原油、黃金、美元的資產組合風險度量

邢可可 洪振木

摘 要：在全球疫情期間，原油和黃金都經歷了暴漲暴跌，不僅吸引了一大批投資者將投資重點重新轉移到了原油市場和黃金市場，也加劇了美元價格的震蕩幅度，為了應對這個挑戰，需要準確度量其價格波動帶來的風險。因此，本文將Copula函數與GARCH模型相結合，構造條件聯合分布，并用方差-協方差法、歷史模擬法以及蒙特卡洛模擬法計算原油、黃金、美元投資組合的VaR，并對VaR進行回溯檢驗，最后利用馬克維茲理論求出最優投資組合并計算它們的風險值。研究結果表明t分布能夠更好地擬合各資產的邊際分布，基于t-Copula-GARCH模型的蒙特卡洛模擬計算出來的VaR最為準確，原油、黃金和美元的投資組合是有效的，能更好地降低投資風險。

關鍵詞：Copula-VaR模型;投資組合;風險度量

中圖分類號：F830.59? 文獻標識碼：A? 文章編號：1673-260X（2021）02-0050-07

1 引言

原油是當今全球經濟最重要的大宗商品之一，通常被視為一種比較優勢和戰略資源。過去的研究表明，油價動態會影響經濟活動和股市。最近，關于原油價格動態及其對實體和金融部門影響的研究受到了幾個重要事實的挑戰。原油價格在過去的三十年里經歷了非常大的波動，而且比從第二次世界大戰到二十世紀七十年代初這段時間更加不穩定。油價更大的不穩定最初出現在1973年和1979年世界石油危機之后。這種趨勢在1980年代石油價格崩潰時得到加強。更重要的是，近期，全球原油價格暴跌，紐約商品期貨交易所WTI原油日內最低已跌至17.31美元/桶，引發了廣大投資者的關注，原油價格波動明顯高于其他能源產品。一直以來也有很多人把黃金當作一種投資工具，主要是因為黃金的價值高，而且黃金具有獨立的特性，它既不受制于國家和貿易市場，也與政府和公司沒有任何牽扯。因此，在經濟環境不好的情況下，投資黃金可以幫助投資者避免可能會發生的問題。作為投資對象，黃金與其它投資對象相比有著不同的屬性。一直以來投資者對這個市場都抱有極大的興趣，通常情況下，黃金的波動率較低，很多人都把黃金當作避險資產，然而這些年來投資黃金的人越來越多以及投機行為的增加，導致了黃金的價格波動變大了。尤其是近期黃金的暴漲暴跌，2020年3月初，黃金伴隨美股的暴跌，也下降了10%以上，而在3月中旬以后，黃金價格開始大漲，在全球股市低迷時，避險的黃金價格創出了七年新高，點燃了全球投資者的熱情，大量資金流入黃金市場。而美元是國際原油價格唯一的結算貨幣和國際黃金市場上的主要標價貨幣，通常與原油和黃金的價格變化呈現負相關的關系。為了盡可能地減少風險，投資者在構造投資組合時通常會選用相關性為負或者較低的資產進行組合。因此，我們在選擇黃金和原油構造投資組合時，再增加美元這種資產，能夠有效地降低金融機構和投資者投資石油和黃金時所面對的風險。如果能準確地測度出三個市場的價格風險，那對中國經濟的平穩運行也具有重要意義。

2 文獻綜述

風險價值（VaR）模型是目前應用最廣泛的風險度量方法之一，已經成為一種綜合不同因素風險的標準方法。金融資產價值評估的核心問題是建立一個能夠準確反映金融資產價值的評估模型。現有的估計模型可以分為兩大類：非參數估計模型和參數估計模型。前者主要包括歷史模擬法。這種方法的主要優點是，它沒有假設風險因素的變化是從一個特定的分布。后者通常對收益做出具體的分布假設，如正態分布，在此基礎上通過分析或模擬計算相應的VaR值。然而，實際上，金融資產的收益通常呈現非正態分布[1]。因此，實證金融學文獻中的許多研究發現，多元正態分布不能給出金融資產組合價值的準確估計，而且往往低估了金融資產組合價值。Bastianin[2]（2009）總結了金融資產收益率數據至少呈現兩種非正態的特征。首先，金融資產收益的聯合分布包含兩種不對稱性。個別股票收益率的分布呈現出偏態或不對稱性，金融資產收益率之間的相關性也呈現出非對稱性。金融資產收益率的第二個非正態特征是峰度較高，這意味著資產收益率的概率分布往往比標準正態分布顯示出較肥的尾部。根據定義，VaR集中于分布的尾部，在多元正態分布的假設下將會被低估。之后，Jorion[3]（2007）提出了t分布并將其應用于建立金融收益率的風險模型，這是因為t分布能夠更準確的描述尾部關系。綜上所述，當使用參數估計模型計算VaR時，聯合多元建模的假設是至關重要的。為了克服由于正態分布假設而引起的這些問題，并考慮到近幾十年來金融資產收益序列大都呈現非正態性以及Copula理論在金融和其他學科的成功應用，我們借助Copula理論來改善VaR的計算。

近年來，Copula理論得到了迅速發展。這首先是因為Sklar[4]（1959）說明了任何n維聯合分布函數都可以分解成n個邊緣分布，這些邊際分布能夠完全地描述n個變量的位置、尺度和形狀參數，而且Copula函數可以完整地描述n個變量之間的相關關系，并證明了著名的Sklar定理。Embrechts等人[5]（1999）首先將這一概念引入到金融文獻中，Copula模型已被廣泛應用于風險管理、期權估值、衍生品資產定價等金融領域。Stoyanov[6]（2010），介紹了Copula的基本概念，詳細地分析了不同類型Copula的用法以及它們在金融風險管理領域的使用。Copula也被用于投資組合風險管理，包括VaR的計算。例如，Cherubini等人[7]（2004）明確使用了copula函數來衡量無條件分布下的投資組合VaR。研究表明，廣義自回歸條件異方差（GARCH）模型及其擴展模型是構建金融資產收益率邊緣分布的常用方法。Longin和Solnik[8]（2001）引入了Copula-GARCH模型，對邊際時間序列分別建立聯合密度函數模型。韋艷華、張世英和孟利鋒[9]（2003）基于Copula理論研究了滬深股市之間的相關性，證明了滬深指數之間的相關性較高，用它們來構建投資組合來降低風險是無效的。趙魯濤，李婷等[10]（2015）利用Copula-VaR模型研究了能源價格之間的相互關系并且計算出了能源投資組合的在險價值，證明了基于Copula-VaR模型計算出的結果較為準確。茍紅軍，陳訊等人[11]（2015）將美元、歐元、日元和港元四種人民幣匯率作為投資組合，利用GARCH-EVT-COPULA方法度量了它們等權重下的風險值。吳高鍵，錢凱等人[12]（2015）基于Copula-VaR模型度量了石油和黃金的資產組合風險值，證明了石油和黃金的投資組合是有效的。王明哲[13]（2017）將滬綜指和深成指作為投資組合，通過實證研究，證明了運用Copula-VaR模型能夠更好地衡量資產組合的風險，并給出了相關的投資建議。劉新和王福豪[14]（2017）建立t-Copula-GARCH模型研究了滬深股市的相關性以及波動特點，進而利用蒙特卡洛模擬方法測算了滬深金融市場的風險值。宮曉莉等[15]35（2018）以GJR-GARCH-Copula模型描述了資產之間的相依性，然后計算投資組合的在險價值VaR，實證結果證明了使用Copula-VaR模型對投資組合進行風險測度能夠提高準確性，進而有效地幫助投資者降低損失。楊坤等[16]（2019）選取巨潮風格系列指數建立異質風格資產組合，利用Copula-GARCH-EVT模型度量了它們等權重下的風險值并基于在險價值VaR的預測結果對組合風險預警系統進行構建，證明了基于組合風險值測度所構建出的風險預警系統能夠較好地實現組合風險的分級預警。林宇等[17]（2019）選取全球七大股票市場的重要指數為研究對象，基于Copula模型來刻畫七個股票市場的相依結構，進而測度組合風險VaR，證明了利用Copula-VaR模型能夠達到優化投資組合的效果，從而為投資者和金融機構提供決策參考。韓超等[18]（2019）以精準計量系統性金融風險為主要目標，選取六家股份制商業銀行上市的日收盤價為研究對象，基于GJR-GARCH模型來刻畫研究對象的邊緣分布，然后基于Copula模型計算VaR并進行VaR的回溯測試，證明了利用Copula模型計算出的VaR更加準確，為系統性金融風險計量提供了新的模型支持。侯葉子和盧俊香[19]（2019）選取上證綜合指數和深證成分指數為研究對象，建立了二元Copula-GARCH模型來刻畫滬深金融市場間的相依關系，結果表明二元t-Copula函數的擬合效果更好。朱孟楠和段洪俊[20]（2019）選取了美元、英鎊、歐元、日元四種外幣的人民幣匯率和十年期國債收益率作為投資組合，基于GARCH-Copula模型和蒙特卡洛模擬方法進行風險測度，結果表明投資組合能夠明顯地分散風險。

綜上所述，Copula理論已廣泛應用于投資組合風險的度量，但大多數文獻所研究是滬深股市指數組合、幾種股票的投資組合和外匯投資組合的風險度量，現有文獻很少有將能源市場、黃金市場以及美元市場結合起來，研究三個市場之間的資產組合風險。因此，本文將原油、黃金、美元作為投資組合，分別建立GARCH模型，利用Copula函數建立聯合分布模型，分析三者之間的波動關系，然后應用VaR模型計算它們等權重與不同權重下的風險值并進行回溯檢驗。

3 實證設計

3.1 數據選取

本文采用布倫特原油期貨價格代表原油市場的價格;采用倫敦金價代表黃金市場的價格;采用美元指數來代表美元市場的價格，出自紐約棉花交易所。數據選取是從2014.05.01到2020.03.13的日收盤價，剔除它們的非公共交易日，共1506組數據，數據來源于大智慧。

3.2 Copula函數的參數估計

Copula函數的參數估計常用的有3種方法，分別是最大似然估計法（ML估計）、分布估計法（IFM估計）、半參數估計法（CML估計）。分布估計法是目前使用最多的一種方法，因為它的計算靈活、方便，而且精確度較高。所以本文采用了兩階段極大似然估計法對Copula模型的參數進行估計，第一步是運用GARCH模型分別對三種資產的收益率序列進行擬合，并從中選出擬合優度最好的GARCH模型并求出相對應的參數;第二步是將第一步中所求出的參數代入Copula密度函數，然后進行參數估計。

3.2.1 邊緣分布函數擬合

本文選取三個GARCH模型（標準GARCH模型、EGARCH模型、GJR-GARCH模型）和3個標準化殘差分布（標準正態分布、標準t分布以及廣義誤差分布）進行組合共有9個GARCH-D類模型。通過對比分析，選出對三個市場來說，擬合效果最優的模型。

3.2.2 Copula函數的選擇

Copula函數是一種連接函數，隨著理論的逐步完善，Copula被用來確定隨機變量之間依賴關系的非參數測度。它提供了一種有效的方法來創建分布，對相關的多數據進行建模。由于相互依賴關系的度量，可以通過首先指定邊際的單變量分布，然后選擇一個Copula來檢查變量之間的相關結構來構建一個多元聯合分布。Copula函數對于金融市場的風險資產建模非常有用，因為它們不僅可以準確地刻畫資產之間的相關結構，還可以幫助投資者可以靈活地構建許多多元分布來適應金融資產，而不需要被限制于維度。引入Copula函數在測度金融資產投資組合的風險中起到了非常重要的作用。

Copula函數有很多不同的形式，而且不同形式對應的特征也不同，在金融領域分析中主要用到的是橢圓族Copula函數和阿基米德族Copula函數。Deheuvels認為最佳的Copula函數應該是最小化的經驗Copula和假設Copula之間的距離，即平方歐式距離。因此本文采用平方歐式距離法來確定最優的Copula函數。

3.3 VaR值的計算

3.3.1 VaR的定義

VaR是指在正常的金融市場條件下，投資組合在目標范圍內和給定置信水平下可能發生的最大預期損失。設q為置信水平，L為預期損益。我們把VaR定義為正數（負損耗）。那么，給定投資組合在t時刻（從t-Δt時刻到t時刻的收益）的VaR，其置信水平為1-q，被定義為：

VaRt（q）=-inf{x|Ft（x）≥q}

其中Ft（x）為t時刻投資組合損益的函數

3.3.2 VaR的計算方法

VaR的計算方法主要有三大類，分別是方差—協方差方法、歷史模擬法和蒙特卡洛模擬法，這三種方法從不同的角度來測度金融資產投資組合的風險價值VaR。本文將利用以上三種方法計算資產組合以及單個資產的VaR值，并對結果進行對比分析，分析三種方法的精確度。

3.4 VaR值的有效性檢驗

在計算出原油、黃金、美元的投資組合的VaR以后，我們要與真實的投資組合損益進行對比來評估不同模型的測度效果。本文采用的Kupiec失敗頻率檢驗法，該檢驗由Kupiec（1995）提出，檢驗有效組合損益的真實值與預期值之間的差異。原假設H0：p=p*的檢驗由似然比（LR）檢驗統計量給出：

LR=-2ln（（1-p*）T-Np*N）+2ln（（1-p）T-NpN

其中T為實際觀察的總天數，N為真實值大于預期值的天數，失敗率p=N/T，假設VaR的置信水平為α，則p*=1-α。

當T足夠大時，LR服從自由度為1的？字2分布。在給定的顯著水平下，存在一個臨界值，首先看LR值是否小于臨界值，如果小于臨界值，這說明VaR的檢驗是有效的;然后通過比較不同模型的失敗率，失敗率較小的模型計算出來的在險價值VaR較為準確。

3.5 不同權重下投資組合的VaR

馬克維茲理論是當代投資組合理論的創始者，其主要思想是，選擇一組多元化的投資組合，將各資產期望收益率的加權平均作為投資組合的期望收益率，將期望收益率的標準差（或方差）作為該組合的風險。通過一定的數學方法，求解出較優的投資組合權重。本文會利用馬科維茲理論計算出10組較優的投資組合權重，然后計算這10組投資權重的VaR值，與等權重的VaR相比較。

4 實證分析

4.1 數據分析

4.1.1 平穩性檢驗

首先我們需要通過一階對數差分方法計算出這三種資產的日收益率。令rt=log■×100，rt是指上述三種資產的日收益率。然后對這三組數據進行平穩性檢驗，使用的方法的ADF檢驗，結果如下表所示。

由上表可知，三種資產的價格序列未全部通過檢驗，而它們的收益率序列p值顯著為0，因此可以拒絕原假設，即序列不存在單位根，可認為是平穩序列，所以本文使用它們的收益率序列來做實證分析。

4.1.2 描述性統計分析

由上表可知，三種資產的日收益率的均值趨向于0，偏度都不為0，說明它們的收益率序列都有拖尾的現象，而且它們的峰度都明顯大于3，說明它們都具有尖峰的特點。通過以上分析可知，它們的日收益率都具有尖峰厚尾的特點，很有可能存在條件異方差，即ARCH效應。

4.1.3 ARCH效應檢驗

本文采用LM檢驗法來檢驗ARCH效應，結果如下表所示。三種資產的收益序列的p值顯著為0而且F統計量顯著，因此可以拒絕原假設，即序列存在ARCH效應。

4.1.4 相關性分析

秩相關，也稱等級相關，用于分析兩個變量之間的相關性。在分析變量的相關性問題中，是非常重要的一類方法。其中最常用的兩種統計量是Kendall的τ（肯德爾系數）和Spearman的ρ（斯皮爾曼系數），也是最具代表性的兩種系數。本文將分別采用這兩種系數來分析原油、黃金、美元之間的相關性。計算結果如下表所示。

由上表可知，兩種秩相關系數都說明原油與黃金之間存在正相關關系，美元與原油、黃金之間存在負相關關系，而且關聯程度都不大。由此可以推測要用這三種資產進行組合投資是可行的，能夠起到分散風險的作用。

4.2 Copula函數的參數選擇

4.2.1 邊緣分布函數擬合

通過對比分析，EGARCH-t模型對應的AIC值為-5.114282最小，擬合效果最優，因此我們采用EGARCH-（1，1）-t模型擬合布倫特原油的日收益率序列，其參數估計結果如下表所示。

通過對比分析，GJR-GARCH（1，1）-t模型對應的AIC值為-6.903302最小，擬合效果最優，因此我們采用GJR-GARCH（1，1）-t模型擬合現貨黃金的日收益率序列，其參數估計結果如下表所示。

通過對比分析，GARCH（1，1）-t模型對應的AIC值為-8.210638最小，擬合效果最優，因此我們采用GARCH（1，1）-t模型擬合美元指數的日收益率序列，其參數估計結果如下表所示。

4.2.2 Copula函數的參數選擇

通過計算歐式平方距離可知，三元正態Copula函數與經驗Copula函數的平方歐式距離dN2=0.2204，三元t-Copula函數與經驗Copula函數的平方歐式距離dt2=0.1823。由于dt2

4.3 VaR值的計算

利用三種方法計算VaR值，結果如下表所示。

根據4.10可知，利用方差-協方差方法所計算出的VaR值偏小，歷史模擬法計算出的VaR值偏大，基于Copula-GARCH模型的蒙特卡羅模擬計算出來的VaR較為準確。而且原油的風險較高，美元的風險最低，黃金的風險在二者之間，投資組合的風險值介于三者之間。

4.4 VaR值的檢驗

下表是利用Kupiec似然比率檢驗法對投資組合VaR的檢驗結果。

由下表可知，歷史模擬法計算出來的VaR值失敗率雖然是最小的，但是無論在哪種置信區間下，LR值均大于臨界值，故VaR值的計算是失效的。基于Copula-GARCH模型的蒙特卡羅模擬的失敗率較低，而且LR值均小于臨界值，所以VaR值的計算是有效的。因此較其他兩種方法來說，根據Copula-GARCH-MC模型計算出來的結果比較準確。

4.5 不同權重下投資組合的VaR

由上表可以看出，不同權重下的VaR值是不同的，而且全部低于等權重下的VaR值;并且隨著原油權重的降低，美元權重的增加，VaR值越來越小，這也說明原油市場的風險較高，美元的風險較低。

5 結論

本文基于Copula-VaR模型對原油、黃金和美元的價格收益率序列進行了實證研究，得到以下三個結論：

（1）原油、黃金以及美元的投資組合是有效的，其風險介于單一資產的風險之間。其中原油市場的風險較高，美元市場的風險較低，因此在投資時，可以將投資原油的權重適當降低，美元的權重適當提高。

（2）按照最優投資組合進行投資，其風險值全部小于等權重下的投資組合風險值。因此在資金固定的情況下進行組合投資時，不同資產的權重分配十分重要，如果分配不合理，投資組合策略就不能達到最大的避險效果。

（3）相比于方差-協方差法和歷史模擬法，基于Copula-VaR模型計算出來的VaR值較為準確。

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