基于實時混合試驗誤差累積規律的時滯影響修正方法

周子豪，李 寧,2，李忠獻,2

(1.天津大學建筑工程學院/濱海土木工程結構與安全教育部重點實驗室(天津大學)，天津 300350；2.中國地震局地震工程綜合模擬與城鄉抗震韌性重點實驗室(天津大學)，天津 300350)

1969年日本東京大學Motohiko課題組實現了第一個混合試驗[1]，開啟了混合試驗方法的研究歷程。經過30余年發展，混合試驗結構劃分的試驗理念得到了廣泛認同：將試驗對象中本構關系明確、易于模擬的部分劃分為數值子結構，而試驗對象中難于建模卻又對整體結構的響應起到重要作用的部分劃分為物理子結構，并在試驗室中進行試驗以獲得其實際的響應。從擬動力混合試驗到快速擬動力混合試驗再到實時混合試驗，混合試驗的應用愈發成熟。近十年來，涌現了許多實時混合試驗成果。Karavasilis等[2]利用實時混合試驗對基于性能抗震設計的裝有阻尼器的鋼框架進行了性能評估測試。Chen等[3]利用實時混合試驗對安裝大型磁流變阻尼器的鋼框架進行了分析。Shao等[4]對大型結構的振動臺和作動器聯合實時混合試驗方法進行了研究。Sorkhabi等[5]利用實時混合試驗對TLD在地震作用下的性能進行了研究。Chen等[6]研發了實時混合試驗平臺，考慮了作動器、控制架構、數值積分算法以及時滯補償等，并對大型實時混合試驗的多作動器時滯自適應補償[7]進行了探索。Chae等[8]利用實時混合試驗對大型MR阻尼器控制策略進行了研究。Xu等[9]利用實時混合試驗對結構主動控制性能進行了研究。Eem等[10]對MRE智能基礎隔振的性能進行了研究和評估。Asai等[11]利用實時混合試驗對高聳結構智能外伸阻尼系統進行了研究。Saouma等[12]進了非延性混凝土結構的實時混合試驗，并將實時混合試驗的結果與振動臺試驗進行了對比。Gao等[13]對多自由度實時混合試驗的一般流程進行了研究和試驗驗證。Cha等[14]對比了多種MR阻尼器半主動控制實時混合試驗結果和純模擬結果。Jiang等[15]針對復雜數值子結構的情況開展了安裝MR阻尼器的橋梁實時混合試驗。

目前實時混合試驗幾乎都是在少數幾個設備精良的高校實驗室中完成的。這些試驗室中環境干擾少，試驗人員專業知識和試驗經驗較豐富，能夠較好地對試驗的過程進行把控，對試驗中的不足可以及時發現和修正。還有一個重要的原因是，由于實時混合試驗需保證試驗過程的實時性，對實時機、控制器和作動器都有較高的要求，造成試驗設備的成本高，這在一定程度上也阻礙了實時混合方法的發展和應用[16?17]。此外，隨著作動器最大負載的增加，要達到實時的難度也隨之增加。目前大部分實時混合實驗中物理子結構依然是縮尺結構模型。對大型的結構而言，如橋墩、高層建筑等，體系并不復雜，僅僅是體形較大，受限于加載設備能力，致使實時混合試驗難于開展原型試驗。近幾年，隨著實時子結構試驗技術和設備的發展，國內外也出現了許多針對大型結構的實時混合試驗，例如，Liu等[18]基于實時混合試驗探究了鋼筋混凝土薄壁高墩橋在地震作用下的結構響應以及提出了該結構失效模型預測方法；Wu等[19]進行了足尺鋼框架的界面模型更新的實時混合試驗；Mei等[20]進了高墩混凝土橋梁的基于模型更新的實時混合試驗。

為了保證實時混合試驗的實時性，問題主要集中在如何有效地對試驗中的時滯影響進行消除。在實時混合試驗中，相對于數值計算和數據傳輸的時滯，作動器時滯是占主導地位的。為了消除時滯的影響，國內外的學者進行了非常多的探索。其中代表性的有Horiuchi等[21]提出的多項式外插時滯補償方法、Chen[22]提出的一階反補償時滯補償算法以及Phillips等[23]提出的基于模型的時滯補償方法。筆者所在的科研團隊也在時滯補償算法的開發上做出了自己的貢獻。例如，將在線時滯預估[24]分別與多項式外插時滯補償[21]和一階反補償[22]相結合，提出了二階在線迭代時滯補償算法[25]以及自適應時滯補償算法[26]；引入模型誤差提出了二階的基于模型的時滯補償方法[27]。但是，目前時滯補償算法依舊無法消除時滯，特別是對于高頻信號，補償的效果仍然不理想。

考慮到時滯普遍存在于實時混合試驗中，針對由于實驗設備性能限制或結構負載較大而導致的時滯補償不理想等情況，本文提出了一種基于雙顯式數值積分算法誤差累積規律的試驗后時滯修正方法。可在試驗后對結果進行修正以消除時滯影響，降低試驗成本。首先，對雙顯示數值積分算法的誤差累積規律進行了探索，指出在實時混合試驗過程中，時滯導致的誤差是按照一定的規律進行累積傳播的；其次，根據得到的誤差累積規律提出了一種試驗后的時滯補償方法，在試驗后對試驗結果進行修正，以達到減小時滯影響的目的；最后對方法的有效性通過4種不同的物理子結構工況進行了驗證。

1 數值積分算法的誤差累積規律

數值積分算法在實時混合試驗中是關鍵部分。物理子結構的反饋進入數值子結構之后，通過數值積分算法得到下一步的位移指令，進而發送到控制器驅動作動器運動。由于時滯的存在，在試驗過程中作動器的位置相對于位移指令滯后，導致物理子結構反饋滯后，此時積分得到的結果也就必然與理想無時滯狀態存在誤差。因此，無時滯理想狀態下與有時滯狀態下數值子結構計算的結果是不同的。無時滯、有時滯單自由度體系運動方程可寫為式(1)和式(2)。

雙顯式數值積分算法的通用表達式為式(4)、式(5)所示，速度和位移均為顯式遞推得出。

當數值積分算法分別在無時滯理想情況和有時滯情況下，可分別改寫為式(6)、式(7)及式(8)、式(9)。

式(8)減去式(6)，式(9)減去式(7)，得式(10)、式(11)。

式(10)、式(11)即為雙顯式數值積分的位移和速度誤差累積公式，其中：Ed、Ev和Ea分別表示位移誤差、速度誤差和加速度誤差。可以看到，其表達式與積分算法的形式是一致的，而且位移和速度的誤差累積公式是顯式的。將運動方程式(2)減去式(1)，可以得到式(12)、式(13)。

綜上所述，式(14)、式(15)及式(16)組成的方程組：

綜合上述的推導，將整體的修正過程總結如圖1所示。

圖1 試驗后修正方法框圖Fig.1 Flow chart of post-correction method

Gao等[28]對時滯試驗結果的影響進行了分析，其時滯微分方程列式如下：

令x=Asinωt，忽略Gao等[28]引入的幅值誤差，只考慮時滯，則xm=Asinω(t?δt)。其中：M、C、K分別為質量、阻尼和剛度；下角標N、P分別代表數值和物理子結構；x¨g為地震動加速度；xm為作動器量測位移；A和ω分別為結構振動的幅值和頻率；δt為時滯。假設δt很小，將xm進行泰勒展開得式(22)～式(23)：

將其代入時滯微分方程得：

觀察式(25)，發現物理子結構的剛度向運動方程中引入了負阻尼CKp=?KPδt，向系統中引入了能量，這與Horiuchi等[21]得到的結論一致。從式(25)還可以發現，物理子結構的質量向運動方程中引入了正阻尼CMp=MPω2δt，耗散了系統的能量；物理子結構的阻尼向運動方程中引入了負質量MCp=?CPδt，向系統中引入了能量。

因此，當存在時滯時，物理子結構的質量會增加系統的能耗、降低系統的能量；而物理子結構的剛度和阻尼則會向系統中引入能量。故此，當物理子結構質量耗散的能量小于剛度和阻尼引入的能量時，實時混合試驗的結構響應要大于無時滯的結構響應。因此，在物理子結構的質量相對較小的情況下，可以在有時滯的實時混合試驗結果中找到無時滯條件下的結構響應。

至此得到應用本文提出方法的第一個限制條件：物理子結構質量配比相對較小，并使得物理子結構質量耗散的能量小于物理子結構剛度和阻尼引入的能量。這一點在實際的應用中很容易滿足，其原因在于質量帶來的慣性力可以比較準確的進行測量，且質量在試驗過程中一般是不變的，其物理規律是比較清晰的。故在實時混合試驗中一般不會將質量占總結構比例非常大的構件作為物理子結構[29]。

圖2 搜索方式示意圖Fig.2 Schematic diagram of search method

3 模擬驗證

本文采用4種典型工況對所提出方法進行模擬驗證：物理子結構分別為線性剛度、線性阻尼、非線性剛度及非線性阻尼構件。其中非線性剛度構件采用的是非線性彈簧[30]以及Bouc-Wen模型[31]，而非線性阻尼構件則是采用MR阻尼器模型[32]。

首先，分析了時滯對試驗結果的影響。對于單自由度體系，取數值子結構的MN、CN、KN分別為7 kg、36 (N·s)/m、100 N/m；物理子結構的MP、CP、KP分別為3 kg、4(N·s)/m、900 N/m；引入如圖3所示的時滯量，根據目前作動器的性能，其時滯數值的取值在15/1024 s～25/1024 s波動；地震激勵為El-Centro波。有時滯與無時滯的模擬結果對比如圖4所示。有時滯情況得到的試驗結果與無時滯情況得到的試驗結果誤差如圖5所示。

圖3 人為引入時滯Fig.3 Artificially introduced time delay signal

圖4 有/無時滯試驗結果對比Fig.4 Test results with/without time delay

圖5 有時滯與無時滯試驗結果誤差Fig.5 Errorsbetween testing resultswith/without delay

3.1 線性剛度、阻尼構件

表1 數值與物理子結構參數Table 1 Parametersof numerical and physical substructures

從圖6～圖7可以看出，在時滯相同、物理子結構為線性剛度的情況下，隨著物理子結構剛度占總體剛度比例的增加，有時滯與無時滯試驗結果的位移、速度和加速度誤差呈近似指數增長。且通過上述的模擬結果可以發現，在相同的時滯條件下，隨著物理子結構剛度占比的增加，有時滯與無時滯情況下的準確值相差越來越大。上述模擬的結果均為理想模擬得到，在實際的試驗過程中，由于環境噪聲、系統擾動等因素的干擾下誤差勢必會進一步增加。

圖7 線性阻尼物理子結構修正前后誤差對比Fig.7 RMScomparison for linear damping physical substructure tests before and after correction

當物理子結構為線性阻尼的情況下，隨著物理子結構阻尼占總體阻尼比例的增加，有時滯與無時滯的試驗結果表明，位移、速度和加速度誤差同物理子結構為線性剛度時都呈現出增大趨勢。當物理子結構為線性剛度時，物理子結構的剛度占總體結構的比例為20%時，其RMS值已經達到了400%，試驗結果已不具備任何參考價值；而當物理子結構為線性阻尼時，物理子結構的阻尼占總體結構的比例為5%～80%，但是其RMS卻遠遠小于物理子結構為線性剛度的情況。而且，物理子結構為線性阻尼時，其占總體阻尼比例的增加對位移、速度和加速度的影響是依次遞增的，并不象物理子結構為線性剛度時，物理子結構剛度占比的增加對位移、速度和加速度誤差增速的影響是基本一致的。

3.2 非線性剛度構件

對于非線性的剛度物理子結構，我們采用了兩種不同的模型：1)高階非線性彈簧模型[30]，如式(27)所示；2) Bouc-Wen模型[31]如式(28)、式(29)所示。模型中物理子結構和數值子結構參數的取值見表2及表3。高階彈簧及Bouc-Wen模型的位移-力曲線如圖8所示，其中Bouc-Wen模型采用6種不同幅值的正弦激勵，A代表正弦激勵的幅值。

圖8 高階彈簧及Bouc-Wen模型特性Fig.8 Characteristicsof high-order spring and Bouc-Wen model

表2高階彈簧及Bouc-Wen模型參數Table2 Parametersof high-order spring and Bouc-Wen model

表3數值子結構參數Table 3 Parametersof numerical substructure

為了驗證算法的普適性，以及保證實時混合試驗的穩定性，本文將物理子結構的反饋力乘以一個系數之后再反饋到數值子結構中，分別稱為高階彈簧系數及Bouc-Wen系數。隨著系數不斷增大，物理子結構的剛度占總體剛度的比例不斷增加。圖9為有時滯情況下高階彈簧及Bouc-Wen模型修正前后的誤差(RMS值)對比。通過圖9可以發現，類似于線性剛度情況，時滯對于試驗結果的影響隨著物理子結構的剛度占比增加而增加。而且，本文方法在物理子結構為高階彈簧時表現出了與純剛度情況下一樣的準確性，這是因為物理子結構為高階彈簧時，根據位移就可以準確地對應其反饋力。其修正前、后的位移、速度和加速度誤差對比如圖10～圖12所示。

圖9 高階彈簧及Bouc-Wen模型修正前后誤差對比Fig.9 Error comparison of high-order spring and Bouc-Wen model before and after correction

圖10 修正前后誤差對比位移時程圖(系數0.8)Fig.10 Displacement comparison before and after correction(physical substructure:Bouc-Wen model,coefficient:0.8)

圖12 修正前后誤差對比加速度時程圖(系數0.8)Fig.12 Acceleration comparison beforeand after correction(physical substructure:Bouc-Wen model,coefficient:0.8)

圖11 修正前后誤差對比速度時程(系數0.8)Fig.11 Velocity comparison before and after correction(physical substructure:Bouc-Wen model,coefficient:0.8)

但物理子結構為Bouc-Wen模型時，本文所提方法的誤差卻隨著系數的增加而不斷的增加。這主要是由于：1)Bouc-Wen模型的反饋力是由位移和速度共同決定，本文提出方法的適用條件之一是位移相關力或者速度相關力占據反饋力的主導地位，而Bouc-Wen模型反饋力由位移和速度共同決定的特性決定了根據位移對其反饋力進行確定會造成誤差；2)Bouc-Wen模型的滯回特性是造成誤差的另一個重要原因，本文提出的方法是根據位移和速度其中之一進行反饋力的修正，然而在位移曲線的拐點處，Bouc-Wen模型由于滯回的特性，即使位移大小一致，但在拐點前后所對應的反饋力是不一致的，也會造成修正反饋力的誤差。但還是可以非常明顯地看到本文提出的算法對試驗結果的修正效果尚可。

3.3 非線性阻尼構件

非線性阻尼構建的模型采用的是Spencer提出的磁流變阻尼器模型[32]，其表達式如式(30)～式(32)所示，其模型如圖13所示，其在正弦激勵下的響應如圖14所示，其中I為輸入磁流變阻尼器的電流。

圖13 磁流變阻尼器模型Fig.13 Magnetorheological damper model

圖14 磁流變阻尼器性能Fig.14 Performanceof magnetorheological damper

式中，α、c0、k0、k1、c1、γ、β、n和A為阻尼器模型的參數，如表4所示[34]。

表4 磁流變阻尼器模型參數Table 4 Parameters of magnetorheological damper

當物理子結構為磁流變阻尼器時，同樣將其反饋力乘以一個系數，以此來調節物理子結構在整體結構中的占比。結果表明(如圖15所示)，本文修正方法可以較好地降低時滯引起的試驗誤差。由磁流變阻尼器的模型可知，模型中也存在Bouc-Wen模型，是位移和速度共同決定的。由于本文提出的方法不能同時根據位移或速度來完全準確的對反饋力進行修正，故修正結果的誤差隨著物理子結構占比的增加而不斷增加，但總體而言其誤差還是較大幅度地降低了。

圖15 修正前后誤差對比Fig.15 Error comparison before and after correction

4 結論

實時混合試驗中，在線補償方法存在以下2個主要的問題：第一，在線時滯補償本質上是一種預測方法，使得這種方式無法完全消除時滯，目前的時滯補償方法對于低頻信號能夠較好的補償，但是對高頻信號效果卻不理想，所以實時混合試驗中，時滯普遍存在，并對試驗結果產生影響；第二，實時混合試驗的實時加載，對加載設備和控制系統要求過高，對大型構件，對加載能力要求較高，現有試驗條件很難或者需要付出巨大的經濟成本才能達到實時要求。

針對上述問題，基于數值子結構積分算法誤差累計規律提出了一種試驗后時滯修正方法，并進行線性剛度、阻尼、非線性剛度阻尼驗證，結論如下：

(1)該方法可同時對試驗的位移、速度和加速度結果進行修正；

(2)試驗后時滯修正方法的提出，允許在試驗的過程中存在一定的時滯，等于放寬了對于加載設備和控制系統的要求，一些性能稍顯不足的作動器也可以在保證試驗穩定的情況下完成實時混合試驗，然后通過本文提出的方法對結果進行修正得到較為準確的結果。

(3)對于試驗后發現時滯補償效果并不理想的試驗，也可以通過本文提出的方法對結果進行修正，從而避免必須重復試驗的窘境，可以節約試驗成本。