立足本質教“度量”

劉艷

摘要：度量的本質是對度量對象指定一個合適的數，且指定的方法必須滿足“正規性”“有限可加性”和“運動不變性”。以小學階段長度、面積、體積相關教學為例，探討如何在度量對象、度量單位及度量方法的教學中凸顯度量的本質，體現度量教學的價值。

關鍵詞：度量;度量對象;度量單位;度量方法

一、度量的本質

史寧中教授認為，度量是人創造出來的數學語言，是人認識、理解和表達現實世界的工具。度量主要包括兩類：一類是通過抽象得到的，是人思維的結果;另一類是借助工具得到的，是人實踐的結果。小學數學主要涉及借助工具得到的度量，包括長度、面積、體積等。這些內容在小學數學中屬于“圖形與幾何”領域中的“測量”范疇。

長度、面積、體積雖然維度不同，但作為測量過程，它們的本質是一樣的，都遵循度量公理（具體定義見圖1）。換句話說，度量公理可以化作長度公理、面積公理或體積公理，取決于M是直線、平面還是三維空間。我們可以發現，度量的本質是要對度量對象指定一個合適的數，即給度量對象賦值（度量對象包含幾個標準度量單位），而且指定的方法必須滿足正規性、有限可加性和運動不變性。其中，根據運動不變性可以推出全等形等積，二者等價。

由此我們可以得出，小學階段長度、面積、體積教學的關鍵在于“數”出度量單位的個數，在數的過程中體會有限可加性和運動不變性。

二、關于度量的教學實踐

對于長度、面積、體積等內容，教材通常按照“度量對象—度量單位—度量方法”的順序編排，如“認識體積—認識體積單位—立體圖形體積計算”。無論度量對象，還是度量單位，抑或度量方法，在教學時都應立足并凸顯度量的本質。

（一）度量對象的教學

長度、面積、體積都是度量對象，對這三個概念的理解學生通常有與生俱來的直覺。如對于體積，一個兩三歲的幼兒就已經能辨別兩個蘋果的大小。“物體所占空間的大小叫作物體的體積”，這是蘇教版小學數學教材給出的體積的定義，但這只能算是一種解釋，并不是嚴格的定義。實際上，“空間”比“體積”更難懂，更不容易描述清楚。體積就是對物體大小的度量，學生憑直覺就能基本理解。

面積同樣如此。當物體上一個平的面或一個平面圖形呈現在學生眼前時，他們一般首先感知到的就是平面的大小。學生對面和面積的認識有比較豐富的生活經驗，如每天接觸桌面、地面、墻面等，知道黑板面比桌面大，等等。但他們對面積的認識還停留在零散、模糊、感性的階段。為了讓學生在已有認知基礎上深入理解“面積”概念，首先要幫助他們厘清什么是面積。小學階段，我們通常引導學生直觀地認識到“物體表面的大小或封閉的平面圖形的大小叫作它們的面積”。中學關于“面積”概念是這樣論述的——對應于一個簡單多邊形且具有下列性質的正數叫作這個簡單多邊形的面積：（1）與合同的（即全等的）多邊形對應的是相等的正數;（2）兩個多邊形之和對應的正數等于這兩個多邊形對應的正數的和。這樣的面積概念界定比較明顯地體現了全等形等積和可加性等特征。如果教學時僅僅組織學生對物體表面大小和平面圖形大小進行一些經驗性的討論，顯然不利于“面積”概念的形成。對此，我們可以引導學生從度量的本質入手，開展數學活動，認識、體會面積的特點，把非正式的經驗發展為形式化的數學知識。具體教學如下：

師（出示圖2）下面是從同一幅中國地圖上描出的四個省的圖形。比一比：哪個省的面積最大，哪個省的面積最小？

（學生比較、交流。）

師 對于一些面積相差比較明顯的圖形，通過觀察就能看出哪個圖形面積大、哪個圖形面積小。（展示紙片，如圖3）這兒還有三個圖形，你能直接看出它們的面積大小嗎？選擇2個圖形，和同伴說說你是怎樣比較的。

生（展示方法，如圖4）可以用重疊的方法比較1號圖形和2號圖形。

師 我們用重疊的方法比出了1號圖形和2號圖形的面積大小。（將兩個紙片重疊，如圖5）現在把2號圖形和3號圖形重疊在一起，哪個大呢？

生 無法直接看出大小，可以剪拼后繼續比較。

（學生剪拼，如圖6所示，得到結論：3號圖形的面積大于2號圖形的面積。）

師 如果無法剪拼怎么辦？

生 也可以借助一些工具去量。

（學生用教師提供的若干三角形、正方形、圓形紙片開展測量活動。）

師 你們選用的是哪種圖形？

生 正方形。

師 為什么都選擇正方形？

生 正方形紙片可以無重疊、無間隙地鋪滿整個圖形。

生 鋪滿后類似方格紙，我們可以數一數，2號圖形占35格，3號圖形占36格。

上述教學中，教師通過設計有層次的比較活動，幫助學生逐步經歷“觀察—重疊—剪拼—數方格”的比較方法，在比較過程中進一步體會面積的特征，凸顯度量的本質。比較面積大小常用的方法是觀察和重疊，而當重疊無法直接得出比較的結果時，學生根據已有經驗自然地提出用剪拼的方法繼續比較。剪拼主要依據運動不變性——將圖形一部分剪下來，通過旋轉平移到其他地方，其面積大小不變。最后，教師引導學生用數方格的方法進行比較。數方格的方法則主要體現有限可加性——這個圖形由多少個正方形拼成，它的面積就等于多少個正方形面積的和，最后的結果35格和36格就是為度量對象賦值?？此剖敲娣e比較方法的教學，其實處處體現度量的本質，讓學生于無形中自然地體會與感受。

（二）度量單位的教學

度量對象的教學離不開比較，度量單位的教學也是如此。為了比較兩個事物在某方面的差異，往往需要借助某個量來比較，從而對該差異進行量化。長度單位、面積單位、體積單位等度量單位就源于比較的需要，是基于問題解決的產物，其發展經歷了漫長的過程。以長度單位為例，起初，單位是多樣化的，不同地域、不同人群有著不同的標準。如，《孔子家語》中記載“布手知尺，布指知寸”，規定拇指同中指一叉相距為一尺，中指節上一橫紋，為一寸;西方則采用“英尺”作為度量單位，將16個成年男子左腳長度的平均值定為1英尺的單位長度。由于這樣不便于傳播和交流，因此，目前國際上統一規定：使用長度單位“米”，其長度為光在真空中1299792458秒所經過的距離。可見，度量單位的發展經歷了從多元走向統一、從粗略走向精細的過程。度量的基本原理就是計算所要度量的對象中包含多少個度量單位。因此，度量首先要確定度量單位，規定度量單位的量數為1，度量對象與度量單位的比值就是度量對象的量數，是一個正實數。

度量單位雖然可以說是一個相對固化的標準，但對小學生來說，它是動態的、可以演化的。如何幫助學生感受“度量單位的產生是人們根據需要人為制定的”，理解“度量就是規定度量單位的量數為1，找到度量對象與度量單位的比值”這一過程呢？《面積單位》一課導入環節，立足度量本質，創設合適的情境，讓學生自覺深入地體會。具體教學如下：

師 （出示圖7）比較兩個圖形的面積，你有什么發現？

生 正方形的面積比長方形的小。

師 究竟小多少呢？大家可以用透明方格紙來研究一下。

（學生用學具探究后交流。）

師 通過交流我們發現，出現了不同的結果：（出示圖8）有的人說長方形比正方形大5格，（出示圖9，為便于觀察，已等比放大）有的說大20格，（出示圖10，為便于觀察，已等比放大）還有的說大45格。為什么會出現這樣的情況呢？

生 所用的正方形大小不同。

師 用不同的正方形去量，得到的數就不同，但它們之間有沒有相同的地方？

（學生交流后明確：無論用哪種正方形去量，長方形的面積都是正方形的6倍。）

師 雖然我們最后得到的格數不一樣，但“長方形的面積是正方形面積的6倍”這一關系是不變的。如果我們打電話告訴別人“長方形的面積是正方形面積的6倍”，別人能知道你說的長方形和正方形到底有多大嗎？

生 不能。就像我們之前學習的長度單位“米”“ 厘米”一樣，需要有一個統一的標準，即面積單位。

（教師簡要介紹面積單位產生的歷史。）

導入環節，教師首先呈現一個比較任務：具體描述兩個圖形面積大小的比較結果。學生在完成任務的過程中認識到，用大小不同的方格去度量，得到的結果也不同，因此產生建立標準的需要，感受到統一度量單位的必要性，這也正符合度量單位產生的歷史原因：基于解決問題和交流的需要。接著，教師引導學生觀察發現比較結果不同中的相同點，得到“兩個圖形面積的倍數關系是不變的”。保羅·洛克哈特在《度量》一書中這樣說道：“什么是度量？其實就是比較，比較我們正在度量的物體和用來度量的物體。我們所做的任何度量，都必然取決于我們所選定的計量單位。我們可以選擇任何我們想要的計量單位，不過，需要記住一點，其實我們真正在度量的只是一個比例?！碑敹攘繂挝淮_定了，也就是量數為1的標準確定了，度量的結果也隨之確定下來。最后，介紹面積單位發展史，讓學生體會度量單位并不是憑空產生的，而是人們根據需要確立的，并且隨著時間的推移不斷地演變，最后趨于統一。今后隨著科技的進步，也許還會出現新的需要，產生新的度量單位。

（三）度量方法的教學

長度、面積、體積度量的基礎都是直線段的長度，而直線段長度的基礎是兩點間的直線距離。也就是說，長度、面積、體積度量的基礎是兩點間的直線距離，即二維面積、三維體積的度量最終都回歸到線性度量。長方形的面積只需要測量長和寬，長方體的體積只需要測量長、寬、高，就都能通過計算得出。正因為如此，教學中容易出現側重于教學生如何“求”面積或體積而不是“測量”面積或體積的現象。度量的本質是選用合適的單位描述待測的量。度量面積當然應該選用面積單位，同樣，度量體積應選用體積單位。用長乘寬就可以得到長方形的面積，用長乘寬乘高就可以得到長方體的體積，使得用度量單位去度量的過程看似不那么重要。這恰恰違背了度量的本質。所以教學中要拉長用度量單位去和度量對象進行比較的過程，放慢腳步，引導學生逐步感悟和理解二維、三維的度量可以回歸到線性度量的道理。如“長方形的面積計算”的教學片段如下：

師我們已經知道，圖形中包含多少個面積單位，它的面積就是多少。（出示圖11）你能估計一下這個長方形的面積嗎？

（學生估計，出現多種結果。）

師大家估的結果各不相同，你們是怎樣估的？

（學生交流估的方法，最終明確：要看長方形中包含多少個1平方厘米的面積單位。）

師為了方便大家估計，（出示圖12）我們把1平方厘米的小正方形擺在長方形中，現在再來估一估長方形的面積是多少平方厘米。

（學生繼續估計，仍然出現不同的結果。教師繼續出示圖13，學生再估計，還是出現不同的結果。）

師如果要知道這個長方形的面積究竟是多少，先想一想，還要知道什么，再動手擺一擺。

（學生探究。）

師（出示圖14、圖15）比一比，這兩種擺法有什么相同的地方？

生都能清楚地看出每排擺7個，擺3排，一共有21個面積單位，所以面積是21平方厘米。

師（出示圖16、圖17）像這樣，用1平方厘米的小正方形擺在2個長方形中，它們的面積分別是多少？

（學生交流，明確：只要知道每排擺幾個，擺幾排，就可以求出一共擺了多少個1平方厘米的正方形，長方形的面積就是多少平方厘米。）

師現在，我們已經知道測量面積需要用到1平方厘米的小正方形，但這個工具的獲得稍顯麻煩，我們身邊常用的測量工具是什么？

生直尺。

師直尺能幫助我們得到長方形的面積嗎？（出示下頁圖18）看圖想一想，你知道每排擺幾個小正方形嗎？擺了幾排？怎么知道的？

生長4厘米表示一排擺4個小正方形，寬2厘米表示擺2排，一共擺4×2=8個小正方形，面積是8平方厘米。

師（出示圖19）看圖想一想：怎么擺小正方形？面積是多少？

（學生交流。）

師為什么測出長和寬就能知道面積？

生長表示每排擺幾個小正方形，寬表示擺幾排，長乘寬就是算長方形里包含的小正方形的個數。知道小正方形的個數，就知道了面積。

上述教學中，教師始終圍繞度量面積的本質，設計了估一估、擺一擺、比一比、練一練等學習活動，讓學生多次經歷用面積單位測量長方形面積的過程，體會長方形的面積就是看包含多少個面積單位。同樣，在教學平行四邊形、三角形等多邊形的面積計算及圓的面積計算時，仍然要先用面積單位去度量，體積的教學亦是如此，以突出用度量單位與度量對象做比較的本質。其中，在過渡到線性度量即量長和寬就能量出面積后，教師也緊緊抓住“為什么測出長和寬就能知道長方形的面積”這個核心問題組織學生討論，使學生始終把握度量的本質——長乘寬就是求一共擺多少個面積單位，所以得到的就是長方形的面積。需要指出的是，體會長乘寬得到長方形的面積不是一次完成的活動，今后遇到長方形的長或寬是小數時還需要引導學生再次進行體會，深化理解。

參考文獻：

[1] 金成梁.小學數學疑難問題研究[M].南京：江蘇教育出版社，2010.

[2] 史寧中.基本概念與運算法則——小學數學教學中的核心問題[M].北京：高等教育出版社，2013.

[3] 張奠宙，鞏子坤，任敏龍，等.小學數學教材中的大道理——核心概念的理解與呈現[M].上海：上海教育出版社，2018.

[4] 吳正憲，劉勁苓，劉克臣.小學數學教學基本概念解讀[M].北京：教育科學出版社，2014.

[5] 張奠宙，孔凡哲，黃建弘，等.小學數學研究[M].北京：高等教育出版社，2019.

[6] 娜仁格日樂，史寧中.度量單位的本質及小學數學教學[J].數學教育學報，2018（6）.

[7] 章飛.數學概念的分類及度量性概念的教學思考[J].數學教育學報，2010（5）.