基于機理分析法建立數學模型解決實際問題
——6.9二元一次方程組及其解法

付慧玲

（上海市靜安區實驗中學，上海 200000）

眾所周知，機理分析法是通過對系統內部原因（機理）的分析研究，從而找出其發展變化規律的一種科學研究方法，機理分析法立足于揭示事物內在的規律。建立數學模型[1]對現實情境問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決實際問題[2]；在初中階段可以通過用代數式、方程、不等式、函數等表述數量關系的，體會模型的思想，建立符號意識。建立數學模型是一種數學的思考方法，也是運用數學符號語言與方法通過抽象、構建能解決實際問題的一種數學手段。

一、在教學的過程中確定問題的本質，探尋知識間的聯系

例如，在學習上海教育出版社九年義務教育課本6.9二元一次方程組及其解法的過程中，開始有一個實際問題，中國古代的《孫子算經》中記載了一個有趣的雞兔同籠問題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？”

我們將此問題抽象為兩個數學等量關系，設籠中有雞有x只，兔有y只，根據題意，得：

該實際問題的用途是為了引出二元一次方程組的概念及其解法。在本節課中，我們完成了具體的既定要求的教學目標，但其實我們可以繼續思考學習，繼續研究，假設這里的系數分別為a1,1b,c1,a2,b2,c2，那么我們就可以得到一個一般的二元一次方程組，從而建立了一個二元一次方程組模型：不難發現，該模型不僅僅可以解決“雞兔同籠”問題，也可以解決“雞鴨同籠”等“某某同籠”問題，同樣可以解決“物品價格”以及“班級人數”等兩個等量關系的問題，如下面三個問題：

問題1、參觀上海科技館的成人票、學生票分別為60元、45元。一天、科技館賣出成人票、學生票共1萬張，票務收入為51萬元，問這兩種票各售出多少張？

解：設售出成人票x萬張，學生票y萬張根據題意，得

問題2、甲、乙兩件商品按原價售出可得營業額140元，因季節原因，甲商品提價20%，乙商品降價20%，售出后的營業額比原標價少4元。問甲商品提價多少元？乙商品降價多少元？

解：設甲商品原報價x元，乙商品原標價y元，根據題意，得問題3、六年級（1）班、（2）班各有44人，兩個班都有一些同學參加課外天文小組。（1）班參加的人數恰好是（2）班沒有參加的人數的；（2）班參加的人數恰好是（1）班沒有參加的人數的。問六年級（1）、（2）班沒有參加天文小組的各有多少人。

解：設六年級（1）班沒有參加天文小組的有x人，（2）班沒有參加的有y人，根據題意，得

不難發現，以上幾個問題所列的方程組只有系數不同而已。

二、關注學生的認知水平、注重知識間的螺旋上升

繼續螺旋上升，在一次函數的應用中該模型的解就是兩個一次函數的交點，這樣問題就從數轉化到了圖形的問題上，由數到形的轉化是知識難度的提高，也是學生認知水平的提升。我們知道圖形的交點在視覺上是直觀的，而如何求解在剛接觸的時候稍有困難，那么教師就可以引導學生探尋問題的本質：聯立兩個一次函數的表達式，把求兩個一次函數交點的問題就轉化為了舊知識—求解二元一次方程組的解。如下面的問題：

問題1、如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y=2x-1與一次函數y=5-x相交于點B（2，3）；解二元一次方程組的解為

通過對二元一次方程組模型的認識學習，在熟知模型后，學生在預備年級不用被看似復雜的實際問題蒙蔽雙眼、阻礙前行的道路，讓他們有足夠的信心解決求兩個等量關系的實際問題，同時幫助他們避免深陷題海的泥潭；一個模型的學習不僅僅是著眼于解決當下遇到的實際問題，它也可以應用到之后求兩個一次函數圖像的交點問題。在這樣一個過程中教師的教學有助學生知識建構；在學習的過程中學生也完善了自我的知識體系。

三、滲透學習知識的類比方法，培養知識遷移的能力

二元一次方程組模型的學習方法可以類比到一元二次方程及一元二次函數的學習上，也就是說學生學習的知識是不同的，但是學習知識的方法可以類比，注重知識與知識之間的類比能夠加深對數學知識和方式方法的理解和掌握，更深層次的理解數學知識。建立數學模型[3]的目標比較明確，在教學過程中能夠有效地降低教學的難度；建立數學模型[4]除了能夠解決抽象化的問題，還能夠引導學生完善自身基礎知識的掌握程度，從而幫助學生知識體系建構[5]，促使學生提升創新力和邏輯推理能力，同時能夠培養知識的遷移能力。

運用機理分析法建立數學模型是實現用數學知識解決實際問題的基礎，對初中階段的學生而言起點較低，掌握起來比較簡單、快捷，同時也具有一定程度上的趣味性；在教學的過程中，運用機理分析法探索數量之間的關系，深入研究等量關系之間的實際意義，加以適當的延伸，滲透符號意識，加深模型印象，幫助學生擺脫題海戰術的漩渦，樹立解決實際問題的信心。