考慮姿軌耦合的航天器高精度實(shí)時(shí)導(dǎo)航定軌方法

楊盛慶，陳 樺，徐煒莉，劉美師，王 禹，鐘 超

（1.上海航天控制技術(shù)研究所，上海 201109；2.上海市空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 201109；3.上海市宇航學(xué)會(huì)，上海 200235）

0 引言

隨著體系的日趨完善，全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)（GNSS）測(cè)量系統(tǒng)已成為近地軌道上航天器軌道確定的主要手段［1-2］。基于GNSS 測(cè)量信息能夠?qū)崿F(xiàn)高精度的實(shí)時(shí)導(dǎo)航與定軌，是實(shí)現(xiàn)航天器自主智能軌道控制的基礎(chǔ)［3-4］。傳統(tǒng)的軌道動(dòng)力學(xué)，通常將航天器視為質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行分析和軌道積分仿真。實(shí)際上，航天器在進(jìn)行姿軌耦合的剛體運(yùn)動(dòng)。作為自主軌控輸入?yún)?shù)的實(shí)時(shí)導(dǎo)航與定軌領(lǐng)域，缺少姿軌耦合方面的研究工作。GNSS 接收機(jī)的原始測(cè)量數(shù)據(jù)基于瞬時(shí)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，測(cè)量點(diǎn)是GNSS 天線(xiàn)的相位中心［5］。早期，由于GNSS 測(cè)量精度在10 m 到100 m量級(jí)，GNSS 天線(xiàn)安裝位置與航天器質(zhì)心偏差造成的定軌誤差基本可以忽略［6］。與之相反，相對(duì)運(yùn)動(dòng)的研究?jī)?nèi)容為編隊(duì)坐標(biāo)系下的相對(duì)軌道特征參數(shù)。相對(duì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中姿態(tài)變化對(duì)相對(duì)測(cè)量信息造成的影響較為明顯，姿軌耦合運(yùn)動(dòng)造成的影響不容忽視［7-8］。此外，相較絕對(duì)軌道的參數(shù)確定，相對(duì)運(yùn)動(dòng)可以忽略軌道攝動(dòng)環(huán)境中的長(zhǎng)期性和周期性影響。因此，航天器姿軌耦合問(wèn)題的研究工作，起初主要針對(duì)航天器的交匯對(duì)接、在軌服務(wù)等任務(wù)［9-10］。當(dāng)GNSS 測(cè)量達(dá)到米級(jí)精度，導(dǎo)航與定軌的精度要求也隨之提高，單點(diǎn)幾何定軌的算法中GNSS 天線(xiàn)的安裝關(guān)系不能再被忽略。

目前，高精度的絕對(duì)軌道定軌工作主要集中在事后精密定軌領(lǐng)域［11-12］。經(jīng)精密定軌處理的軌道數(shù)據(jù)在地心軌道系徑切法方向已達(dá)到厘米級(jí)精度，可以作為軌道控制效果評(píng)估的手段［13-15］。但是，由于事后精密定軌歷史數(shù)據(jù)充分，數(shù)據(jù)批處理過(guò)程中位速參數(shù)的確定可以采用數(shù)據(jù)擬合插值，不僅僅依賴(lài)于測(cè)量信息［16］。但是，姿軌控系統(tǒng)的星載導(dǎo)航與定軌算法對(duì)實(shí)時(shí)性要求較高。算法一般采用基于測(cè)量信息的貫序數(shù)據(jù)處理方法，在構(gòu)造濾波算法時(shí)需要針對(duì)GNSS 天線(xiàn)的安裝關(guān)系進(jìn)行精準(zhǔn)的位速修正［17］。研究表明，GNSS 天線(xiàn)相位中心不同于天線(xiàn)的幾何參考點(diǎn)（Antenna Reference Point，ARP），需要結(jié)合相位中心偏差（Phase Center Offset，PCO）和天線(xiàn)相位中心變化（Phase Center Variations，PCV）進(jìn)行優(yōu)化，能夠使事后精密定軌得到毫米級(jí)的精度提升［18］。因?yàn)镚NSS 天線(xiàn)相位中心的變化（毫米級(jí)）相對(duì)于天線(xiàn)的安裝關(guān)系（米級(jí)）是一個(gè)小量［13］，本文主要針對(duì)天線(xiàn)的幾何參考點(diǎn)與航天器質(zhì)心的安裝關(guān)系開(kāi)展研究。

航天器作為剛體，不同質(zhì)點(diǎn)所受的引力偏差造成的影響表現(xiàn)為重力梯度力矩［19-20］。分析剛體的自由運(yùn)動(dòng)情況較為復(fù)雜，考慮到航天器在軌的姿態(tài)指向與軌道系的關(guān)系相對(duì)明確，可以圍繞其姿態(tài)特征提煉出針對(duì)安裝關(guān)系的位速修正項(xiàng)，進(jìn)而分析由安裝關(guān)系造成的定軌誤差的解析解及其周期變化規(guī)律。航天器星載軟件的實(shí)時(shí)導(dǎo)航與定軌，通常采用基于測(cè)量信息轉(zhuǎn)換為慣性系狀態(tài)變量后的擴(kuò)展卡爾曼濾波算法。濾波算法中的狀態(tài)估計(jì)方程以地球引力中心項(xiàng)為主要因素，濾波過(guò)程能夠有效修正狀態(tài)量估計(jì)信息和GNSS 測(cè)量信息的白噪聲。對(duì)于在軌的穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)，姿態(tài)抖動(dòng)和GNSS 天線(xiàn)安裝關(guān)系導(dǎo)致的位速偏差可以視為狀態(tài)量信息與測(cè)量信息之間的噪聲。但是，針對(duì)SAR 衛(wèi)星載荷工作的多普勒頻移原理，往往需要進(jìn)行偏航為主的姿態(tài)導(dǎo)引補(bǔ)償［21-22］。此刻，GNSS 天線(xiàn)與航天器質(zhì)心之間的差異對(duì)導(dǎo)航與定軌的影響明顯。本文結(jié)合軌道動(dòng)力學(xué)原理，提出了考慮安裝關(guān)系的高精度GNSS 測(cè)量信息模擬方法，圍繞具有姿態(tài)導(dǎo)引要求的航天器實(shí)時(shí)導(dǎo)航與定軌算法，數(shù)學(xué)仿真證明了GNSS 天線(xiàn)安裝關(guān)系補(bǔ)償?shù)谋匾浴?/p>

1 軌道動(dòng)力學(xué)原理

1.1 二體問(wèn)題的積分常數(shù)

已知慣性系位置r、速度v，二體相對(duì)運(yùn)動(dòng)的微分方程［23-24］為

矢量叉積滿(mǎn)足

式中：r×v為積分常量，定義為軌道的動(dòng)量矩為［1］

使用點(diǎn)積式（1），可得

作為積分常數(shù)，可以推導(dǎo)得到活力公式為

式中：a為軌道半長(zhǎng)軸。

利用橢圓方程半通徑的定義p=a(1?e2)及，軌道半長(zhǎng)軸滿(mǎn)足

1.2 慣性系下的剛體運(yùn)動(dòng)

考慮空間中的剛體運(yùn)動(dòng)，剛體中任意質(zhì)點(diǎn)可以描述為慣性空間oIxIyIzI的平移運(yùn)動(dòng)和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，如圖1 所示，慣性空間中質(zhì)點(diǎn)mi的位置為

圖1 空間剛體的運(yùn)動(dòng)學(xué)Fig.1 Kinematics of rigid body in space

式中：A為本體系相對(duì)于慣性空間的旋轉(zhuǎn)矩陣；A?Δrb為質(zhì)點(diǎn)mi關(guān)于質(zhì)心的修正項(xiàng)。安裝關(guān)系Δrb不變的情況下，慣性空間中質(zhì)點(diǎn)mi的速度為

因此，軌道半長(zhǎng)軸的瞬態(tài)偏差為

1.3 軌道運(yùn)動(dòng)特征

航天器作為剛體，在軌道運(yùn)動(dòng)過(guò)程中姿態(tài)特征的一種為保證星體的穩(wěn)態(tài)對(duì)地指向。理想情況是航天器的本體系與軌道系重合，即零姿態(tài)運(yùn)動(dòng)［25］。在理想情況的假設(shè)下，分析無(wú)攝軌道運(yùn)動(dòng)在慣性空間中的閉合曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。如圖2 所示，本體系在一個(gè)軌道周期內(nèi)的指向變化相對(duì)于繞其yb旋轉(zhuǎn)1 周。

圖2 瞬時(shí)軌道運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系Fig.2 Coordinate systems describing instantaneous orbital motion

不妨假設(shè)緯度幅角u=0 處的本體系到慣性系轉(zhuǎn)換矩陣為A0，不同緯度幅角處A(u)=Ry(u) ?A0。導(dǎo)數(shù)形式，其中，n為軌道角速度。

在零姿態(tài)運(yùn)動(dòng)假設(shè)的基礎(chǔ)之上，考慮本體系三軸獨(dú)立偏離質(zhì)心±2 m 的質(zhì)點(diǎn)，進(jìn)行速度項(xiàng)補(bǔ)償與不補(bǔ)償?shù)臄?shù)值仿真。仿真分析如圖3 和圖4 所示，可以發(fā)現(xiàn)在進(jìn)行式（8）所示速度項(xiàng)修正的基礎(chǔ)之上，本體系X軸（對(duì)應(yīng)軌道系航向）安裝與質(zhì)心的位置偏值對(duì)半長(zhǎng)軸確定的影響軌道周期明顯，修正后半長(zhǎng)軸確定精度改良明顯。在本體系Y軸（對(duì)應(yīng)軌道系法向）安裝與質(zhì)心的位置偏值對(duì)半長(zhǎng)軸確定的影響較小。在本體系Z軸（對(duì)應(yīng)軌道系徑向指向地心）安裝與質(zhì)心的位置偏值對(duì)半長(zhǎng)軸確定存在相同極性的偏值現(xiàn)象，可以理解為在零姿態(tài)運(yùn)動(dòng)情況下質(zhì)點(diǎn)掃過(guò)的行程不同。此外，不同軸偏離質(zhì)心量的極性會(huì)影響波動(dòng)周期的相位特性。

圖3 不進(jìn)行速度項(xiàng)修正的半長(zhǎng)軸確定偏差Fig.3 Semi?axis determing errors without velocity correction

圖4 進(jìn)行速度項(xiàng)修正的半長(zhǎng)軸確定偏差Fig.4 Semi?axis determining errors with velocity correction

2 GNSS 天線(xiàn)安裝與航天器質(zhì)心

2.1 GNSS 天線(xiàn)的安裝關(guān)系

在半長(zhǎng)軸確定偏差的力學(xué)解析解基礎(chǔ)之上，進(jìn)一步分析姿態(tài)運(yùn)動(dòng)對(duì)半長(zhǎng)軸確定的影響。已知GNSS 天線(xiàn)幾何中心相對(duì)航天器質(zhì)心的安裝關(guān)系為Δrb=[Δx，Δy，Δz]T，使用刻畫(huà)軌道運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換慣例，將航天器本體系到慣性系的轉(zhuǎn)換分為軌道系到慣性系、本體系到軌道系兩個(gè)步驟，物理含義清晰。如圖5 所示，假設(shè)GNSS 天線(xiàn)幾何中心相對(duì)航天器質(zhì)心的安裝關(guān)系在慣性系的表述為

圖5 GNSS 天線(xiàn)與航天器的安裝關(guān)系Fig.5 Installation relationship of GNSS antenna and spacecraft

已知慣性系航天器的質(zhì)心矢量rsat，GNSS 天線(xiàn)幾何中心的位置參數(shù)在慣性系下的描述為

記航天器質(zhì)心的速度為vsat，vsat=r?sat，GNSS 天線(xiàn)幾何中心的速度參數(shù)在慣性系下的描述為［26］

2.2 軌道系與慣性系的轉(zhuǎn)換

區(qū)別于理想情況的封閉軌道假設(shè)，實(shí)際情況軌道受攝運(yùn)動(dòng)情況復(fù)雜，需要根據(jù)實(shí)時(shí)確定的軌道參數(shù)確定軌道系到慣性系的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣Aoi，

2.3 本體系與軌道系的轉(zhuǎn)換

區(qū)別于理想情況的零姿態(tài)假設(shè)，實(shí)際情況需要考慮航天器在主動(dòng)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)控制情況下，由實(shí)時(shí)測(cè)量的姿態(tài)角確定本體系到軌道系的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣：

其導(dǎo)數(shù)項(xiàng)滿(mǎn)足：

3 導(dǎo)航算法的設(shè)計(jì)與驗(yàn)證

3.1 GNSS 接收機(jī)測(cè)量信息的模擬

傳統(tǒng)的軌道仿真中，普遍采用軌道動(dòng)力學(xué)積分得到的位置、速度疊加誤差噪聲作為GNSS 接收機(jī)測(cè)量數(shù)據(jù)的模擬量。本文提出了考慮姿軌耦合的GNSS接收機(jī)測(cè)量信息模擬方法，要求GNSS 接收機(jī)測(cè)量數(shù)據(jù)的模擬考慮航天器的剛體運(yùn)動(dòng)特征、GNSS 天線(xiàn)的幾何中心rGNSS、vGNSS與航天器質(zhì)心rsat、vsat差別。

3.2 測(cè)量信息與導(dǎo)航定軌的濾波算法

航天器的姿軌控系統(tǒng)一般會(huì)對(duì)GNSS 接收機(jī)的測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行導(dǎo)航濾波與軌道確定。擴(kuò)展卡爾曼濾波（EKF）導(dǎo)航濾波算法流程可分為狀態(tài)估計(jì)、測(cè)量修正兩大步驟。濾波算法的狀態(tài)變量是慣性系的位置、速度X=[x，y，z，vx，vy，vz]T，濾波過(guò)程中使用軌道的二階微分方程進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)，其單拍積分的有限差分形式為

式中：加速度項(xiàng)

式中：μ為地球引力常數(shù)；aJ2、aJ3、aJ4分別為地球引力場(chǎng)J2、J3和J4項(xiàng)攝動(dòng)加速度矢量；axJ2、ayJ2、azJ2為aJ2的三軸分量；axJ3、ayJ3、azJ3為aJ3的三軸分量；axJ4、ayJ4、azJ4為aJ4的三軸分量。

3.3 導(dǎo)航算法的天線(xiàn)安裝修正

在模擬剛體運(yùn)動(dòng)特征的GNSS 接收機(jī)測(cè)量信息的基礎(chǔ)之上，星載軟件的導(dǎo)航算法同樣需要結(jié)合姿態(tài)測(cè)量信息，將GNSS 天線(xiàn)測(cè)量的慣性系位置、速度轉(zhuǎn)換到航天器質(zhì)心。

以航天器質(zhì)心的慣性系位置、速度作為狀態(tài)變量和濾波觀測(cè)量，進(jìn)行EKF 濾波。濾波輸出的航天器質(zhì)心慣性系位置、速度與軌道動(dòng)力學(xué)積分理論值的偏差，即為導(dǎo)航濾波的精度。

在軌導(dǎo)航系統(tǒng)已知rGNSS、vGNSS，可得

3.4 姿軌耦合導(dǎo)航濾波的算法驗(yàn)證

在假設(shè)航天器質(zhì)心滿(mǎn)足軌道運(yùn)動(dòng)特征的基礎(chǔ)之上，天線(xiàn)幾何中心相對(duì)航天器質(zhì)心的慣性系位置、速度需要補(bǔ)償修正項(xiàng)。在上述兩類(lèi)質(zhì)點(diǎn)的慣性系位置、速度的基礎(chǔ)之上，分析軌道半長(zhǎng)軸的確定偏差。

同時(shí)，結(jié)合導(dǎo)航濾波算法，分析不同質(zhì)點(diǎn)慣性系信息接入濾波時(shí)的定軌差別。為了驗(yàn)證高精度姿軌耦合的導(dǎo)航算法，設(shè)計(jì)如圖6 所示的導(dǎo)航精度驗(yàn)證系統(tǒng)。

圖6 導(dǎo)航精度分析的邏輯說(shuō)明Fig.6 Logical illumination of the navigation precision analysis

仿真結(jié)果如圖7～圖9 所示。仿真結(jié)果顯示，當(dāng)航天器不進(jìn)行姿態(tài)導(dǎo)引時(shí)，使用GNSS 天線(xiàn)測(cè)量的慣性系位速信息、補(bǔ)償安裝關(guān)系后的航天器質(zhì)心慣性系位速信息作為EKF 的濾波輸入，定軌偏差較小。當(dāng)航天器進(jìn)行姿態(tài)導(dǎo)引時(shí)，定軌偏差出現(xiàn)與導(dǎo)引規(guī)律相應(yīng)的周期特性。

圖7 非導(dǎo)引狀態(tài)下兩種測(cè)量輸入的軌道平根Fig.7 Mean orbital elements without steering

圖8 導(dǎo)引狀態(tài)下兩種測(cè)量輸入的軌道平根Fig.8 Mean orbital elements with steering

圖9 仿真過(guò)程中導(dǎo)引狀態(tài)下半長(zhǎng)軸平根變化情況Fig.9 Variations of the mean semi-major axis under the steering state during the simulation process

根據(jù)前文分析，本體系X軸安裝關(guān)系導(dǎo)致的周期特性明顯，設(shè)置Δrb=[±0.5，0.2，?1.5]T，單位m。如圖8（c）和圖8（d）所示，兩者安裝關(guān)系會(huì)導(dǎo)致周期性規(guī)律的極性偏差。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)航天器自主軌控使用的軌道參數(shù)，圍繞具有偏航導(dǎo)引姿態(tài)控制特征的合成孔徑雷達(dá)（SAR）衛(wèi)星存在的導(dǎo)引與定軌數(shù)據(jù)的特征關(guān)聯(lián)問(wèn)題，考慮采用不同質(zhì)點(diǎn)測(cè)量信息進(jìn)行導(dǎo)航濾波對(duì)定軌精度的影響，并進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。本文的研究基于軌道動(dòng)力學(xué)原理，將航天器視為剛體運(yùn)動(dòng)，分析了GNSS 天線(xiàn)幾何中心與航天器質(zhì)心在慣性系中的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系，明確了實(shí)時(shí)定軌誤差與慣性系位置、速度的關(guān)系。姿軌控制系統(tǒng)在使用GNSS 接收機(jī)測(cè)量數(shù)據(jù)時(shí)，需求辨明測(cè)量數(shù)據(jù)屬于幾何法還是經(jīng)濾波處理的動(dòng)力學(xué)版本。后續(xù)研究將圍繞在軌大角度機(jī)動(dòng)狀態(tài)下的實(shí)時(shí)定軌精度與導(dǎo)航濾波參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)。結(jié)果表明，適當(dāng)?shù)卦龃笳`差協(xié)方差矩陣主對(duì)角線(xiàn)元素的速度相關(guān)項(xiàng)（認(rèn)為速度測(cè)量置信度低），能有效減小機(jī)動(dòng)對(duì)速度項(xiàng)造成的影響，從而保證實(shí)時(shí)導(dǎo)航軌道平半長(zhǎng)軸的穩(wěn)定性。