基于方差最小化的直覺模糊語言多屬性決策方法*

陳 晶，王中興，姚 陳

(1.湖南交通工程學院電氣與信息工程學院，湖南衡陽 421001；2.廣西大學數學與信息科學學院，廣西南寧 530004；3.南華大學化學化工學院，湖南衡陽 421001)

0 引言

自1998年Delgado等[1]提出用模糊語言表示評價結果以來，語言型決策理論與方法已引起國內外學者的廣泛關注。Herrera等[2]為處理離散的模糊語言在集成時出現信息失真的問題，提出了模糊語言的二元語義分析法。王欣榮和樊治平[3]將二元語義引入傳統TOPSIS中，提出基于二元語義信息處理的TOPSIS模糊語言決策方法。王曉等[4]針對屬性權重完全未知的模糊語言多屬性群決策問題，提出一種基于離差最大化的屬性權重客觀賦權方法。劉勇等[5]提出一種以多階段群體評價差異最小化為目標的模糊語言群決策模型。Bapi等[6]針對屬性信息相互關聯的模糊語言多屬性決策問題，提出一類二元語義分區Bonferroni加權平均算子，并研究算子的相關性質。王中興等[7]擴展Archimedean S模，給出對屬性權重進行自適應調整的二元語義擴展Archimedean S模集成算子，并將其應用于模糊語言多屬性決策。Liang等[8]基于多粒度區間二元語義廣義距離測度，給出一種處理區間二元語義信息的交互式多準則(TODIM)群決策方法。黃魯成等[9]將集對分析思想引入TOPSIS中，運用聯系向量的垂面距離，構建VASP-TOPSIS多屬性決策模型。Song和Li[10]給出求解決策方案優先權重的目標規劃模型及群體一致度的自動迭代算法，并將兩者應用于多粒度二元語義群決策。

然而，模糊語言僅考慮準則隸屬度，不能直觀地表達人們思維的猶豫、模糊特征。如對汽車配置測評時，經檢測汽車在許多方面都達到“優”的標準，但也存在一些方面未達到“優”的標準；此時，采用“優”“良”等模糊語言評價均不符合實際。為克服模糊語言存在的這種不足，文獻[11,12]將直覺模糊集的思想引入模糊語言集，先后定義了直覺模糊語言、直覺模糊二元語義，以準確地描述準則隸屬度或非隸屬度雙方面評價。如上述對汽車配置的測評，可用直覺模糊語言<很高,稍低>細膩表達，其意義為該汽車配置達到優的標準“很高”，而未達優的標準“稍低”。相對于模糊語言，直覺模糊語言增加了準則非隸屬度描述，能更全面、細致、真實地描述決策者的偏好信息，廣泛適合于軍事系統效能評估、供應商評估與選擇、人力資源管理等實際決策問題。

在研究語言型決策問題時，往往需要對語言型評價信息進行運算或集成。直覺模糊語言的提出改進了模糊語言缺少準則非隸屬度描述的局限，使得評價結果更符合人們的直覺，但仍未能避免模糊語言運算[1,2,7,13]不滿足封閉性的不足。為此，本文采用方差最小化模型定義克服越界現象的直覺模糊語言運算新方法，并對其進行詳細討論,以及給出直覺模糊語言期望值、精確值的定義，通過比較期望值和精確值給出直覺模糊語言序關系。最后，將所提方法應用于直覺模糊語言多屬性決策中，為解決語言型決策問題提供新方法。

1 預備知識

模糊語言集L={l0,l1,l2,…,l2τ}(τ為正整數)是一個非空離散的集合。模糊語言li是預先定義好的評價短語，如“好”“一般”“差”等。其中l0,l2τ分別為模糊語言集的下界與上界。2τ+1為模糊語言集的粒度。例如，一個七粒度模糊語言集可表示為L={l0,l1,l2,l3,l4,l5,l6}={很差,差,較差,一般,較好,好,很好}。模糊語言集L通常有如下定義[1,2]：

①有序性：i

②語言取小(∧)、取大(∨)運算：若lilj，則li∧lj=li，li∨lj=lj。

③語言否定(┐)運算：┐li=lj，j=2τ-i。

①lα⊕lβ=lα+β；②λ?lα=lλα。

特別的，對于直覺模糊語言，若┐lμ=l2τ-μ=lν，則直覺模糊語言退化為模糊語言。

(1)

直覺模糊語言關于定義1中的運算法則存在以下問題:例如，對于上述七粒度模糊語言集L，若取直覺模糊語言h1=,h2=∈H，則由文獻[1,2,13]中方法有h1⊕h1=,即“較差”與“較差”運算結果為“較好”，這讓人不易接受；又如h1⊕h2=(l8?L),即“較差”與“很好”運算結果可能不在模糊語言集中，出現越界的現象。

定義2[11]設H為直覺模糊語言集，h1=,h2=為H中的直覺模糊語言，則h1與h2的距離為

(2)

2 直覺模糊語言決策理論與方法

2.1 直覺模糊語言運算新方法

在實際的決策問題中，決策專家針對評價對象各評價指標所給出的評價往往存在差異。為得到評價對象的綜合評價，需要對各指標的評價信息進行運算或集成。考慮到綜合評價作為決策專家對評價對象意見的綜合反映，其與各指標評價之間的方差應盡可能小。基于此思想，下面給出直覺模糊語言方差的定義。

(3)

其中，直覺模糊語言he=∈H為直覺模糊語言hj(j=1,2,…,n)的集成結果。

而對于權重信息完全未知的情形，方差(Var)可定義為

設hj=(j=1,2,…,n)為決策者關于第j(j=1,2,…,n)個評價指標所給出的評價，則綜合評價he=與各評價指標間的方差應最小，即綜合評價he=為目標優化模型

(4)

s.t.hx=〈lμx,lνx〉∈H，hj=〈lμj,lνj〉∈H，

證明：由定義2、定義3可得

根據以上分析，下面定義直覺模糊語言運算新方法。

對于前面給出的直覺模糊語言h1=,h2=∈H，則由定義4有h1⊕h1=，即“較差”與“較差”運算結果仍為“較差”；以及h1⊕h2=，即“較差”與“很好”運算結果為“較好”；兩種情形均容易讓人接受，且運算結果仍然屬于定義中的集合。

2.2 直覺模糊語言序關系

為對直覺模糊語言進行比較或排序，下面首先給出直覺模糊語言期望值的定義。

定義5對于直覺模糊語言h=

lν(h)>∈H，期望值為

(5)

由(5)可知，期望值愈大，直覺模糊語言愈優。但僅用期望值作為排序指標，則無法比較期望值相同的兩個直覺模糊語言的大小。例如，給定七粒度模糊語言集L={l0,l1,l2,l3,l4,l5,l6}={很低,低,較低,一般,較高,高,很高}，若取直覺模糊語言h1=,h2=,h3=，則有E(h1)=l4，E(h2)=l4，E(h3)=l3，故h1=h2?h3，顯然直覺模糊語言h1與h2無法通過期望值來比較大小。為此，下面給出直覺模糊語言精確值的定義。

定義6對于直覺模糊語言h=

lν(h)>∈H，精確值為

Q(h)=lμ(h)+ν(h)。

(6)

期望值相等的兩個直覺模糊語言，精確值愈大，包含的決策信息愈完整、愈準確，其評價也就愈高。對于上述直覺模糊語言h1=與h2=，分別計算精確值有Q(h1)=l6，Q(h2)=l4，因而h1?h2。

基于以上分析，下面給出直覺模糊語言的序關系。

定義7對于直覺模糊語言h1,h2∈H，設E(h1)與E(h2)分別為h1、h2的期望值，Q(h1)與Q(h2)分別為h1、h2的精確值，則

①若E(h1)?E(h2)，則h1優于h2，即h1?h2。

②若E(h1)=E(h2)，當Q(h1)?Q(h2)，則h1優于h2，即h1?h2；當Q(h1)=Q(h2)，則h1無差異于h2，即h1=h2。

2.3 直覺模糊語言多屬性決策方法

模糊語言在表達模糊決策信息方面具有局限性，而直覺模糊語言同時考慮正、反雙方面評價，可以更加完整、細膩地描述事物的模糊本質，因而在表達決策不確定信息時，直覺模糊語言更具表現力和實用性。為此，本文采用直覺模糊語言來表達決策信息，提出一種基于直覺模糊語言信息處理的多屬性決策方法。

Step 1 根據決策者給出的正、反雙方面模糊語言評價，得到直覺模糊語言決策矩陣R=[rij]m×n。

Step 2 對決策矩陣R=[rij]m×n進行規范化處理。

成本型屬性評價可通過否定運算(neg)轉化為收益型評價；收益型屬性評價則無需轉化。為方便敘述，轉化后的決策矩陣仍記為R=[rij]m×n，

neg(rij)=neg()=。

(7)

Step 3 利用定義4中集成方法對決策矩陣R=[rij]m×n中第i行的決策信息進行集成，得到決策者對方案Ai的綜合評價zi,(i=1,2,…,m)，

(8)

Step 4 根據定義5和定義6計算zi的期望值E(zi)與精確值Q(zi),(i=1,2,…,m)。

Step 5 根據各方案Ai(i=1,2,…,m)的期望值和精確值，按定義7對各方案進行比較與排序。

3 數值實例

考慮對某大型企業進行產業投資，共有4個備選方案：智能手機業(A1)，房地產業(A2)，家電業(A3)和互聯網業(A4)可供選擇。現從4個指標(屬性)：技術創新(G1)，市場走勢(G2)，政策扶持(G3)，資金回籠(G4)對各方案進行評價。決策者根據實際需要選取七粒度模糊語言集L={l0,l1,l2,l3,l4,l5,l6}={很低,低,較低,一般,較高,高,很高}，對這些方案的各項屬性進行評價。其中，屬性的權重向量為w=(0.25,0.3,0.15,0.3)T。由于問題的復雜性以及人們思維的模糊性，決策者難以用模糊語言準確地評價，于是采用直覺模糊語言進行評價。

例如，該企業對投資智能手機業(A1)關于公司自身的技術創新(G1)水平的評價為，即企業認為智能手機業(A1)具有技術創新(G1)的可能性很低，而不具有技術創新(G1)的可能性一般。企業對是否具有創新性保留著一定的猶豫不確定性。

決策者給出各方案關于各屬性的評價見表1。

表1 決策者給出各方案關于各屬性的評價

下面采用本文決策方法，確定最佳的投資產業。

Step 1 根據決策者的評價，得到直覺模糊語言決策矩陣R=[rij]4×4,

R=

Step 2 4個指標均為收益型屬性，屬性評價信息無需轉化。

Step 3 根據式(8)對決策矩陣R中第i行決策信息進行集成，得到方案Ai(i=1,2,3,4)的綜合評價值zi,

Step 4 計算zi的期望值E(zi)與精確值Q(zi),(i=1,2,3,4),

Step 5 依據期望值E(zi)與精確值Q(zi)(i=1,2,3,4)，對各方案排序有A3?A4?A2?A1。故該企業投資的最佳產業是家電業(A3)。

結合決策矩陣中的數據及其權重進行分析，不難發現方案A3關于4個指標的評價比其他方案高，利用本方法得到的結果與其一致。比較方案A4、A2和A1，易知A4優于A1，A2優于A1。比較方案A4和A2，可以發現G1和G3兩個指標下的評價A4優于A2，G2指標下的評價A2優于A4，綜合得方案A4優于A2。

4 對比與分析

在本小節中，將文獻[7,10,12]方法與本文方法進行比較，具體如表2所示。

表2 不同決策方法對比與分析

從表2可知，本方法與已有方法存在明顯的不同之處。本方法通過方差最小化模型，客觀地集成評價信息，適用于權重值為實數或未知且屬性值為直覺模糊語言的多屬性決策問題，較文獻[7,10]中模糊語言決策方法，能更完整地描述決策者的偏好信息，減少決策信息的丟失。其次，本文基于最優化理論與方法，提出直覺模糊語言新型運算，避免了現有語言型運算[7,13]存在越界或違反直覺的不足。再者，文獻[12]中決策方法通過直覺模糊語言決策形式背景及規則提取模型，得到各方案的加權相似度，與本文基于方差最小化模型集成群體評價信息的方法，均適合處理屬性評價信息包含不確定性的情形。但本方法運算更簡單，且結論部分更容易讓人理解。文獻[14]基于目標規劃模型與群共識迭代算法確定群體一致度，與本文通過距離測度構建的偏差最小化模型均適應于群體意見分歧較大的群決策問題，但文獻[13]中方法需要決策者事先給出群體一致度閾值ε、群體共識度η，因而決策的主觀性較大，實際處理起來往往更為繁瑣且復雜。

5 結論

直覺模糊語言同時考慮正、反雙方面評價，能全面地表達決策者的偏好信息，因而較模糊語言更符合人們猶豫、不確定性的表述習慣。本文在直覺模糊語言集概念的基礎上，給出直覺模糊語言方差的定義，并通過方差最小定義了直覺模糊語言新型運算，以及給出直覺模糊語言期望值、精確值和直覺模糊語言序關系定義，進而給出一種直覺模糊語言決策新方法。該方法在一定程度上克服了現有語言型決策僅依靠準則隸屬度描述決策者偏好的局限，也避免了語言型決策運算存在著越界或不符合人們直覺的不足。