攻擊時間和攻擊角度控制的非奇異終端滑模制導律

吳 放,常思江

(南京理工大學 能源與動力工程學院,南京 210094)

隨著現代反導系統的發展，導彈的攻擊方式也在不斷發展.采用攻擊時間控制，對目標發動飽和攻擊可有效突破反導系統防御；在導彈擊中目標時，控制導彈以特定角度擊中目標則可大大提高其毀傷效果. 考慮到攻擊時間控制和攻擊角度控制各自的優勢，將二者結合以達到復合效果，具有重要的理論意義和良好的應用前景. 因此，有必要對同時實現導彈攻擊時間和攻擊角度控制的問題開展理論研究.

文獻[1]在2007年首次進行了攻擊時間和攻擊角度同時控制制導律的研究，隨后眾多學者基于不同理論對其進行了研究，如基于比例導引法[2-4]、最優理論[5-6]、滑?？刂评碚揫7-8]、成型理論[9-10]. 比例導引法由于其形式簡單的優點，最先被應用于設計攻擊時間和攻擊角度控制制導律. 文獻[2-4]設計了多種附加控制項，提出了基于偏置比例導引法的攻擊時間和攻擊角度控制制導律. 導彈在比例導引法控制下擊中目標，通過附加控制項實現對攻擊時間和攻擊角度的控制. 隨著現代控制理論的不斷發展，近年來最優控制理論也逐漸用于攻擊時間和攻擊角度控制制導律的設計. 文獻[5]在小角度假設下，基于最優理論設計出一種滿足攻擊角度控制的最優制導律，并推導了導彈的剩余飛行時間估算公式，再根據剩余飛行時間構造反饋控制項，實現了攻擊時間和攻擊角度的同時控制. 文獻[6]利用非線性運動模型，基于最優控制理論，引入兩個物理約束條件，設計了滿足攻擊時間和攻擊角度的制導指令.

文獻[1-5]在設計制導指令時均需要估算導彈每一時刻的剩余飛行時間，然而估算帶來的誤差會影響制導律的制導性能[11]. 為解決估算誤差帶來的影響，有兩種解決思路. 一種是通過設計對誤差不敏感的制導律，減少誤差帶來的影響. 例如，文獻[7]引入具有較強魯棒性的滑模控制理論設計攻擊時間控制制導律，利用攻擊時間誤差設計滑模面，以減小估算誤差對制導律性能的影響，在攻擊誤差足夠小時將制導指令切換為基于最優理論的攻擊角度控制指令，實現了攻擊時間和攻擊角度的同時控制；另一種是設計無需剩余飛行時間的制導律. 例如，文獻[8]引入虛擬目標理論，通過優化方法確定虛擬目標的位置，導彈在擊中虛擬目標時完成攻擊角度控制，隨后導彈沿直線飛行擊中目標實現攻擊時間控制. 文獻[9]基于成型理論，構造了視線角多項式，設計出滿足攻擊時間和攻擊角度控制的制導指令. 文獻[10]假設所成型的導彈飛行軌跡由圓弧段和直線段構成，在此基礎上提出一種軌跡跟蹤控制方法，有效實現了對攻擊時間和攻擊角度的控制.

由于滑模理論對外界干擾有抑制作用且具有能夠使系統快速收斂的優點，目前在單獨設計攻擊時間控制制導律[12-15]或攻擊角度控制制導律[16-17]時被大量應用. 并且考慮到無需估算剩余飛行時間制導律的發展趨勢. 因此設計一種無需剩余飛行時間的攻擊時間和攻擊角度控制滑模制導律具有較大的研究意義. 然而在應用滑模理論時，設計一個同時滿足攻擊時間和攻擊角度控制的滑模面具有較大難度，故現有此類文獻相對較少. 其中，文獻[18]推導了以導彈水平位置為自變量的、滿足攻擊時間和攻擊角度約束的視線角多項式，基于二階滑模理論設計制導指令，實現了對攻擊時間和攻擊角度的同時控制. 但設計的視線角多項式需要用到導彈每一時刻的位置信息，實際應用中對位置信息的測量精度要求較高.

針對上述分析，本文基于成型理論設計了導彈的視線角多項式，并利用其邊界條件，通過優化方法計算了多項式的具體系數，從而確定了同時滿足攻擊時間和攻擊角度約束的理想視線角變化律. 與文獻[18]相比，本文所設計的視線角多項式只需導彈的飛行時間作為變量，在實際應用中只需要一個計時裝置，無需對導彈位置進行測量，更易于實現. 在得到理想的視線角變化規律后，只需使導彈實際視線角按照理想規律變化即可實現攻擊時間和攻擊角度控制. 考慮到在各種滑模理論中，非奇異終端滑模理論可使系統狀態在有限時間內收斂為零，突破了普通滑模理論在線性滑模面條件下漸近收斂的特點[19]，且能夠有效地消除抖振，不存在奇點，在設計制導律時具有較好性能. 因此，本文利用實際視線角與理想視線角之差設計狀態變量，基于非奇異終端滑模理論設計滑模面，進而設計制導指令，使實際視線角按照理想規律變化，最終完成了對導彈攻擊時間和攻擊角度的控制

1 問題描述

考慮二維平面內的導彈制導問題，如圖1所示為導彈和目標的相對運動關系. 圖中，M為導彈，T為目標, 在整個飛行過程中假設導彈速度v恒定，加速度為a且垂直于導彈速度方向.r為導彈與目標之間距離，γ、θ、φ分別為導彈的彈道角、視線角和前置角，θf為擊中目標時的視線角，所有角度以逆時針方向為正.

圖1 導彈與目標相對運動關系圖

導彈運動學方程可描述如下：

(1)

(2)

(3)

(4)

式中變量上方圓點表示關于時間t的一階導數.

為了實現攻擊時間控制，需要r(td)=0，其中td為所需攻擊時間，此外還要求φ(td)=0. 因此，在導彈擊中目標的基礎上，考慮到φ(td)=0，可用導彈擊中目標的視線角表示攻擊角度，將導彈的攻擊角度約束表示為θ(td)=θf.

本文研究問題可描述為：設計導彈制導指令a，使其在所需攻擊時刻td滿足如下條件:

(5)

因此，本文需要設計一個滿足式(5)的制導律，以控制導彈在所需攻擊時刻以所需攻擊角度擊中目標.

2 制導律設計

2.1 視線角速率及視線角設計

現有文獻[9,11]基于成型理論設計的理想視線角多項式，主要是通過邊界條件個數來確定多項式階數，即多項式階數為邊界條件個數加一. 根據這一思路，考慮到視線角初始狀態以及擊中目標時的攻擊時間和攻擊角度控制要求，故本文研究問題存在3個邊界條件，因此，理想視線角多項式的階數為四次，理想視線角速率多項式的階數為三次，具體如下：

(6)

對式(6)積分得到如下理想視線角:

(7)

式中κ5為常數.

由導彈初始條件和式(5)可得到式(6)、(7)的邊界條件如下:

(8)

將式(8)代入式(6)、式(7)，解得

(9)

故式(6)、(7)改寫為:

(10)

(11)

對式(10)關于時間求一階導數，可得

(12)

圖2 不同κ1時的

圖3 不同κ1時的θd

因此，κ1的取值需要滿足如下條件：1)通過合理選擇κ1，確定θd多項式的系數. 導彈的實際視線角若按照θd變化，則能夠在擊中目標時滿足式(5).2)應在合理范圍內選擇κ1，避免所需加速度過大.

2.2 制導指令設計

由于視線角速率及視線角設計所設計的視線角滿足攻擊時間和攻擊角度控制，因此只需設計合適的制導指令，使導彈實際視線角按照設計規律變化，即可完成攻擊時間和攻擊角度控制.

對式(2)關于時間求導，并代入式(3)，得到加速度a與視線角θ的關系:

(13)

定義θ和θd之差為狀態變量，即

x=θ-θd.

(14)

基于非奇異終端滑模理論[19]，設計滑模切換面為

(15)

為使滑模面收斂至S=0，設計導彈加速度a為等效加速度aeq與非連續加速度adis之和，即

a=aeq+adis.

(16)

為求解導彈加速度，對式(15)關于時間求導，可得

(17)

將式(13)代入式(17)，可得

(18)

(19)

設計非連續加速度為如下形式：

(20)

式中M為設計參數，取M>0，以保證滑模面在有限時間收斂.sgn(·)為符號函數，定義如下:

(21)

將式(19)、(20)代入式(16)，得到導彈加速度為

(22)

在式(22)所示的制導指令作用下，x=θ-θd在有限時間收斂為0，導彈實際視線角按照所設計的θd變化，完成對導彈攻擊時間和攻擊角度的控制.

2.3 穩定性分析

為表明在式(18)所示的制導指令作用下，導彈能夠實現攻擊時間和攻擊角度控制，即滿足式(5)，本文將證明所設計制導律在Lyapunov意義下的穩定性.

選擇如下Lyapunov函數：

(23)

(24)

(25)

(26)

當滑模面收斂為0時，即S=0，由式(15)可得

(27)

選擇如下Lyapunov函數:

(28)

(29)

綜上可知，制導指令滿足Lyapunov穩定性條件，滑模面S能夠在有限時間內收斂至0，導彈視線角能夠按照所需視線角θd變化. 在制導指令作用下，導彈能夠實現攻擊時間和攻擊角度控制.

2.4 參數κ1的確定方法

導彈在制導指令的作用下，實際視線角將按照視線角速率及視線角設計所設計視線角θd變化，而θd受未知參數κ1的影響，通過合理選擇κ1，即可實現攻擊時間和攻擊角度控制，本文給出κ1的確定方法.

在確定κ1之前，首先考慮一個奇點問題，由式(22)可知，當|φ|=π/2時，加速度會趨向無窮大，制導律失效. 為此可通過在適當范圍內選擇κ1，避免|φ|=π/2時的奇點問題出現.

由式(2)可得

(30)

對式(30)關于時間求導可得

(31)

聯立式(1)，可得

(32)

整理后可得

(33)

將θ=θd代入式(27)可得

(34)

選取κ10作為κ1的初值，通過圖4所示算法計算κ1的極值κL，從而確定κ1的取值范圍.

圖4 κ1極值的計算步驟

在確定κ1的取值范圍之后，以κ1為優化設計變量、κ1的取值范圍為約束條件、以導彈擊中目標時實際攻擊時間timp與所需攻擊時間td之差的絕對值作為目標函數(即J=|timp-td|)，可構建一個優化設計模型. 求解該優化模型即可設計出滿足式(5)的優化制導律.

考慮到該優化設計問題的特點，本文選取單純形法對制導律進行優化. 在優化過程中，當J<0.005時終止優化. 需要說明的是，采用該優化方法并不能確保得到κ1的全局最優解. 根據第視線角速率及視線角設計中對式(10)、(11)的分析可知，κ1只影響攻擊時間控制，并不影響攻擊角度控制.而優化設計的目標函數為J=|timp-td|，實際優化過程中只需滿足J<0.005即可，并不要求κ1必須為全局最優解.

現以td=50 s，θf=-90°為例，說明本文確定κ1的過程. 首先通過表1所示算法確定κ1的取值范圍為(0.389 7,0.700 4)；然后以κ1為設計變量、0.389 7<κ1<0.700 4為約束條件、J=|timp-td|為目標函數，建立具體的優化模型. 在(0.389 7,0.700 4)內選擇任意值為κ1的初值，采用單純形法對制導律進行優化. 不同初始κ1值的優化結果見表1.

表1 不同初始κ1值的優化結果

由表1可知，κ1初值不同時，最優κ1相差0.000 1，優化終止時的J相差0.001 s，差值足夠小，可以認為初值的選取對最優κ1值無影響. 因此在確定κ1初值時，可以選擇κ1取值范圍內任意值. 盡管κ1初值為0.650 0時，迭代次數比其他初值多2次，但所需迭代次數僅有10次，優化速度較快. 在優化計算κ1值時，僅需要導彈的初始條件、所需攻擊時間及所需攻擊角度，故可以離線計算κ1. 但本文在優化κ1時，所需的迭代次數較少，優化速度較快，因此在實際工程應用中，本文方法能夠用于在線計算κ1值.

3 數值仿真及結果分析

為驗證本文所設計制導律的有效性，本文采用數值仿真方法進行分析. 其中，對本文制導律在不同給定攻擊角度和不同給定攻擊時間下進行了數值仿真，將本文制導律與現有文獻所設計制導律進行了仿真對比，在考慮外界干擾時進行了數值仿真.

需要說明的是，為了避免符號函數sgn(·)造成的加速度指令抖動，借鑒現有文獻的一般做法[8,20]，采用連續函數sgmf(x)代替符號函數sgn(·)，定義如下：

(35)

式中b為正常數，本文取b=0.1.

仿真條件：導彈速度為250 m/s，加速度最大值為100 m/s2，目標靜止，導彈初始前置角為30°，導彈和目標在圖1所示坐標系中的初始位置分別為(0,0) m和(10 000,0) m.對于所有仿真算例，取參數β=1，p=5，q=3，M=500.

3.1 不同給定攻擊角度和不同給定攻擊時間

為驗證在不同條件下，本文制導律的有效性，選擇多種攻擊角度和攻擊時間對制導律進行數值仿真.

首先考慮相同攻擊時間、不同攻擊角度的情形. 選取td=50 s，θf=-60°,-90°,45°,55°進行數值仿真，4種攻擊角度對應的κ1值分別為-0.003 5，0.489 0，0.312 1，0.192 6. 仿真結果如圖5所示.

導彈的彈道軌跡如圖5(a)所示，由仿真曲線可知，選擇不同的所需攻擊角度，導彈在本文制導律作用下按照不同的彈道軌跡飛行，均在50 s時擊中目標. 由圖5(b)所示的視線角曲線可知，擊中目標時導彈實際攻擊角度與所需攻擊角度的誤差小于0.01°，導彈完成了攻擊時間和攻擊角度控制. 導彈前置角曲線如圖5(c)所示，由于導彈初始前置角為正，故θf=45°,55°時，前置角在彈道初始段變化量大于θf=-60°,-90°.但通過合理選擇κ1，前置角均未超過90°，未出現奇點，且在擊中目標時收斂為0.導彈加速度如圖5(d)所示，當所需攻擊角度為正時，導彈需要做出更大機動，故彈道初始段加速度較大，但并未超過所限制的最大加速度.

圖5 td=50 s時，不同攻擊角度的仿真曲線

下面考慮相同攻擊角度、不同攻擊時間的情形. 選取θf=-90°，td=52,55,58,60 s進行數值仿真，4種攻擊時間對應的κ1值分別為0.320 3，0.178 6，0.088 4，0.043 9.仿真結果如圖6所示.

由圖6(a)、圖6(b)可知，導彈以所需攻擊角度θf=-90°按照不同軌跡擊中目標，完成了攻擊時間和攻擊角度控制. 導彈前置角曲線如圖6(c)所示，由圖6可知，隨著所需攻擊時間的增大，導彈所需的前置角越大，td=52 s對應的最大前置角為59.87°，而td=60 s對應的最大前置角增大至72.72°. 這是由于導彈需要通過增大前置角來增加飛行距離，從而增加飛行時間. 由圖6(d)可知導彈加速度曲線均連續變化，在擊中目標時收斂為0.

圖6 θf=-90°時，不同攻擊時間仿真曲線

通過多種情形下的仿真結果可知，本文制導律滿足式(5)，實現了攻擊時間和攻擊角度控制，證明了本文制導律的有效性.

3.2 與現有文獻的對比分析

將本文制導律與文獻[7,18]所設計制導律進行了仿真對比.

文獻[7]采用邏輯切換的方法設計制導律，以攻擊時間誤差作為切換條件，將基于滑模理論的攻擊時間控制制導律和基于最優理論的攻擊角度控制制導律結合. 當攻擊時間誤差足夠小時，對導彈進行攻擊角度控制；當攻擊時間誤差增大時，對導彈進行攻擊時間控制. 文獻[18]則采用整體設計的方法，推導了以導彈水平位置為自變量的、滿足攻擊時間和攻擊角度的視線角計算公式，基于二階滑模理論設計制導指令使實際視線角跟蹤所設計的視線角，從而提出了一個既可實現攻擊時間控制又可實現攻擊角度控制的制導律.

本文在td=45 s，θf=-45°和td=48 s，θf=50°時，分別對本文制導律與文獻[7，18]制導律進行了數值仿真對比. 這兩種情形下，本文制導律中的κ1分別為0.041 4，0.178 6. 圖7、8為數值仿真對比結果.

由圖7、8可知，本文與文獻[7，18]的攻擊時間誤差小于0.02 s，攻擊角度誤差小于0.01°，均實現了攻擊時間和角度的控制. 當td=45 s，θf=-45°時，由圖7(a)可知，本文與文獻[18]的彈道軌跡較為相近，而在文獻[7]的制導律作用下導彈上升速度更快，更早到達了彈道頂點. 在彈道前半段本文與文獻[7,18]的視線角變化規律相近，在彈道后半段，文獻[7]的視線角大于本文與文獻[18]. 由圖7(c)所示的前置角曲線可知，文獻[7]的前置角在彈道初始段快速增大，在0.78 s內增大了18.61°，隨后逐漸減小，最大前置角速率為45.70(°)/s. 相比而言，本文與文獻[18]的前置角變化在全彈道上均較為平緩，最大前置角速率分別為1.74、2.35(°)/s. 同時，文獻[7] 在導彈發射后首先進行攻擊時間控制，為使滑模面快速收斂，需要較大的初始加速度(達到飽和值100 m/s2)，遠大于本文和文獻[18]的初始加速度. 當文獻[7]的滑模面收斂后，其制導律切換為攻擊角度控制制導律，加速度快速減小，且變化劇烈，不利于工程應用，而本文和文獻[18]加速度連續變化、不存在突變，并在擊中目標時收斂為0.

圖7 td=45 s，θf=-45°時，與文獻[7,18]對比的仿真曲線

圖8 td=48 s，θf=50°時，與文獻[7,18]對比的仿真曲線

通過對比分析可知：1)由于文獻[7]需要邏輯切換，因此加速度出現突變且達到飽和，而本文與文獻[18]采用整體設計的方法，加速度連續變化且未達到飽和；2)相比于文獻[18]，本文制導律所需的控制能量更小，更利于控制系統設計.

3.3 考慮外界干擾

在上述仿真中均假設導彈速度恒定，但在實際工程應用中，由于受到外界干擾，對導彈速度的控制難以做到完全精確. 此外，導彈的測量系統存在噪聲，導致制導系統的輸入量存在誤差. 因此為了對所設計制導律的工程適用性做出評估，本文通過在數值仿真中加入不同干擾，以分析其對制導律的影響.

首先考慮外界干擾對速度控制的影響. 在外界干擾作用下，對導彈的速度控制存在誤差，將導彈速度表示為

v=v0+Δv.

(36)

式中:v0為導彈初始速度，Δv為導彈速度誤差.

本文假設速度控制誤差為周期性變化的系統誤差[20]，即Δv按照正弦規律vΔsin 0.125t變化(vΔ為速度誤差幅值)，導彈初始速度v0=250 m/s，取vΔ=0.5,1.0,2.0,4.0,6.0 m/s，在td=50 s、θf=-90°時，進行數值仿真，仿真條件及參數與不同給定攻擊角度和不同給定攻擊時間相同. 仿真結果如圖9所示. 定義攻擊時間和角度誤差分別為實際攻擊時間和角度與所需攻擊時間和角度之差的絕對值.

圖9 不同速度控制誤差時的彈目距離曲線

實際攻擊時間和實際攻擊角度見表2.由仿真結果可知，在存在速度控制誤差的情形下，導彈的攻擊時間和攻擊角度均存在一定誤差，且誤差隨速度誤差的增大而增大. 在速度誤差幅值小于2 m/s時，本文制導律仍具有較高控制精度. 因此，在將所設計制導律應用于工程中時，需要綜合考慮速度控制精度和可接受的最大攻擊時間誤差和最大攻擊角度誤差.

表2 不同速度控制誤差時的攻擊時間誤差和攻擊角度誤差

在導彈實際系統中，通常會對測量進行濾波處理，本文僅單純地評估所設計制導律的抗干擾能力，故只對視線角速率增加高斯白噪聲. 通過加入不同標準差的高斯白噪聲進行數值仿真，根據導彈的攻擊時間誤差和攻擊角度誤差，評估所設計制導律性能. 選擇td=50 s、θf=-90°進行數值仿真，其他仿真條件不變. 仿真結果見表3.

表3 加入不同噪聲后的攻擊時間誤差和攻擊角度誤差

由表3可知，當噪聲標準差小于0.8 °/s時，本文制導律對噪聲有一定抑制作用，能夠保證制導精度. 但隨著噪聲的增大，加速度指令的波動也逐漸增大. 在實際應用中，為減小加速度指令的波動，仍需要對測量進行濾波.

4 結 論

1)從理論上探討了滑?？刂评碚撛趯椆魰r間和攻擊角度控制制導律設計中的應用.首先利用成型理論設計了以多項式描述的、滿足攻擊時間和攻擊角度約束的導彈視線角變化律. 在此基礎上，基于非奇異終端滑模理論，設計了一種無奇點的攻擊時間和攻擊角度控制制導律.

2)在所設計制導律的作用下，導彈飛行過程中的實際視線角可按設計值變化，最終有效實現攻擊時間和攻擊角度的同時控制. 制導指令所需的κ1可以通過離線計算得到，且優化迭代次數少，在彈載設備允許的情形下能夠在線計算，滿足工程應用的要求. 此外，經數學證明，所設計制導律在Lyapunov意義下是穩定的.

3)通過數值仿真，并與現有同類制導律相比，本文制導律的加速度指令全程連續變化，無突變性，并且由于前置角變化規律相對簡單，所需控制能量較小，有利于控制系統設計. 在速度控制和視線角速率測量存在外界干擾時，本文制導律在一定范圍內仍能夠完成攻擊時間和攻擊角度控制. 本文研究結果是對現有文獻成果的有益補充.