跡-行列式平面中的分岔分析及實例

曹南斌張亞飛劉霞

(河北地質大學 數理教學部, 河北 石家莊 050031)

考慮平面線性系統

若記A的2個特征值為λ1、λ2, 跡為T=trA, 行列式為D=detA, 則由T=λ1+λ2,D=λ1·λ2,若已知T和D的值則完全可確定λ1、λ2的符號, 從而也就確定了平面系統(1)的幾何特征.因此通過跡-行列式能夠直觀地將系統(1)的相圖進行分類, 這在文獻[1-3]中已經有過部分分析.

當系統(1)為雙曲系統時,Hirsch等[1]對鞍點、(螺線)源點、(螺線)匯點已經有了詳細的討論.微分動力系統理論研究的最新進展, 特別是穩定性猜想的解決表明人們對于雙曲系統的認識已趨于完善[4].當系統(1)為非雙曲系統時, 即λ1、λ2中至少有1個實部為零時, 在實際中應用更為廣泛, 如壓電復合材料層合梁的動力學方程、計算機病毒傳播模型等[5-6].因此對非雙曲系統的研究愈來愈引人注目.例如,Hirsch等[1]討論了λ1、λ2為純虛數的情形；Lakshmanan等[2-3]詳細討論了當λ1、λ2中有1個為零或2個同時為零時的情形.本文在文獻[1-3]的基礎上給出了通過跡-行列式對系統(1)的完整分類,見圖1.

圖1 跡-行列式平面[1]Fig.1 Trace-determinant plane

在圖1中, 每一個坐標為(T,D)的點對應的是無窮多個不同的矩陣, 但這些矩陣有相同的跡和行列式, 從而有相同的特征值, 因此平面圖上的每一個點就確定了以該矩陣為系數矩陣的系統解的幾何特征.

進一步觀察跡-行列式平面圖可以發現系統(1)會發生分岔現象.當系統(1)含有1個參數時, 可以看作是1個單參數族, 這時系統(1)隨著參數的變化對應于平面上的1條曲線, 當這條曲線穿過T軸、D軸的正半軸或者拋物線T2-4D=0時, 線性系統的相圖就會產生分岔, 相應的幾何形狀將有很大變化.

1 基本概念

定義1[1]方程的常值解稱為該方程的平衡解或平衡點.

定義2[1]若特征值λ1、λ2都有非零實部, 此時系統(1)被稱為雙曲系統；否則, 為非雙曲系統.

定義3[1]若特征值λ1、λ2為實數, 且滿足λ1＜0＜λ2時, 系統(1)的平衡點為鞍點；滿足λ1＜λ2＜0時,系統(1)的平衡點為匯點；滿足0＜λ1＜λ2時, 系統(1)的平衡點為源點.若特征值λ1、λ2為復數, 實部為0時, 系統(1)的平衡點為中心；實部為負數時, 系統(1)的平衡點為螺線匯點；實部為正數時, 系統(1)的平衡點為螺線源點.

定義4[7]

分岔是指系統的某一參數達到臨界值時系統的行為發生突然變化的現象.

定義5[8]電阻在任一時刻的電壓U與電流I的關系, 可用U-I平面上的一條曲線確定, 這條曲線稱為電阻的特性曲線.特性曲線為通過坐標原點直線的電阻, 稱為線性電阻；否則稱為非線性電阻.其中, 電阻值R＞0的線性電阻稱為線性正電阻(或無源電阻)；電阻值R＜0 的線性電阻稱為線性負電阻(或有源電阻).

定義6[9]超導體材料指在某一溫度下, 電阻突然降為0的材料.

2 實例分析

2.1 RLC電路中的Liénard系統

電子電路中常見的RLC電路, 是由1個電阻、1個電感、1個電容這3個支路相互連接構成的, 有電流通過每個支路, 如圖2所示.下面重點討論來自RLC電路的一類重要系統,著名的Liénard系統[10-12], 即

這里f可以是線性的, 也可以是非線性的.f的圖像稱為電阻的特性曲線.考慮f(x)=kx的線形情形.其中電阻特性f(x)依賴于參數k,k與電阻的溫度有關.函數f滿足條件f∶R→R連續且f(0)=0[13],則系統(2)可以轉化為以下矩陣形式:

圖2 RLC電路[1]Fig.2 RLC circuit

將k看作系統(3)的1個參數, 則隨著k的取值, 可根據T2-4D的符號分為以下3種情形討論:

1) 若T2-4D＞0, 即k＜-2或k＞2, 這時系統(3)有2個直線解.當k＜-2時, 原點為實的源點, 見圖3a；當k＞2時, 原點為實的匯點, 見圖3g；

圖3 系統(3)的相圖Fig.3 Phase portraits of system(3)

2) 若T2-4D=0, 即k=-2或k=2, 這時系統(3)只有一個直線解.當k=-2時, 原點是一個退化的源點, 見圖3b；當k=2時, 原點是一個退化的匯點, 見圖3f；

3) 若T2-4D＜0, 即-2＜k＜2.當-2＜k＜0時, 原點為螺線源點, 見圖3c；當k=0時, 原點為中心, 見圖3d；當0＜k＜2時, 原點為螺線匯點, 見圖3e.

通過觀察系統(3)的相圖, 可見系統在k=-2時經歷了一個分岔, 系統的平衡點從一個實的源點變化成退化的源點又變化成螺線源點；在k=0時經歷的分岔,使系統的平衡點從一個螺線源點轉化成中心又轉化成螺線匯點；在k=2時經歷的分岔,使平衡點從一個螺線匯點變化成退化的匯點又變化成實的匯點,見圖3.

回到RLC電路本身,很容易描述電阻的物理行為:無源電阻的特性曲線落入第一、三象限；有源電阻的特性曲線落入第二、四象限[8].由上面的討論可知,當k＞0時,電阻為無源電阻,系統所有解都趨向于原點,這就意味著隨著時間的增加,電路中的電流和電壓逐漸減弱直到變為零,電路需要消耗能量；當k=0時,電阻為超導體材料,系統所有解都在以原點為中心的圓周上,此時電路不損失電能也不產生電能；當k＜0時,此時電阻為有源電阻,系統所有解都遠離原點,這就意味著隨著時間的增加,電路中的電流和電壓逐漸增強,此時電路不但不消耗能量,反而向外界輸出能量.

2.2 調和振子的振動實驗

如圖4所示,在一個粗糙平面上,彈簧的左端固定在垂直的墻面上,右端與一個質量為m的小球相連.起始時,通過小球壓縮彈簧到A位置,O點是彈簧保持原長時小球的位置,B點是釋放小球后小球向右運動到的最遠位置,C點是小球從B點彈回向左運動到的最遠位置.用x(t)代表彈簧的壓縮量或伸長量,于是x′(t)就是小球運動的速度,x″(t)為加速度.釋放小球后研究小球在水平方向上的受力和運動情況,可知小球受到一個正比于x(t)的彈性回復力與一個正比于x′(t)的摩擦力.因此,小球受到的合力可表示為F=px+qx′.根據牛頓第二定律,該調和振子實驗的微分方程可以表示為

為了簡單起見,下令m=1,記x′(t)為v(t),則方程(4)可以改寫為以下矩陣形式:

圖4 一個調和振子的振動實驗Fig.4 Oscillation test of a harmonic oscillator

在本實驗中規定向右為正方向,彈簧的彈性系數為k(k＞0),平面的阻尼系數為b(b＞0).

在AO之間,小球受到向右的彈力kx和向左的摩擦力-bv,因此合力F=kx-bv(p=k＞0,q=-b),系統(5)的平衡點(0,0)為鞍點,相圖見圖5a；小球運動至O點時,此時小球只受到向左的摩擦力-bv,因此合力F=-bv(p=0,q=-b),此時系統(5)的系數矩陣有一個零特征值和一個負的實特征值,見圖5b；小球從O點繼續運動至B點,受到的合力F=-kx-bv(p=-k＜0,q=-b),此時系統的平衡點(0,0)為匯點,見圖5c.

由上面的分析可見,小球從A到B的運動過程中,q值固定不變,p隨著小球的運動從正值變為負值.如果將p看作一個參數,則系統(5)在p=0時經歷了一個分岔,原點從一個鞍點變成匯點,其穩定性發生了根本性的變化,見圖5.從調和振子本身來說,這意味著小球在該運動過程中在O點處發生了“質”的改變.

圖5 q=-5時系統(5)的相圖Fig.5 Portraits of system(5)when q=-5

圖6 當q=5時系統(5)的相圖Fig.6 Phase portraits of system(5)when q=5

類似于前面的分析,小球從B點運動至C點的過程中,q不變,隨著p的變化,系統在p=0時經歷了一個分岔,(0,0)從一個源點變成一個鞍點,見圖6.之所以會發生以上2種分岔,這在物理上也不難解釋.通過O點時小球受到的其中一個主要外力——彈力方向發生了改變,從而運動規律也就有所變化.特別地,在O點時彈力為零,因此是該分岔的臨界狀態.

3 結論

本文主要給出了根據跡-行列式對平面線性系統的完整分類,并且以電路系統中的Liénard系統和調和振子為例,討論了跡-行列式平面圖中所有出現的分岔.