最大值與最小值的數(shù)學(xué)期望的幾種求法

王瑞瑞 李金偉 李彩娟

【摘要】針對(duì)一類特殊的多維隨機(jī)變量函數(shù)——最大值和最小值的數(shù)學(xué)期望求解問(wèn)題，本文給出了四種計(jì)算方法，并指出各種計(jì)算方法的適用情況，以期能夠使學(xué)生開(kāi)闊思路，做到舉一反三、觸類旁通.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)期望;分布;最大值;最小值

【基金項(xiàng)目】河南省高等學(xué)校教改項(xiàng)目（2019SJGLX504），2020年度信陽(yáng)市哲學(xué)社會(huì)科學(xué)規(guī)劃項(xiàng)目（2020SH021），信陽(yáng)學(xué)院校級(jí)教改項(xiàng)目（2020YJG018，2019YJG26）

1引言

數(shù)學(xué)期望，又稱期望或均值，是隨機(jī)變量按概率的加權(quán)平均，表征其概率分布的中心位置[1].數(shù)學(xué)期望是概率論早期發(fā)展中就已產(chǎn)生的一個(gè)概念，最初起源于歷史上著名的“分賭本問(wèn)題”[2].隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望研究的文獻(xiàn)較多，如，王瑞瑞等關(guān)于負(fù)二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望和方差的一種求法[3]，丁黎明關(guān)于隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的教學(xué)實(shí)踐與探索[4]，孫莉敏等關(guān)于連續(xù)隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義式的推導(dǎo)[5]等.

在實(shí)際生活中，我們常常要用到一類特殊的多維隨機(jī)變量的函數(shù)——最大值和最小值.如，為研究某地區(qū)未來(lái)五十年澇災(zāi)或干旱發(fā)生的可能性，我們就需要研究該地區(qū)過(guò)去五十年中最大年降雨量和最小年降雨量.又如，實(shí)際生活中某地區(qū)的最大風(fēng)速、最大車流量、最小損耗等均與最大值和最小值有直接的關(guān)系.同時(shí)，計(jì)算最大降雨量、最大風(fēng)速、最大車流量等的平均值，均需計(jì)算最大值的數(shù)學(xué)期望;而計(jì)算最小降雨量、最小損耗等的平均值，則需要計(jì)算最小值的數(shù)學(xué)期望.

而關(guān)于最大值和最小值這類特殊的多維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望研究的文獻(xiàn)資料較少，羅建華僅給出了二維正態(tài)分布的最大值數(shù)學(xué)期望的求法[6，7].故筆者結(jié)合自身教學(xué)實(shí)踐，給出了最大值和最小值數(shù)學(xué)期望的四種計(jì)算方法，并指出各種計(jì)算方法的適用情況.

2預(yù)備知識(shí)

定理1[1，2]若隨機(jī)變量X的分布列為p（xi）或密度函數(shù)為p（x），則X的某一函數(shù)g（X）的數(shù)學(xué)期望為

E[g（X）]=∑ig（xi）p（xi），離散，∫+∞-∞g（x）p（x）dx，連續(xù)

定理2[1，2]若二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布列為p（xi，yj）或聯(lián)合密度函數(shù)為p（x，y），則Z=g（X，Y）的數(shù)學(xué)期望為

E[g（X，Y）]=∑i∑jg（xi，yj）p（xi，yj），離散，∫+∞-∞∫+∞-∞g（x，y）p（x，y）dxdy，連續(xù)

3最大值和最小值數(shù)學(xué)期望的幾種求法

方法一直接計(jì)算法.先寫(xiě)出（X，Y）的聯(lián)合分布列或聯(lián)合密度，再利用上述定理2直接對(duì)最大值最小值的數(shù)學(xué)期望進(jìn)行求解.

例1系統(tǒng)L由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng)L1，L2并聯(lián)而成，設(shè)L1，L2的壽命分別為X，Y，且均服從指數(shù)分布Exp（λ），試求該系統(tǒng)L的平均壽命.

解由于當(dāng)且僅當(dāng)L1，L2都損壞時(shí)，系統(tǒng)L才停止工作，所以系統(tǒng)L的壽命為Z=max{X，Y}，

故求系統(tǒng)L的平均壽命即求E（max{X，Y}）.

因X和Y獨(dú)立同分布于指數(shù)分布Exp（λ），從而（X，Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為

p（x，y）=λ2e-λx-λy，x>0，y>0，0，other.

由定理2，得

E（Z）=∫+∞0∫+∞0max{x，y}·λ2e-λx-λydxdy

=∫+∞0∫x0x·λ2e-λx-λydxdy+∫+∞x∫y0y·λ2e-λx-λydxdy

=∫+∞0xλ2e-λxdx∫x0e-λxdy+∫+∞0yλ2e-λydy∫y0e-λxdx=∫+∞0x·λe-λxdx+∫+∞0e-2λxdx=1λ+12λ=32λ.

注1 方法一通過(guò)對(duì)最大值max{X，Y}討論進(jìn)行分段積分達(dá)到計(jì)算的目的（同理可對(duì)最小值min{X，Y}討論），在計(jì)算過(guò)程中充分運(yùn)用了分部積分法、換元積分法、變上限積分和常見(jiàn)分布的數(shù)學(xué)期望公式等內(nèi)容.上述方法雖能將二維隨機(jī)變量的最大值或最小值的數(shù)學(xué)期望求出，但計(jì)算過(guò)程較煩瑣.特別地，當(dāng)面對(duì)的是n維隨機(jī)變量的最大值或最小值的數(shù)學(xué)期望求解時(shí)，上述方法的計(jì)算過(guò)程會(huì)更加復(fù)雜，此時(shí)我們可采用第二種求解方法.

方法二先求出最大值或最小值的分布，然后根據(jù)定理1求出其數(shù)學(xué)期望.

例2設(shè)在區(qū)間（0，1）上隨機(jī)抽取n個(gè)點(diǎn)，求相距最遠(yuǎn)的兩點(diǎn)間距離的數(shù)學(xué)期望.

解若記從區(qū)間（0，1）上隨機(jī)抽取的n個(gè)點(diǎn)為X1，X2，…，Xn，則X1，X2，…，Xn獨(dú)立同分布于（0，1）上的均勻分布.又記Y=max{X1，X2，…，Xn}，Z=min{X1，X2，…，Xn}，則相距最遠(yuǎn)的兩點(diǎn)間距離即為Y-Z.因此，本題即求最大值與最小值差的數(shù)學(xué)期望E（Y-Z）.

因X1，X2，…，Xn獨(dú)立同分布于（0，1）上的均勻分布，故其密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為

p（x）=1，0

故Y=max{X1，X2，…，Xn}的分布函數(shù)為

FY（y）=P（Y≤y）=P（max{X1，X2，…，Xn}≤y）

=P（X1≤y，X2≤y，…，Xn≤y）=P（X1≤y）P（X2≤y）…P（Xn≤y）=[F（y）]n=yn，0

從而Y的密度函數(shù)為pY（y）=nyn-1，0

同理Z=min{X1，X2，…，Xn}的分布函數(shù)為

FZ（z）=P（Z≤z）=P（min{X1，X2，…，Xn}≤z）

=1-P（min{X1，X2，…，Xn}>z）

=1-P（X1>z，X2>z，…，Xn>z）

=1-（1-F（z））n=1-（1-z）n，0

從而Z的密度函數(shù)為pZ（z）=n（1-z）n-1，0

由定理1，可知

E（Y）=∫10y·nyn-1dy=nn+1，

E（Z）=∫10z·n（1-z）n-1dz=∫10（1-t）·ntn-1dt（t=1-z）=tn10-nn+1tn+110=1-nn+1=1n+1.

從而，相距最遠(yuǎn)的兩點(diǎn)間距離的數(shù)學(xué)期望為

E（Y-Z）=nn+1-1n+1=n-1n+1.

注2關(guān)于多維隨機(jī)變量的最大值、最小值的數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，相較于計(jì)算多重積分，計(jì)算定積分更加容易，故方法二是先求出多維隨機(jī)變量的最大值、最小值的分布，然后將多維隨機(jī)變量的最大值、最小值的數(shù)學(xué)期望的多重積分計(jì)算轉(zhuǎn)化為一維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定

積分計(jì)算.

顯然例1可用方法二求解，但例2一般不用方法一求解.由于方法二需要先求出最大值、最小值的分布函數(shù)，故當(dāng)隨機(jī)變量Xi的分布函數(shù)不存在顯式表達(dá)式時(shí)，方法二則不適用.如例3，因?yàn)榉恼龖B(tài)分布的隨機(jī)變量的分布函數(shù)沒(méi)有顯式表達(dá)式.此時(shí)，可以考慮利用方法三求解最大值、最小值的數(shù)學(xué)期望.

方法三利用max{X，Y}=X+Y+X-Y2和min{X，Y}=X+Y-X-Y2求解.

例3設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，都服從正態(tài)分布N（μ，σ2），試證E（max{X，Y}）=μ+σπ.

證因max{X，Y}=X+Y+X-Y2，故

E[max{X，Y}]=12[EX+EY+EX-Y].

由X，Y獨(dú)立同分布于正態(tài)分布N（μ，σ2），可知EX=EY=μ，且Z=X-Y～N（0，2σ2），故Z的密度函數(shù)為pZ（z）=12σπe-z24σ2，-∞

EX-Y=EZ=∫+∞-∞z12σπe-z24σ2dz

=2∫+∞0z·12σπe-z24σ2dz（被積函數(shù)為偶函數(shù)）

=-4σ22σπe-z24σ2+∞0=2σπ.

于是

E[max{X，Y}]=EX+EY+EX-Y2=μ+σπ.

結(jié)論得證.

注3方法三更適用于“兩個(gè)”隨機(jī)變量的最大值、最小值的數(shù)學(xué)期望的求解問(wèn)題，且要求容易求出差（X-Y）的分布，從而該方法也將多維隨機(jī)變量最大值、最小值的數(shù)學(xué)期望的多重積分計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定積分計(jì)算問(wèn)題.當(dāng)（X，Y）的聯(lián)合密度函數(shù)p（x，y）的非零區(qū)域D關(guān)于x，y具有輪換對(duì)稱性，即若把x與y對(duì)調(diào)后，區(qū)域D不變（或區(qū)域D關(guān)于y=x對(duì)稱）時(shí)，還可用如下方法四求解最大值、最小值的數(shù)學(xué)期望.

方法四利用二重積分的輪換對(duì)稱性進(jìn)行計(jì)算.

例4設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且都服從正態(tài)分布N（0，1），試求E（min{X，Y}）.

解因X和Y相互獨(dú)立，且都服從正態(tài)分布N（0，1），從而（X，Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為

p（x，y）=12πe-x2+y22，-∞

由定理2，得

E（min{X，Y}）=∫+∞-∞∫+∞-∞min{x，y}·12πe-x2+y22dxdy（*）

當(dāng)y

∫+∞-∞∫x-∞y·12πe-x2+y22dydx（1）

當(dāng)y≥x時(shí)，（*）式右端的積分為

∫+∞-∞∫y-∞x·12πe-x2+y22dxdy（2）

由于式（1）（2）積分中x與y對(duì)調(diào)后，積分表達(dá)式不變，故由輪換對(duì)稱性，得

E（min{X，Y}）=2∫+∞-∞∫x-∞y·12πe-x2+y22dydx =1π∫+∞-∞e-x22-e-y22x-∞dx

=-1π∫+∞-∞e-x2dx=-1π.

注4由上例可知，方法四適用于二維（多維）隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)的非零區(qū)域D把x與y對(duì)調(diào)后，區(qū)域D不變，即區(qū)域D關(guān)于y=x對(duì)稱的情形.顯然例4也可以用方法三求解，但例3則不能用方法四求解.

4結(jié)語(yǔ)

最大值與最小值作為一類特殊的多維隨機(jī)變量的函數(shù)，其應(yīng)用的廣泛性使得它們對(duì)數(shù)學(xué)期望的研究顯得尤為重要.本文所給出的幾種求解方法，涉及數(shù)學(xué)期望的定義、指數(shù)分布、均勻分布、正態(tài)分布、定積分、變上限積分、多重積分、偶函數(shù)的積分、輪換對(duì)稱性、差的分布等重要內(nèi)容.學(xué)生能夠理解并掌握相關(guān)概念公式，準(zhǔn)確熟練地運(yùn)用概率論和數(shù)學(xué)分析知識(shí)是以上各種方法得以實(shí)現(xiàn)的前提和關(guān)鍵.概率論中一題多解的情況有很多，作為教師，在平時(shí)的教學(xué)中要對(duì)學(xué)生進(jìn)行必要的創(chuàng)造性思維能力的訓(xùn)練，從而不斷激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性，培養(yǎng)其創(chuàng)新能力.

【參考文獻(xiàn)】

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