任意多次散射機(jī)理的GTD散射中心模型頻率依賴因子表達(dá)

閆華 張 磊 陸金文 邢笑宇 李 勝 殷紅成

(電磁散射重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 北京 100854)

1 引言

當(dāng)雷達(dá)目標(biāo)尺寸遠(yuǎn)大于電磁波波長(zhǎng)時(shí)，其總散射響應(yīng)可看成若干局部等效散射源響應(yīng)的相干疊加，這些等效散射源稱為目標(biāo)的散射中心[1,2]。為了表達(dá)目標(biāo)散射中心，目前已發(fā)展了一系列參數(shù)化的形式[3–13]，它們具有簡(jiǎn)潔、稀疏、機(jī)理相關(guān)等優(yōu)點(diǎn)，在雷達(dá)目標(biāo)的數(shù)據(jù)壓縮[14,15]、信號(hào)仿真[16]、超分辨成像[17]、特征控制[18]和目標(biāo)識(shí)別[15,19,20]等領(lǐng)域已獲得廣泛應(yīng)用。

散射中心參數(shù)化模型試圖描述散射中心的頻率、視向角、極化等參數(shù)的依賴行為。最簡(jiǎn)單的散射中心模型為理想點(diǎn)散射中心模型，它將散射中心的幅度與位置視為常數(shù)，即不隨頻率和視向角變化。1987年，Hurst等人[3]提出了散射中心的Prony模型，將散射中心的幅度描述成頻率的衰減指數(shù)函數(shù)的形式。但當(dāng)雷達(dá)帶寬較大時(shí)，此形式將偏離實(shí)際散射中心的頻率依賴行為。1991年，Carrière等人[4]總結(jié)了球、柱、直邊、曲邊、三面角、二面角等典型體的近似散射解形式以及它們的頻率依賴關(guān)系，提出了基于幾何繞射理論(Geometrical Theory of Diffraction,GTD)的模型，指出散射中心幅度對(duì)頻率的依賴應(yīng)該滿足冪函數(shù)關(guān)系，而不是衰減指數(shù)函數(shù)關(guān)系。1995年，Potter等人[5]基于物理光學(xué)(Physical Optics,PO)和GTD理論分析了若干主要散射機(jī)理，最終導(dǎo)出了GTD模型，并通過(guò)與傳統(tǒng)參數(shù)化模型進(jìn)行對(duì)比分析，指出GTD模型在分辨能力和統(tǒng)計(jì)性能上具有的優(yōu)越性。隨后人們?cè)贕TD模型的基礎(chǔ)上發(fā)展了若干新的參數(shù)化模型，如極化GTD模型[6–8]、多項(xiàng)式GTD模型[9]、屬性散射中心(Attributed Scattering Center,ASC)模型[10]、改進(jìn)的ASC模型[11–13]等。它們均繼承了GTD模型的頻率依賴關(guān)系，并進(jìn)一步擴(kuò)展了對(duì)角度依賴或極化依賴的表達(dá)。因此，GTD模型在參數(shù)化模型發(fā)展過(guò)程中具有十分重要的意義，其有效性在實(shí)際應(yīng)用中也得到了充分的驗(yàn)證。

GTD模型有3個(gè)方面的優(yōu)點(diǎn)。(1)GTD模型保持了傳統(tǒng)理想點(diǎn)模型和Prony模型的簡(jiǎn)潔性與稀疏性，因而參數(shù)反演相對(duì)容易，且可實(shí)現(xiàn)超分辨性能[5]；(2)模型中頻率的冪函數(shù)指數(shù)也稱為頻率依賴因子，只能取若干離散的半整數(shù)值，而不同取值對(duì)應(yīng)著不同的散射機(jī)理類型，因此具有十分明確的物理意義，作為識(shí)別特征可顯著提升目標(biāo)識(shí)別正確率[20]，而且使基于該模型的估計(jì)算法具有更優(yōu)的統(tǒng)計(jì)性能[5]；(3)GTD模型能夠反映散射中心在較大帶寬范圍內(nèi)的頻率依賴行為，可實(shí)現(xiàn)目標(biāo)散射數(shù)據(jù)的高度壓縮與頻率外推[15]。

目前人們對(duì)GTD模型頻率依賴因子的物理內(nèi)涵的理解仍然不夠深入，尚未在頻率依賴因子與散射機(jī)理/結(jié)構(gòu)類型之間建立起明確的數(shù)學(xué)關(guān)系。Potter等人[5]在其文章中只是以表格形式列舉了若干頻率依賴因子取值與散射機(jī)理類型的關(guān)系(見表1)，列舉的散射機(jī)理類型有限，尤其是關(guān)于多次散射機(jī)理只給出了二面角、三面角兩種情形，遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能涵蓋實(shí)際復(fù)雜目標(biāo)的機(jī)理類型。盡管本文作者在前期工作中[21,22]研究了單站情形下包含鏡面反射與邊緣繞射的15種二次散射機(jī)理，給出了更多機(jī)理類型的頻率依賴因子取值，但對(duì)于更為一般的任意多次散射機(jī)理，其頻率依賴因子應(yīng)該如何取值，或者是否存在明確的數(shù)學(xué)表達(dá)，目前尚無(wú)相關(guān)工作予以討論。

表1 GTD模型頻率依賴因子取值及其對(duì)應(yīng)的散射機(jī)理類型Tab.1 The values of frequency-dependent factor of GTD model and corresponding mechanisms

近年來(lái)，出現(xiàn)了一種新的參數(shù)化建模技術(shù)—正向參數(shù)化建模方法[23–26]。與傳統(tǒng)的逆向方法不同，正向方法不采用參數(shù)估計(jì)或反演方式，而是基于電磁散射機(jī)理的先驗(yàn)知識(shí)與電磁建模技術(shù)來(lái)正向推算模型參數(shù)。例如，He等人[23]提出了基于若干典型結(jié)構(gòu)的頻率依賴因子正向推算方法；Li等人[24]基于表面電流分布確定散射中心模型參數(shù)。盡管如此，由于缺乏明確且通用的多次散射機(jī)理頻率依賴因子數(shù)學(xué)表達(dá)，這些方法只能解決若干特殊典型結(jié)構(gòu)頻率依賴因子的正向推算，難以推廣至任意多次散射機(jī)理或結(jié)構(gòu)情形，有時(shí)甚至需要通過(guò)人工輔助來(lái)進(jìn)行判斷，這大大限制了正向建模方法的適用范圍和工程實(shí)用性。因此，建立任意多次散射機(jī)理的散射中心頻率依賴因子表達(dá)對(duì)正向建模技術(shù)具有十分重要的意義。

針對(duì)上述問(wèn)題，本文將從射線理論出發(fā)，建立單站情形下任意多次散射機(jī)理的目標(biāo)散射中心頻率依賴因子的明確數(shù)學(xué)表達(dá)。本文后續(xù)內(nèi)容安排如下：(1)給出非焦散情形下單次反射/繞射機(jī)理的GO/GTD模型及其頻率依賴關(guān)系；(2)進(jìn)一步將其推廣至任意多次反射/繞射機(jī)理情形，建立非焦散情形下多次反射/繞射機(jī)理的頻率依賴關(guān)系；(3)通過(guò)多次散射的幾何光學(xué)/幾何繞射理論-物理繞射理論(GO/GTD-PTD)混合方法與駐相法(StationaryPhase Method,SPM)，推導(dǎo)任意多次散射機(jī)理形成散射中心的頻率依賴公式；(4)通過(guò)一系列典型組合體目標(biāo)的仿真實(shí)驗(yàn)和微波暗室測(cè)量試驗(yàn)獲得的目標(biāo)散射數(shù)據(jù)，對(duì)本文提出的頻率依賴因子數(shù)學(xué)表達(dá)式進(jìn)行驗(yàn)證。

2 任意多次散射機(jī)理形成散射中心的頻率依賴因子計(jì)算公式

根據(jù)射線理論，電磁波可以通過(guò)一簇幾何射線管來(lái)描述，而電磁波的傳播與散射則看成是各個(gè)射線管在空間傳播以及在物體表面發(fā)生反射、透射、繞射的結(jié)果。射線的傳播、反射、透射可通過(guò)GO來(lái)計(jì)算[27]，射線的繞射可通過(guò)GTD[1,28]或一致繞射理論(Uniform Geometrical Theory of Diffraction,UTD)[29]來(lái)計(jì)算。假設(shè)本文考慮的目標(biāo)為表面分片光滑的理想電導(dǎo)體(Perfect Electric Conductor,PEC)且電尺寸足夠大，電磁波在目標(biāo)表面的透射和曲面繞射(即爬行波)可忽略不計(jì)，則考慮的主要單次散射機(jī)理包括鏡面反射、邊緣繞射、尖角/頂繞射。對(duì)復(fù)雜目標(biāo)來(lái)說(shuō)，還要考慮多次散射機(jī)理，即電磁波或射線經(jīng)歷多次反射或繞射的傳輸過(guò)程。多次散射射線場(chǎng)可綜合GO和GTD/UTD進(jìn)行計(jì)算。需要注意的是，GO,GTD,UTD等射線理論存在焦散點(diǎn)處場(chǎng)值發(fā)散的問(wèn)題。PO[2,28,30]和物理繞射理論(Physical Theory of Diffraction,PTD)[28,31]能有效解決射線理論中焦散區(qū)場(chǎng)值發(fā)散的問(wèn)題。為了解決多次散射射線在焦散區(qū)場(chǎng)值發(fā)散的問(wèn)題，有學(xué)者提出了混合GO-PO方法[32]，即對(duì)于在目標(biāo)表面彈跳總次數(shù)為N的射線管，前N–1次反射采用GO方法計(jì)算，獲得第N次反射處的入射場(chǎng)，最后一次反射以及傳播到場(chǎng)點(diǎn)的計(jì)算則采用PO方法。本文將其拓展至包含繞射的情形，即前N–1次反射/繞射采用GO/GTD方法計(jì)算，最后一次反射/繞射則采用PTD方法計(jì)算，稱為GO/GTD-PTD方法。其中，目標(biāo)的PTD解由PO積分加上邊緣修正的等效邊緣電流(Equivalent Edge Current,EEC)[31]積分來(lái)計(jì)算。

目標(biāo)的每一種單次或多次機(jī)理成分將形成特定的散射中心，其表達(dá)式可采用駐相法(SPM)[27,31,32]求解PO/PTD積分來(lái)獲得。下面將采用GO/GTDPTD-SPM方法來(lái)考察不同散射機(jī)理形成的散射中心的頻率依賴性。本文只考慮遠(yuǎn)場(chǎng)情形，即發(fā)射和接收離目標(biāo)足夠遠(yuǎn)(兩個(gè)距離均滿足?d2/λ,d為目標(biāo)尺寸，λ為波長(zhǎng))。

2.1 非焦散情形下單次反射/繞射機(jī)理的GO/GTD模型及其頻率依賴關(guān)系

假設(shè)一簇射線管入射到一個(gè)分片光滑曲面目標(biāo)的表面之上，可能被曲面反射，或被邊緣繞射，或被尖頂/角繞射，分別對(duì)應(yīng)著3種不同的散射機(jī)理：鏡面反射機(jī)理、邊緣繞射機(jī)理和尖頂/角繞射機(jī)理。根據(jù)GO和GTD理論[1,27,28],3種散射機(jī)理形成的射線場(chǎng)具有不同的頻率依賴性：鏡面反射射線場(chǎng)的頻率依賴關(guān)系為k0；邊緣繞射射線場(chǎng)的頻率依賴關(guān)系為k?1/2；尖頂/角繞射射線場(chǎng)的頻率依賴關(guān)系為k?1。

需要注意的是，在射線場(chǎng)的焦散區(qū)，由于GO和GTD理論失效，上述結(jié)論不再成立。

2.2 非焦散情形下多次反射/繞射機(jī)理的頻率依賴關(guān)系

現(xiàn)在考慮多次散射機(jī)理。設(shè)一根射線在目標(biāo)表面經(jīng)歷了N次彈跳。顯然，最終的出射射線場(chǎng)為每次彈跳散射變換函數(shù)的連乘。因此出射射線場(chǎng)的頻率依賴函數(shù)亦為冪函數(shù)形式，且其指數(shù)為每次彈跳散射頻率依賴因子的總和，即

其中，αi為每次彈跳散射變換頻率依賴因子。由前面的討論，其取值如下：

若定義di為射線的第i次 被反射或繞射的幾何元素的維數(shù)，即

則對(duì)比式(2)和式(3)，顯然有αi=(di ?2)/2。于是，可以將經(jīng)歷了N次彈跳的射線場(chǎng)的頻率依賴式(1)寫為

與單次彈射射線場(chǎng)相同，式(4)給出的多次射線場(chǎng)的頻率依賴性只在非焦散區(qū)有效。

2.3 多次散射的GO/GTD-PTD積分公式

為了獲得射線場(chǎng)在焦散區(qū)的頻率依賴關(guān)系，采用GO/GTD-PTD混合方法，即將PTD應(yīng)用于由GO/GTD得到的在目標(biāo)表面發(fā)生第N次彈跳之前的射線場(chǎng)(即經(jīng)過(guò)N–1次彈跳的射線場(chǎng))。

目標(biāo)的總散射場(chǎng)可通過(guò)對(duì)不同彈跳次數(shù)射線場(chǎng)在目標(biāo)表面激發(fā)電流的遠(yuǎn)場(chǎng)積分進(jìn)行求和而得到[27,32]，其中激發(fā)的電流包括在目標(biāo)表面激發(fā)的面電流和在目標(biāo)表面邊緣上激發(fā)的線電流，其形式如下

2.4 SPM方法與任意多次散射機(jī)理形成散射中心的頻率依賴公式

利用SPM近似計(jì)算積分式(6)的解析形式，進(jìn)而獲得目標(biāo)任意多次散射機(jī)理形成散射中心的頻率依賴性。設(shè)目標(biāo)表面照亮面ΓN和邊緣LN分別表示成下面的參數(shù)方程形式

(1)在子區(qū)域內(nèi)，恒滿足rank(Q)=2

此時(shí)，顯然有det(Q)≠0，由GO理論，散射場(chǎng)無(wú)焦散。根據(jù)SPM[30]，當(dāng)滿足det(Q)≠0時(shí)，快速振蕩的面積分或線積分可近似由面或線上的若干特殊點(diǎn)附近的很小區(qū)域的貢獻(xiàn)之和給出，這些特殊點(diǎn)稱為駐相點(diǎn)或臨界點(diǎn)。式(6)中方括號(hào)里第1項(xiàng)的面積分(對(duì)應(yīng)著PO積分)近似等于3類臨界點(diǎn)貢獻(xiàn)之和；而第2項(xiàng)(對(duì)應(yīng)著EEC積分)近似等于第2類和第3類臨界點(diǎn)貢獻(xiàn)之和。其中，第1類臨界點(diǎn)又稱為內(nèi)部駐相點(diǎn)(該點(diǎn)滿足駐相條件gu=0,gv=0)，其表達(dá)式與GO公式相同，對(duì)應(yīng)著鏡面散射中心；第2類臨界點(diǎn)又稱邊界駐相點(diǎn)(該點(diǎn)滿足駐相條件gt=0)，對(duì)應(yīng)著邊緣散射中心；第3類臨界點(diǎn)對(duì)應(yīng)著角點(diǎn)，對(duì)應(yīng)著尖角/頂散射中心。需要注意的是，由于滿足相同的駐相條件，EEC積分給出的第2類臨界點(diǎn)(邊緣散射中心)和第3類臨界點(diǎn)(尖角/頂散射中心)的位置與PO積分給出的相同，它只是在幅度上對(duì)PO積分的第1、第3類臨界點(diǎn)貢獻(xiàn)進(jìn)行了修正。

根據(jù)SPM，式(6)中方括號(hào)內(nèi)兩項(xiàng)積分給出3類臨界點(diǎn)的附加頻率依賴關(guān)系分別為k?1,k?3/2和k?2，綜合被積函數(shù)的頻率依賴關(guān)系式(12)和式(13)，可以得到最終的N次散射機(jī)理形成散射中心的頻率依賴性與式(4)完全一致。

(2)在子區(qū)域內(nèi)，恒滿足rank(Q)=1

此時(shí)有det(Q)=0，由GO給出的場(chǎng)處于焦散區(qū)。rank(Q)=1說(shuō)明Hessian矩陣Q只有一個(gè)非零特征值，此時(shí)稱為一重焦散情形。因此，通過(guò)特定的正交變換可將Q進(jìn)行對(duì)角化：

則路程函數(shù)g的泰勒展開式可化成只有一個(gè)平方項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)二次型：

式(19)的第1項(xiàng)為第1類臨界點(diǎn)(即內(nèi)部駐相點(diǎn)或鏡面散射中心)的貢獻(xiàn)，考慮到f1(u0,v′)的頻率依賴性式(12)，以及dN=2，可以立刻得到此時(shí)鏡面散射中心的頻率依賴性為

與非焦散情形頻率依賴式(4)相比，頻率依賴因子增加了1/2的修正項(xiàng)，本文稱為焦散修正形式。

式(19)的第2項(xiàng)為PO給出的邊緣積分貢獻(xiàn)，根據(jù)Carluccio等人[33]的工作，具有下面的形式

其中，p?=(u?(t),v?(t)),t為邊緣線的參數(shù)坐標(biāo)(見式(14)定義)，?U為照亮面ΓN在參數(shù)坐標(biāo)空間定義域U的邊界線，實(shí)際上，它對(duì)應(yīng)著邊緣線LN。

對(duì)比PO邊緣積分式(21)與EEC邊緣積分式(式(6)第2項(xiàng))，兩者被積函數(shù)的幅度函數(shù)項(xiàng)具有相同的頻率依賴性，而復(fù)指數(shù)的相位函數(shù)完全相同。由此，可以將兩者合并成一個(gè)邊緣積分項(xiàng)(即總的邊緣繞射貢獻(xiàn)，記為)，其形式如下：

對(duì)于邊緣積分式(22)來(lái)說(shuō)，存在兩種情況：邊緣線上存在子區(qū)間恒滿足gtt(t)≠0，或恒滿足gtt(t)=0。

當(dāng)gtt(t)≠0時(shí)，邊緣繞射場(chǎng)無(wú)焦散，邊緣積分與情形1相同，存在第2類臨界點(diǎn)(邊界駐相點(diǎn))和第3類臨界點(diǎn)(角點(diǎn))。此時(shí)，相應(yīng)散射中心的頻率依賴性滿足式(4)。

當(dāng)gtt(t)=0時(shí)，邊緣繞射場(chǎng)處于焦散區(qū)，由泰勒展開式(16)，邊緣積分式(22)可化為

若gt(t0)≠0，根據(jù)SPM，積分式(24)可近似表達(dá)成第3類臨界點(diǎn)(角點(diǎn))的貢獻(xiàn)，此時(shí)，相應(yīng)散射中心的頻率依賴性滿足無(wú)焦散修正的式(4)。

當(dāng)滿足駐相條件gt(t0)=0時(shí)，式(24)化為

聯(lián)合式(23)及dN=1，可得該子區(qū)域形成的邊緣繞射貢獻(xiàn)的頻率依賴性為

可見，式(26)與鏡面反射情形的焦散修正形式(式(20))完全一致。這說(shuō)明，焦散修正與散射機(jī)理類型無(wú)關(guān)，而只和產(chǎn)生焦散的類型有關(guān)，它們均是由于路程函數(shù)的Hessian矩陣只有一個(gè)特征值為0(即一重焦散)所引起的，因此，稱式(20)或式(26)為頻率依賴公式的一重焦散修正形式。

(3)在子區(qū)域內(nèi)，恒滿足rank(Q)=0

同情形2類似：det(Q)=0,GO給出的場(chǎng)處于焦散區(qū)。rank(Q)=0說(shuō)明Hessian矩陣Q兩個(gè)特征值均為0，此時(shí)矩陣Q為零矩陣，稱為二重焦散情形。于是，由泰勒展開式(22)，路程函數(shù)可近似表達(dá)成線性函數(shù)為

當(dāng)gu(u0,v0),gv(u0,v0)不全為零時(shí)，PO積分式(式(6)第1項(xiàng))無(wú)內(nèi)部駐相點(diǎn)，只包含邊緣積分貢獻(xiàn)，其形式如式(21)，其關(guān)于頻率依賴性的結(jié)論與情形2相同。

當(dāng)gu(u0,v0)=gv(u0,v0)=0時(shí)，路程函數(shù)式(27)化為常數(shù)，于是PO積分式(式(6)第1項(xiàng))將化成為

再由f1(u0,v′)的頻率依賴性式(16)，以及dN=2，可立刻得到此時(shí)的頻率依賴性為

與非焦散情形頻率依賴表達(dá)式(4)相比，頻率依賴因子增加了1的修正項(xiàng)。這與一重焦散修正形式(20)和式(26)是不同的。由于它是由路程函數(shù)的Hessian矩陣兩個(gè)特征值為0(即二重焦散)所引起的，稱式(29)為頻率依賴公式的二重焦散修正形式。

綜合上面3種情形的討論結(jié)果，即非焦散形式(式(4))和兩種焦散修正形式(式(20)或式(26)和式(29))，最終可得統(tǒng)一的任意多次散射機(jī)理形成散射中心的頻率依賴公式

其中，α為頻率依賴因子；N為多次散射機(jī)理的散射次數(shù)；di為反射幾何元素的維數(shù)，如式(3)所定義；αc為焦散修正因子，其取值總結(jié)如下

圖3展示了該區(qū)主要景區(qū)的空間布局及交通狀況（高速公路和國(guó)道）。從中發(fā)現(xiàn)，一是該區(qū)的旅游資源布局呈現(xiàn)分布廣泛，局部集中，給旅游線路的規(guī)劃帶來(lái)的最大問(wèn)題是，景點(diǎn)布局分散，各個(gè)景點(diǎn)之間的距離較遠(yuǎn)，游客坐車容易產(chǎn)生疲勞感。二是目前的高速公路和國(guó)道布局密度低，且受地形影響，道路多坡道、彎道，這樣會(huì)導(dǎo)致游客坐車舒適度下降，此外，西部的地區(qū)沒(méi)有高速通過(guò)，對(duì)旅游線路規(guī)劃產(chǎn)生不利影響。而未來(lái)的始于忻州市偏關(guān)縣老牛灣，終于運(yùn)城市垣曲縣王茅鎮(zhèn)寨里村的沿黃扶貧旅游公路建設(shè)將會(huì)提高交通的可進(jìn)入性和可達(dá)性。

特殊地，針對(duì)一次散射機(jī)理，可以容易地驗(yàn)證散射中心頻率依賴式(30)，式(31)的正確性。取散射次數(shù)N=1，式(30)化為α=αc+(d1?2)/2。由式(2)，式(3)，對(duì)于鏡面反射機(jī)理有d1=2，則頻率依賴因子公式進(jìn)一步簡(jiǎn)化為α=αc。由式(31)可知，此時(shí)頻率依賴因子可以取3種值(0,1/2,1)，分別對(duì)應(yīng)著3種焦散情形，即無(wú)焦散、一重焦散和二重焦散。

可以進(jìn)一步指出，在單次散射機(jī)理及遠(yuǎn)場(chǎng)條件下，3種焦散情形實(shí)際上分別對(duì)應(yīng)3種目標(biāo)表面幾何形狀：雙彎曲曲面、單彎曲曲面和平面。根據(jù)前面3種焦散類型定義，3種焦散類型分別對(duì)應(yīng)著路程函數(shù)的Hessian矩陣具有不同的秩(即非零特征值個(gè)數(shù))。對(duì)于一次散射機(jī)理，路程函數(shù)可以寫成g(x′)=r?·x′，其中r?為雷達(dá)視線，x′為目標(biāo)表面照亮區(qū)的任一點(diǎn)。不妨取目標(biāo)坐標(biāo)系的z軸與r?方向一致，則有g(shù)=z(x,y)，其中x,y,z為位置矢量x′在該目標(biāo)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，即此時(shí)路程函數(shù)為目標(biāo)表面的曲面方程。那么，路程函數(shù)的Hessian矩陣就是目標(biāo)表面的曲率矩陣。考慮到曲率矩陣的特征值為目標(biāo)表面的主曲率，于是，無(wú)焦散情形，目標(biāo)表面的兩主曲率均不為0，此時(shí)對(duì)應(yīng)著雙彎曲曲面；一重焦散情形，目標(biāo)表面只有一個(gè)主曲率不為0，此時(shí)對(duì)應(yīng)著單彎曲曲面；二重焦散情形，目標(biāo)表面兩個(gè)主曲率均為0，此時(shí)對(duì)應(yīng)著平面。

對(duì)于單次邊緣繞射機(jī)理有d1=1，則頻率依賴因子公式簡(jiǎn)化為α=αc ?1/2。由式(31)可知，此時(shí)頻率依賴因子可以取兩種值(–1/2,0)，注意對(duì)于邊緣繞射只有兩種焦散類型，即無(wú)焦散和一重焦散。類似地，可以指出，在單次邊緣繞射和遠(yuǎn)場(chǎng)條件下，兩種焦散分別對(duì)應(yīng)著兩種目標(biāo)表面邊緣幾何形狀：曲邊緣和直邊緣。對(duì)于單次尖頂/角繞射機(jī)理有d1=0，且此時(shí)只存在無(wú)焦散一種情形，則由式(30)和式(31)，頻率依賴因子α=?1。

綜上，通過(guò)與表1中給出的頻率依賴因子取值對(duì)比可知，頻率依賴因子式(30)和式(31)可以正確地預(yù)測(cè)單次散射機(jī)理的頻率依賴因子數(shù)值。

3 典型二次、三次散射機(jī)理的頻率依賴公式驗(yàn)證

為了進(jìn)一步驗(yàn)證頻率依賴式(30)的有效性，本文將平板(方板或圓盤)、圓柱、球、立方體和圓錐體等6種典型體進(jìn)行兩兩組合，得到20種組合體目標(biāo)，然后通過(guò)電磁仿真和微波暗室測(cè)試兩種手段獲取目標(biāo)散射數(shù)據(jù)，并提取二次散射機(jī)理形成散射中心，估計(jì)頻率依賴因子，最終與式(30)預(yù)測(cè)的頻率依賴因子取值進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證兩者的一致性。

6種典型體目標(biāo)的尺寸如表2所示，其中若干典型體存在兩種尺寸。形成的20種組合體的幾何示意圖由表3給出，基于本文提出式(30)可以給出每種組合體的頻率依賴因子的理論取值，也在表3中列出。

表2 6種典型體尺寸參數(shù)列表Tab.2 Size parameters for 6 canonical objects

表3 20種組合體目標(biāo)及其中產(chǎn)生的二次反射/繞射機(jī)理的幾何結(jié)構(gòu)示意與頻率依賴因子取值Tab.3 Types of double reflection/diffraction mechanisms,20 combination objects,corresponding geometric diagram and theoretical values of the frequency-dependent factor

目標(biāo)散射仿真數(shù)據(jù)通過(guò)北京環(huán)境特性研究所開發(fā)的電磁建模軟件RatsPro v1.0對(duì)目標(biāo)網(wǎng)格模型進(jìn)行計(jì)算而獲得，該軟件包含了多種計(jì)算方法—射線彈跳追蹤(Shooting and Bouncing Ray,SBR)法[34]、矩量法(Method of Moments,MoM)和特征基函數(shù)法(Characteristic Basis Function,CBFM)[35]等，不同的計(jì)算任務(wù)需要選擇不同的方法。文中多次鏡面反射情形采用SBR方法來(lái)計(jì)算，而鏡面-邊緣散射和邊緣-邊緣散射情形則采用MoM或CBFM方法來(lái)計(jì)算。目標(biāo)散射測(cè)試數(shù)據(jù)通過(guò)在北京環(huán)境特性研究所微波暗室中對(duì)組合體目標(biāo)的金屬實(shí)物模型進(jìn)行RCS測(cè)試而獲得。最終獲得的目標(biāo)散射仿真數(shù)據(jù)和測(cè)試數(shù)據(jù)為RCS幅相數(shù)據(jù)。獲得目標(biāo)RCS幅相數(shù)據(jù)之后，需要進(jìn)一步對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理以得到頻率依賴因子。本文采用一種基于頻帶分割的方法—子帶圖像比較(Spectrum Parted Linked Image Test,SPLIT)算法[36]來(lái)估計(jì)頻率依賴因子。該方法通過(guò)對(duì)不同子帶上估計(jì)的散射中心幅度進(jìn)行比較來(lái)實(shí)現(xiàn)頻率依賴因子的估計(jì)。其主要做法為：在目標(biāo)的寬帶散射響應(yīng)上任意截取兩段足夠帶寬的子頻帶數(shù)據(jù)(一般取總帶寬的40%較優(yōu)[21])，其中心頻率為fc1和fc2，分別對(duì)這兩段子頻帶數(shù)據(jù)進(jìn)行散射中心位置及幅度參數(shù)估計(jì)，則各子帶散射中心幅度系數(shù)的估計(jì)值與子帶中心頻率之間的關(guān)系為

圖1以圓柱-圓柱垂直組合為例，給出了仿真的VV極化下的雷達(dá)散射截面積(Radar Cross Section,RCS)掃頻曲線與子帶分割示意圖，選擇了40%子帶，則兩個(gè)子帶中心頻率分別為fc1=10GHz和fc2=16GHz。圖2(a)和圖2(b)分別給出了兩個(gè)子帶的一維距離像以及采用ESPRIT(Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques)算法[37]估計(jì)的二次鏡面反射機(jī)理所對(duì)應(yīng)的散射中心幅度參數(shù)的結(jié)果。于是，根據(jù)式(32)可立刻估計(jì)出頻率依賴因子的值α=0.5499。

圖1 圓柱-圓柱垂直組合體的RCS曲線與子帶分割示意圖Fig.1 RCS curve for cylinder-cylinder orthogonal combination objects and sketch map of frequeny band splitting

圖2 各子帶散射中心參數(shù)提取結(jié)果Fig.2 Results of scattering center extraction for each sub-band scattering data

通過(guò)上述方法對(duì)20種組合體仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行二次散射機(jī)理頻率依賴因子估計(jì)，表4給出了估計(jì)結(jié)果以及與理論值的對(duì)比。仿真條件為頻率8～18GHz、極化VV和HH，視向角選擇典型強(qiáng)散射方向。結(jié)果表明，估計(jì)的頻率依賴因子與式(30)預(yù)測(cè)的理論值大部分情況都較為一致。其中，若干組合體(如球-平板組合、圓柱-圓柱平行組合等)的頻率依賴因子估計(jì)值與理論值的誤差較大，且VV和HH極化的誤差也有所差別。其主要原因是存在其他幅度更強(qiáng)或相當(dāng)?shù)纳⑸渲行膶?duì)所關(guān)注機(jī)理的散射中心形成“干擾”，影響了其頻率依賴因子的估計(jì)精度，并且當(dāng)“干擾”散射中心存在著較明顯的極化差異時(shí)，頻率依賴因子的估計(jì)誤差也具有明顯的差別(如參考文獻(xiàn)[21]中的討論)。針對(duì)多于二次散射的機(jī)理，采用三面角與雙頂帽結(jié)構(gòu)，結(jié)果如表5所示，估計(jì)的頻率依賴因子與理論預(yù)測(cè)值相符。

表4 基于20種組合體仿真數(shù)據(jù)的二次散射機(jī)理形成散射中心的頻率依賴因子估計(jì)與理論值對(duì)比Tab.4 Comparison of theoretical frequency-dependent factor values by proposed formula and estimated ones by simulation data for scattering centers induced by double scattering from 20 combination objects

表5 基于2種組合體仿真數(shù)據(jù)的三次散射機(jī)理形成散射中心頻率依賴因子估計(jì)與理論值對(duì)比Tab.5 Comparison of theoretical frequency-dependent factor values by proposed formula and estimated ones by simulation data for scattering centers induced by triple scattering from 2 combination objects

另外，通過(guò)上述SPLIT算法對(duì)7種組合體暗室測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行二次散射機(jī)理頻率依賴因子估計(jì)，表6給出了散射機(jī)理類型、組合體幾何示意圖以及估計(jì)結(jié)果與理論值的對(duì)比。暗室測(cè)量條件為頻率8～12GHz、極化HH，俯仰角90°，方位角選擇典型強(qiáng)散射方向。結(jié)果表明，估計(jì)的頻率依賴因子與式(30)預(yù)測(cè)的理論值較為一致。

表6 基于7種組合體暗室測(cè)量數(shù)據(jù)的二次散射機(jī)理形成散射中心的頻率依賴因子估計(jì)與理論值對(duì)比Tab.6 Comparison of theoretical frequency-dependent factor values by proposed formula and estimated ones by meas urementdata in microwave anechoic chamber for scattering centers induced by double scattering from 7 combination objects

可見，基于仿真的結(jié)果與基于測(cè)試的結(jié)果均驗(yàn)證了本文提出的頻率依賴因子公式的有效性。

4 結(jié)論

本文從射線理論出發(fā)，基于GO/GTD-PTD混合方法與SPM方法，推導(dǎo)了PEC目標(biāo)任意多次散射機(jī)理形成散射中心的頻率依賴因子表達(dá)式。頻率依賴因子與反射次數(shù)、射線在目標(biāo)表面多次彈射所經(jīng)過(guò)的幾何元素維數(shù)以及焦散情況有關(guān)。最后針對(duì)一系列典型組合體目標(biāo)，進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)和微波暗室測(cè)試試驗(yàn)，通過(guò)獲得的RCS仿真與暗室測(cè)試數(shù)據(jù)，驗(yàn)證了本文提出的理論與公式的有效性。本文提出的頻率依賴因子計(jì)算公式具有較強(qiáng)的普適性，可應(yīng)用于復(fù)雜目標(biāo)電磁散射正向參數(shù)化建模中頻率依賴因子參數(shù)的正向推算。

致謝在本文修改過(guò)程中，武漢大學(xué)電子信息學(xué)院朱國(guó)強(qiáng)教授提出了重要的修改意見和建議，特此致謝！