針對二維雙曲守恒律方程求解方法的研究

呂夢迪

(陜西國際商貿學院，陜西 咸陽 712046)

1 引言

計算流體力學是基于數值方法對滿足定解條件的流體力學方程進行的離散化處理，借助于電子計算機求得相應方程的數值解，并對數值解進行進一步的分析和處理，通過數值模擬的過程得到流體的運動規律，進而解決流體運動中遇到的實際問題。

雙曲守恒律方程的數值解是以計算機為工具對雙曲守恒律方程進行數值求解的一種方法。早在二十世紀三十年代，國外數學家就開始了偏微分方程的理論研究，Courant，Friedrichs和Lewy等人對雙曲守恒律方程的解的存在性和惟一性進行了最早的研究，并給出了著名的穩定性判別條件--CFL條件，為差分法的進一步發展打下了堅實的基礎。Lax在1954年提出了弱解的概念，且在弱解意義下允許間斷解的存在，但是弱解并不是惟一確定的，因此很多數值方法無法保證其具有物理意義。滿足“粘性消失”的Cauchy問題的解在任何時刻是唯一的具有物理意義的解，這種解被稱為“熵解”，Lax于1973年從熱力學第二定律出發，證明了熵穩定條件可由一個單元熵不等式來表示。滿足熵條件的守恒型差分格式被稱為熵穩定格式，不滿足熵穩定條件的解被稱為非物理解，其數值模擬結果表現出常見的“膨脹激波”、“奇偶失聯”和“紅斑”等非物理現象。

2 國內外研究現狀及發展趨勢

為了達到熵穩定條件，同時避免非物理現象的產生，人們常用的做法是通過引入額外的耗散機制來抑制熵的變化。理論研究在格式的相容性、收斂性和穩定性方面取得了卓有成效的發展，Lax由等價性定理建立了穩定性和收斂性之間的關系，出現了Richtmyer和Lax的Fourier分析法。隨著計算機科學技術的發展和應用，出現了各種數值方法，如Tadmor[1]于1987年提出了二階的熵守恒格式，并且證明了一個三點格式是熵穩定的，只需含有比熵守恒格式更多的粘性，熵穩定這一概念為獲得具有物理意義且數值上穩定的解提供了思路。2006年，Roe[2]在2006年將自己提出的數值粘性項添加在熵守恒格式上，以此得到了ERoe格式，該熵穩定格式能夠有效地避免解在間斷區域的偽振蕩現象，但是該格式是一階精度的。2009年，Roe和Ismail[3]在2009年深入研究了解在跨過激波時熵增在數量上是激波強度的立方階量級，即熵相容格式，該格式容易達到熵穩定條件且數值結果更符合真實的物理現象。封建湖、鄭素佩、程曉晗、任炯、劉友瓊[4-7]等人構造了高分辨率熵相容格式并成功運用于雙曲守恒律方程的求解中。

由于熵穩定格式的解在間斷處會出現過度抹平的現象，利用傳統的高精度格式求解方程在間斷處會產生偽振蕩現象，因此，如何構造高精度的數值計算方法，使之能夠精確地捕捉到激波和這些間斷，并且避免偽振蕩地產生，一直以來都是科研工作者致力于研究的焦點。針對以上問題，以Harten為首的科研者提出了高分辨率TVD（Total Variation Diminishing）格式[8]，從此打開了高精度格式的構造之路。隨之又出現了TVB（Total Variation Bounded）格式，ENO（Essentially Non-oscillatory）格式[9]、WENO（Weighted ENO）格式[10]和CWENO(Central WENO) 格式[11]等。鄭素佩、呂夢迪[12-15]等人構造了三階、四階、五階的緊湊CWENO格式，并成功應用于雙曲守恒律方程的求解中。

3 二維雙曲守恒律方程的數值求解方法

雙曲守恒律方程是計算流體力學中一類反映物理現象和規律的重要方程。通常情況下，二維守恒律方程具有如下形式：

即方程(1)也可以寫成：

此方程(1)被稱為二維雙曲型守恒律方程。

3.1 熵守恒格式

給定一組熵對(P,Q,R)，對于 ?u∈Rn，均有：

該格式被稱為具有二階精度的熵守恒格式。

3.2 熵穩定格式

熵守恒格式能夠保持總熵不變。但在激波等間斷處會產生振蕩，根據比較原則，若在熵守恒格式上添加合適的耗散項，使得總熵有所耗散，由此避免偽振蕩地產生，則該格式被稱為熵穩定格式。Roe 用熵守恒格式代替Roe 通量函數中的算術平均數，從而得到新的數值通量函數為：

其中以x方向為例，可知：

該格式被稱為熵穩定格式。

3.3 熵相容格式

Ismail 發現熵穩定格式中的粘性項的解在跨過激波時達不到應有的熵增，若要達到應有熵增，就需要在熵穩定格式的基礎上添加額外的耗散項來滿足熵的色散，其數值通量函數為：

3.4 高分辨率熵穩定格式

分別給(12)、(13)式添加適當的限制器，得到高分辨率雙曲守恒律方程的熵穩定格式的數值通量為：

4 結語

本文針對二維雙曲守恒律方程的求解問題，主要介紹了熵守恒、熵穩定、熵相容格式，并分析了提高格式精度的高分辨率熵穩定格式，這些方法易于計算機編程實現以及向高維雙曲守恒律方程的推廣，即對雙曲守恒律方程的求解問題有重要的研究意義。但對于二維雙曲守恒律方程，有一些問題需要我們繼續研究。比如如何更好地控制二維問題中常出現的“紅斑”現象；如何基于非結構網格構造高分辨率的熵穩定格式；如何提高格式的分辨率以及二維甚至多維熵穩定格式高分辨率理論研究等。