于是對側向急動度和偏航角急動度作如下兩個限制性假設：1)側向急動度和偏航角急動度曲線均有3個極值點；2)側向急動度和偏航角急動度在t充分大時均收斂于零.

圖4 側向加速度和偏航角加速度的波動性

據此設側向急動度和偏航角急動度分別為:

(8)

式中：cXn、cθn為待定參數；fXn(t)、fθn(t)為待定的單調減函數，為使假設成立應滿足:

tnfXn(∞)=0,tnfθn(∞)=0.

(9)

對式(8)積分，并注意到積分第二中值定理可得：

(10)

其中：FXn(t)、Fθn(t)由下式確定：

ξXn(t),ξθn(t)∈[0,t].

(11)

同樣地，應用積分第二中值定理對式(10)連續積分兩次得到側向位移和偏航角分別為:

(12)

(13)

式中:cX、cθ分別為側向和偏航角名義急動度；crX、crθ分別為側向和偏航角修正因子.這些參數對于確定的并聯入水過程是常數，而對于給定外形和材質的回轉體則是初始空化數和初始凈距的函數.

3 運動特性分析

取表1中各初始條件的數值仿真數據對式(13)進行擬合，如圖5所示，擬合結果同式(13)吻合.

表1 初始條件

從圖5還可以看出，同一時刻側向位移和偏航角隨初始空化數減小而增加，隨初始凈距增加而先增后減.結合圖2對此解釋如下：頭部壓力隨初始空化數減小而增大，因此初始空化數越小，回轉體所受偏航力矩和附加側力越大，從而側向位移和偏航角越大；速度駐點位置隨初始凈距變小而越靠近內側，但初始凈距較小時，速度駐點位置幾乎不再向內側偏移，故初始凈距較大時，偏航力矩隨初始凈距減小而增大，使偏航角隨初始凈距減小而增大，進而使附加側力隨初始凈距減小而增大，而初始凈距較小時，內側靠近尾部的低壓區對回轉體有正方向力矩，使偏航力矩和附加側力隨初始凈距減小而減小，從而使側向和偏航運動受到限制.

圖5 預測公式與數值計算對比

為定量考察初始空化數和初始凈距對側向和偏航運動的影響機理，圖6給出了名義急動度cX、cθ和修正因子crX、crθ隨初始條件的變化.可以看出，cX和cθ隨著σ減小而增大，而隨d/D增大而先增后減；crX和crθ隨d/D減小而增大.這進一步說明初始空化數越小，頭部壓力對側向和偏航運動的促進作用越強，而初始凈距越小，內側低壓對側向和偏航運動的限制作用越強.

圖6 不同初始條件下的名義急動度和修正因子

4 避免失穩的策略

側向和偏航運動使回轉體逐漸偏離平衡點，可能使回轉體碰撞或過度遠離，導致運動失穩.因此獲得碰撞和過度遠離的條件很有必要.

定義運動狀態因數β為凈距變化量與初始凈距之比的相反數，即

(14)

回轉體發生碰撞時，頭部內側與對稱線接觸，如圖7所示.此時滿足如下幾何關系:

圖7 回轉體碰撞狀態示意

(15)

亦即

(16)

上式即是碰撞狀態的判據.本文約定|β|≤1，當且僅當β=1時回轉體碰撞，當且僅當β=-1時為過度遠離狀態.式(14)可改寫為

(17)

其中，λ為長細比，對于本文的回轉體λ=24.

將式(13)代入式(17)即得β表達式.該式表明，運動狀態不僅和初始條件(初始空化數和初始凈距)有關，還同回轉體的外形(長細比)相關.

圖8比較了不同初始條件對β的影響.可以看出，對同一初始凈距，存在使回轉體最接近初始狀態的初始空化數；對同一初始空化數，存在使回轉體凈距最接近初始狀態的初始凈距.而為避免運動失穩，應當力求|β|盡量小.因此對于已確定形狀和材料的回轉體，應控制入水初速度和初始凈距在合理的范圍內.對于本文的圓柱體，若初始凈距為0.4D，則入水初速度應控制在79.64 m/s左右(對應于圖8中σ=0.031,d/D=0.4)；若入水初速度為98.7 m/s，則初始凈距應控制在0.4D～0.6D之間(對應于圖8中σ=0.020,d/D=0.4及σ=0.020,d/D=0.6).

圖8 β-t曲線

5 結 論

1)預測公式與數值計算結果符合良好，具有一定的可信度.

2)入水后同一時刻，運動體的側向位移和偏航角均隨初始空化數減小而增大，隨初始凈距減小而先增后減.

3)初始空化數較低時頭部壓力對側向和偏航運動具有促進作用，且初始空化數越小，側向名義急動度和偏航角名義急動度越大，表明側向和偏航運動所受促進作用越強；初始凈距較小時，內側壓力對側向和偏航運動具有抑制作用，且初始凈距越小，側向修正因子和偏航角修正因子越大，表明側向和偏航運動所受抑制作用越強

4)初始條件和回轉體外形共同決定了并聯入水過程中回轉體的運動狀態.對于本文運動體，當初始凈距為0.4D，則入水初速度應控制在79.64 m/s左右；若入水初速度為98.7 m/s，則初始凈距應控制在0.4D～0.6D之間.