基于里德伯超級原子快速制備三粒子單重態*

計彥強 王潔 劉穎莉 張大偉 肖瑞杰 董莉 修曉明?

1) (渤海大學物理科學與技術學院, 錦州 121013)

2) (長春理工大學機電工程學院, 長春 130022)

3) (營口理工學院電氣工程學院, 營口 115014)

1 引 言

量子糾纏體現了多個系統之間的非定域非經典的關聯特性, 這種特性使量子糾纏成為了量子信息科學中的基本資源.因此, 量子糾纏被廣泛地應用在了量子信息處理任務中.最常見的量子糾纏態有Bell態、GHZ態以及W態等.不同的糾纏態有著各自的優點, 例如, GHZ態是最大糾纏態并且能夠最大程度地違背Bell不等式; 對于一個N粒子W態, 其任意一個粒子被測量之后, 剩下的粒子會以 (N-1)/N的概率仍然保持糾纏的特性, 也就是說W態的糾纏特性對于量子比特的丟失具有很好的魯棒性.在2002年, Cabello[1]提出了一種新型糾纏態—N粒子N能級單重態.這種糾纏態可以表示為

式中,?n1,···,nN表示列維-奇維塔符號,{nl}表示排列, |qnl〉 表示一個量子比特的基矢.這類糾纏態不僅違反了Bell不等式[2], 而且還可以構建無消相干子空間, 用于抵抗集體的退相干[3], 因此, 單重態成為了量子秘密共享、測謊技術等的關鍵資源[1,4].近年來, 學者們已經提出了一些理論方案用于制備單重態[5-10].例如, Jin等[6]在腔量子電動力學系統中基于原子-腔共振相互作用制備了單重態,但是該方案中需要三個原子依次通過三個不同的腔, 因此, 單重態的保真度對腔的衰減比較敏感;Lin等[7]的方案中由于沒有涉及到腔中光子的布居, 因此對腔的衰減并不敏感, 但是當考慮到原子的自發輻射和腔的衰減時, 方案的成功概率將變成概率性的; Shao等[8]利用量子Zeno動力學將兩原子單重態轉化成三原子單重態并將方案進行了拓展, 但是在轉化過程中需要精確地控制系統的演化時間.此外, 在大部分的方案中, 學者們都利用了原子的激發態進行量子信息的編碼, 而激發態的衰減往往會對方案的實現造成一定的影響.

作為實現量子信息處理和量子計算的理想載體之一的中性里德伯原子, 由于最外層電子被激發到了高能級, 隨著主量子數的增加, 其環繞半徑也會增加, 導致電子的運動軌道距離原子實很遠, 使里德伯原子擁有了很多與普通原子不同的特性: 里德伯原子的體積很大, 很容易受到外電場的電離,對外界的電場變化很敏感, 因此, 可以通過改變外電場的方式來改變里德伯原子間相互作用的強度;里德伯態是一種高激發態, 在不受外界影響的情況下, 其輻射衰減很小, 輻射壽命可以達到毫秒量級甚至更長; 原子實與最外層電子間的距離比較遠,電子受到的庫侖作用很弱, 電偶極矩大.其中, 里德伯原子大的電偶極矩能夠產生長程的偶極-偶極相互作用, 在這種強的偶極-偶極相互作用下, 當一個原子躍遷到里德伯態的時候, 會使在一定范圍內的其他里德伯原子的激發態能級產生若干微米的移動, 形成類似大失諧的情況, 一定范圍內的其他里德伯原子的激發得到了抑制, 即里德伯阻塞效應[11-13].2009年的兩組實驗分別證實了相距4 μm[14]和10 μm[15]的兩個獨立里德伯原子之間存在偶極阻塞效應.然而, 利用同時驅動的失諧補償法[16,17]、分步驅動的失諧補償法[18]以及同時驅動的幅值調制法[19-21], 可以實現兩個基態和兩個里德伯態之間的同時躍遷, 即里德伯反阻塞效應.如今, 里德伯原子已廣泛地應用在了量子信息處理任務中[16-29].

然而, 關于包含n個里德伯原子的系綜研究仍然是個挑戰, 這是因為隨著系綜中原子數的增加,系綜的維度將會指數式地增加.幸運的是, 當里德伯原子系綜位于阻塞球范圍內的時候, 系綜表現出的行為就像是一個多能級的系統, 即超級原子.此時, 超級原子的基態和激發態之間的躍遷與場的耦合強度將會增加倍[30,31].這些特色使超級原子成為了量子模擬的基本模塊[32-39].例如, Lukin等[32]提出了一種方案用于操作存儲于系綜集體態上面的量子信息并制備了可擴展的量子邏輯門.Beterov等[38]基于里德伯超級原子數值模擬了單量子比特和雙量子比特量子態的量子層析.Paris-Mandoki等[39]實現了自由空間中的單個里德伯超級原子和傳播光場的相干耦合.

受到其他學者的啟發, 本文主要利用絕熱捷徑方法制備了三個里德伯超級原子單重態.在本方案中, 將四能級倒“Y”型結構的里德伯原子系綜放置在里德伯阻塞球內使其形成超級原子, 然后將三個超級原子放置在腔中, 在弱腔場近似下, 超級原子的集體態將會簡化為一個新的四能級倒“Y”型結構.在系統演化的過程中, 超級原子的躍遷不僅與腔場耦合而且還與經典激光場耦合, 利用量子Zeno動力學和絕熱捷徑的方法, 通過控制拉比頻率, 能夠在相對很短的時間內獲得一個高保真度的單重態.本方案有如下優點: 1)將量子信息編碼在系綜的集體態上, 即編碼在超級原子的有效能級上面, 相比于單個原子, 對超級原子的操控更為容易;2)和單個里德伯原子相比, 超級原子的基態和激發態之間的躍遷與場的耦合強度增加了倍, 在一定程度上可以降低實驗的要求; 3)在里德伯原子中, 一般只能利用里德伯反阻塞效應才能使每個里德伯原子都處于里德伯態, 但是實現里德伯反阻塞效應的要求比較高, 然而在里德伯超級原子中卻沒有這種限制; 4)利用量子Zeno動力學[40-44]將系統的演化限制在量子Zeno子空間中, 有效降低了腔衰減對方案保真度的影響; 5) 利用絕熱捷徑的方法有效降低了系統的演化時間.

本文的結構如下: 第一節為引言; 第二節利用里德伯超級原子制備了三粒子單重態, 介紹了該系統的理論模型以及制備過程; 第三節進行了數值分析模擬, 對絕熱捷徑方法和絕熱近似方法所需要的時間進行了對比, 討論了腔的衰減和超級原子的自發輻射對單重態保真度的影響; 第四節為結論.

2 利用里德伯超級原子快速制備三粒子單重態

2.1 理論模型

考慮一個四能級的87Rb 原子, 如圖1(a)所示,四個 態 |g〉, |m〉, |e〉和 |r〉分別 對 應于 能 級|5S1/2,F=2,mF=2〉, | 5S1/2,F=1,mF=1〉 ,|5P3/2,F=2,mF=3〉 和 | 60S1/2,F=2〉.其中 |g〉( |m〉)態與 |e〉態之間的躍遷和量子化腔場的左(右)圓極化模式耦合, 耦合強度為ga(gb).|e〉態與|r〉態之間的躍遷和經典激光場耦合, 拉比頻率為Ω.vvdW表示處于里德伯態的兩個原子之間的范德瓦耳斯相互作用, 其中vvdW=?C6/R6,C6表示范德瓦耳斯相互作用系數,R表示相互作用距離.Δ表示相應的單光子失諧參數.在旋波近似下, 可以用下面的哈密頓量來描述多個里德伯原子和量子化腔場以及經典激光場之間的相互作用:

圖1 (a)里德伯原子的能級結構; (b)里德伯超級原子的能級結構; (c)弱腔場極限下的里德伯超級原子能級結構Fig.1.(a) Energy levels configuration for Rydberg atom;(b) energy levels configuration for Rydberg superatom;(c) effective energy levels configuration for the superatom in the weak cavity field limit.

式中,a?和b?分別表示a模腔場和b模腔場的產生算符.

然而, 在里德伯阻塞區域中, 只允許有一個里德伯原子可以被激發到里德伯態|r〉.因此, 使用超級原子來表示處于阻塞區域中的里德伯原子系綜.原子系綜的 (n+1)2個集體態可以表示為

對于 |R(j)〉 , 由于里德伯阻塞效應, 在超級原子中最多只有一個里德伯原子能夠被激發到里德伯態, 因此j只能取1.每個超級原子之間的偶極-偶極相互作用非常小, 可以忽略.假設在超級原子中最多只有一個原子可以被激發到|e〉態, 這種假設在弱腔場極限下是合理的, 此時, 這些集體態只有(如圖1(b)).所以可以使用四能級的倒“Y”結構來描述這個超級原子, 這四個能級分別對應集體態 |G〉, |M(1)〉 ,|E(1)〉 和 |R(1)〉 (如圖1(c)).

為了利用里德伯超級原子快速制備三粒子單重態, 將三個里德伯超級原子放置在一個腔中, 如圖2所示, 相互作用哈密頓量可以表示為

圖2 腔與三個超級原子相互作用示意圖Fig.2.Schematic illustration of the interaction between the a cavity and three superatoms.

式中ni表示第i個超級原子中的里德伯原子個數,表示第i個超級原子與a(b)模腔場的耦合強度.本文中已假設和Δi=Δ.在這些假設中, 要求系綜中原子個數相等, 這是為了方便理論計算.實際上, 在系綜中的原子個數相差不是很大的情況下, 只要能夠使本方案仍然有效.此外, 方案中采用的是非簡并的雙模腔場, 實驗上可以通過控制a(b)模腔場的本征頻率以及原子到a(b)模邊界的距離來控制ga和gb的大小, 因此這些假設是合理的.

2.2 制備三粒子單重態

利用量子絕熱捷徑技術可以通過一個非絕熱過程來加快絕熱演化的速度, 為了設計這樣的哈密頓量來快速制備糾纏態, 首先考慮Δ=0 的情況:

利用(6)式的基矢, 可以將哈密頓量重新改寫為

Hrac表示超級原子與腔場的相互作用項, 其表達形式是利用的本征態對進行對角化;Hral表示超級原子與經典場的相互作用項, 其表達形式是利用的本征態對進行對角化.對(9)式執行一個幺正變換U=exp(-iHract) , 忽略高頻振蕩項則可以獲得一個有效的哈密頓量

上面的處理過程中已設定了和|T〉=(|φ2〉+|φ5〉-|φ1〉-|φ6〉)/2.該有效哈密頓量描述的系統可以被認為是一個具有激發態 |φ1〉 和 基態 |D〉, |T〉的三能級系統.對于這個簡單的三能級系統, 其本征態為

為了更好地完成制備過程, 經典激光脈沖的參數應該滿足受激拉曼絕熱過程的邊界條件:

因此,拉比頻率選為

式 中,Ω0表 示 脈 沖 振 幅,{t0,T}是 相 關 的 參 數,tanβ=2 ,tc是操作時間.當選擇合理的激光脈沖參 數 時, 即t0=0.14tc以 及T=0.19tc,如圖3所示.

圖3 在 t 0=0.14tc 和 T =0.19tc 時 的 激 光 脈 沖 和Fig.3.Laser pulse and when t 0=0.14tc andT=0.19tc.

然而, 利用絕熱演化去獲得目標態需要很長的時間, 這并不是理想的.為了縮短系統的演化時間,這里使用絕熱捷徑的方式去獲得目標態.前面獲得的有效哈密頓量Heff的瞬時本征態 |mk〉 (k=0,1,2 )并不滿足Schr?dinger方程 i?t|mk〉=Heff|mk〉.根據Berry[45]的無躍遷跟蹤算法可獲得能夠精確驅動本征態演化的哈密頓量H(t) ,從文獻[46-49]可知, 最簡單的哈密頓量H(t) 的形式為

在大失諧條件下(Δ?Ω1,Ω3), 絕熱消除 |φ1〉 態,并選擇Ω1=Ωx以及則可以獲得最終的有效哈密頓量為

也就是說, 只要滿足哈密頓量就可以將系統暗態的絕熱演化進行加速, 使其能夠快速地演化到目標態.因此,Ωx表示為

3 數值模擬分析

為了說明利用絕熱捷徑方法制備三粒子單重態所需的時間遠遠小于利用絕熱近似方法所需要的時間, 圖4分別給出了兩種方案的保真度隨g0t的變化關系.

圖4 利用絕熱近似方法和絕熱捷徑方法制備三粒子單重態所需時間對比Fig.4.Comparison of the interaction time required between shortcuts to the adiabaticity method and the adiabatic approximation method.

保真度定義為F=|〈Φtc|ρ(t)|Φtc〉|,ρ(t) 是相應

的含時密度算符, |Φtc〉 表示目標態.數值模擬采用的參數為:t0=0.14tc,T=0.19tc,g0=10Ω0.在圖4中, 紅色虛線表示利用絕熱近似方法制備的三粒子單重態的保真度隨時間的變化關系, 選擇tc=500/g0, 當g0tc=500 時, 該方法的保真度近似等于1; 藍色點線也表示絕熱近似方法下的保真度,選擇tc=100/g0, 當g0tc=100 時, 保真度約為0.6,這是因為操作時間很短, 并不能滿足絕熱近似條件, 所以得不到很好的保真度; 綠色點虛線表示利用絕熱捷徑方法制備的單重態的保真度, 可以看出, 與絕熱近似方法相比, 在得到相同保真度的情況下, 利用絕熱捷徑方式僅需要很短的時間.也就是說, 操作時間tc越長, 越能夠滿足絕熱演化條件,此時, 利用絕熱演化方法制備的三粒子單重態的保真度越高, 但是這個過程需要非常長的時間.相反,利用絕熱捷徑的方法只需要很短的時間就可以達到一個高的保真度.

為了分析本方案的可行性, 考慮退相干因素,使用Lindblad形式的主方程

來描述整個的演化過程.(19)式中的=是描述耗散過程的Lindblad算符.κa和κb分別表示腔中a模和b模的衰減率.γe1和γe2分別表示能級 |e〉向能級 |g〉和 |m〉的自發輻射率,γr表示里德伯態的自發輻射率.在實際情況中, 里德伯態的自發輻射要遠遠小于其他態的自發輻射率, 因此在數值模擬中假定γe1=γe2=γ,γr=0.01γ和κa=κb=κ.其他參數選擇為t0=0.14tc,T=0.19tc,g0=10Ω0和Δ=2g0.

在圖5(a)中給出了三粒子單重態的保真度隨演化時間和退相干因素(包括超級原子的自發輻射和腔內光子的衰減)的變化圖像, 其中已經假定了κ=γ.在圖5(b)中給出了保真度隨γ/g0和κ/g0的變化圖像.從圖5可以看出, 本方案能夠在很短的時間內就達到一個理想的保真度, 同時三粒子單重態的保真度隨著腔衰減率和原子自發輻射率的增加而緩慢減小, 當κ=γ=0.05g0時, 單重態的保真度仍然可以達到92%.

圖5 (a) 三粒子單重態的保真度隨相互作用時間 g 0tc 和原子自發輻射 γ /g0 的變化; (b) 三粒子單重態的保真度隨腔 衰 減 κ /g0 和 原 子 自 發 輻 射 γ /g0 的 變 化Fig.5.(a) Fidelity of the singlet state versus the interaction time g 0tc and the atomic spontaneous emission γ /g0 ;(b) fidelity of the singlet state versus the cavity decayκ/g0 and the atomic spontaneous emission γ /g0.

在實際的實驗中, 為了使超冷原子系綜形成里德伯超級原子, 可以將87Rb 原子放在超高真空環境下的磁光阱中, 通過多次冷卻, 原子云可包含25000個原子, 最終溫度可以達到6 μK[39].考慮到實驗中的參數[50-53]: 磁光阱中的原子數為10000,|e〉態的自發輻射率為γe1=γe2～2π×2.62 MHz,里德伯態|r〉的自發輻射率為γr～2π×1 kHz, 腔模的衰減率為κ～2π×3.5 MHz, 耦合強度g0～2π×750MHz.在數值模擬中代入上述參數, 最終獲得三粒子單重態的保真度仍然可以達到99%.

4 結 論

本文利用量子Zeno動力學和絕熱捷徑的方法制備了三個里德伯超級原子之間的單重態.與單原子情況相比, 利用超級原子進行量子信息處理對實驗的要求比較低且操作簡單; 與量子Zeno動力學方法相比, 本方案不需要精確控制演化時間; 與絕熱近似方法相比, 本方案大大縮短了演化時間.結合量子Zeno動力學和絕熱捷徑的方法, 本方案不僅能夠簡單快速地制備三粒子單重態, 而且該理論方案也可用于制備其他糾纏態以及多體糾纏態.希望在今后的實驗上實現量子信息處理中, 該方案能夠起到一定的作用.