一類隨機偏微分方程的有效近似

李益軍，陳光淦

四川師范大學 數學科學學院，成都 610068

隨機偏微分方程應用于物理學的眾多領域，近年來在各數學分支的發展推動下，隨機偏微分方程也得到相應發展和研究，如關于隨機Burgers方程[1]、隨機Swift-Hohenberg方程[2]等的研究．

在內積為〈·，·〉，范數為‖·‖的Hilbert空間H中研究如下的非線性隨機偏微分方程

(1)

其中u=u(t，x，ω)，x∈有界區域D． 小擾動項εLu表示與分支的距離． 算子A假定為自伴隨且非正的，噪聲由一般的Q-維納過程給出，詳見第一節．

本文在穩態改變的附近，運用時間尺度變換來導出方程的有效近似系統． 值得指出的是，擾動強度與噪聲強度對系統的有效近似有著重要影響，使得有效近似系統的近似形式和收斂率有著重要差異[3-7]．

1 預備知識

用N：=kerA表示A的核空間，T：=N⊥表示N在H中的正交補空間．Pc為從H到N的投影，Ps為從H到T的投影． 假設Pc，Ps與A可交換，A-1dW存在，假設N為n維，其標準正交基為{g1，g2，…，gn}．

分數階Sobolev空間Hα定義如下

定義算子Dα：Dαgk=kαgk，因此有‖u‖α=‖Dαu‖．

線性算子A生成解半群eAt滿足

引理1在假設1下，存在常數M>0，K>0，使得對所有的t>0，β≤α，u∈Hβ有

假設3B是一個從Hα×Hα到Hα-β的有界雙線性算子，其中α，β由假設2給出． 不失一般性，可假設B是對稱的，即B(u，v)=B(v，u)，且滿足PcB(u，u)=0，u∈N． 本文中，取B(u，v)=uv．

定義1定義隨機卷積

τ*：=T0∧inf{T>0|‖a(T)‖α>ε-k或‖ψ(T)‖α>ε-2k}

定義3對于一個實值的隨機過程族{Xε(t)}t≥0． 如果對每個p≥1都存在一個常數Cp滿足

則我們稱Xε=O(fε)．

最后指出，用字母C表示所有正常數，它依賴于T0，k，α，B，Q，L，A及其給出的數據． 同時規定如下簡記符號：Bs：=PsB，Bc：=PcB． Lc，Ls，Ac，As，Wc，Ws同理．

2 主要結論

對于方程(1)，將其解u(t)分解為兩部分

(2)

其中a∈N，ψ∈T． 選取時間尺度變換為T=εt，將(2)式代入(1)式，并分別做Pc，Ps投射可得到

(3)

和

(4)

(5)

其中r(T)是ε的高階項． 忽略(5)式中的小項，可以得到

因此

令b(T)滿足方程

(6)

則方程(6)就是逼近隨機偏微分方程(1)的有效近似系統(也被稱為振幅方程[10])．

進一步，由(3)和(5)式可得

(7)

其中

(8)

下面給出本文主要結論．

(9)

3 主要結論的證明

為證明本文主要定理1，需要依次估計方程(2)中的ψ(T)，方程(8)中的R(T)以及方程(6)中的b(T)．

3.1 ψ有界性的證明

引理2在假設1，2，3，4下，T>0，z(T)是如下方程的解

(10)

則對ε∈(0，1)，T≤τ*有

(11)

證方程(4)的溫和形式為

因此

下面依次估計I1，I2，I3．

由引理1，0≤β

令

η=ε-1K(T-τ)

則

(12)

類似的，對所有的T≤τ*

(13)

進一步

(14)

結合(12)-(14)式，(11)式得證．

引理3[8]在假設1，4下，取方程(10)的初值z(0)滿足‖z(0)‖α=O(1)． 則對每一個k0>0，p>1和T>0，存在常數C>0使得

(15)

證這是一個標準的OU-過程有界估計，其證明過程可參考文獻[8]中引理20的證明，區別僅在于ε的指數不同．

引理4在假設1，2下，利用定義2中τ*的定義，對所有的ε∈(0，1)，

(16)

證利用引理1和假設2，與引理2中I1的證明類似，可得對T<τ*

引理5在假設1和假設3下，利用定義2中τ*的定義，對所有的ε∈(0，1)，

(17)

證利用引理1和假設2，與引理2 中I2的證明類似，可得對T<τ*

引理6在引理2、引理3、引理4、引理5成立的條件下，對p>1和所有的k0>0，存在常數C>0，使得

(18)

證根據(11)式，由三角不等式和引理2，有

再根據引理3、引理4、引理5，對于k0≤2k，引理6得證．

3.2 R(T)有界性的證明

引理7在假設1，2，3，4下，對所有的p>1，存在一個常數C使得

(19)

與引理2中I1，I2，I3估計類似，對(8) 式中定義的R(T)各項有

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

3.3 b(T)的先驗估計

引理8在假設1，2，3，4下，設隨機過程b(T)滿足E‖b(0)‖≤C與方程

(27)

則對于T0>0，存在一個常數C使得

(28)

其中使用了〈dt，dt〉=〈dt，dW(t)〉=〈dW(t)，dt〉=0，〈dW(t)，dW(t)〉=dt．

在(28)式兩邊同時取期望有

由Gronwall不等式得

E|b(T)|2p≤C

即

對(28)式先取上確界，再取期望有

再使用B-D-G不等式和H?lder不等式得

(29)

證令

h(T)=a(T)-b(T)

則

(30)

對(30)式等式兩邊在[0，T]上積分后取上確界，再取期望得

(31)

故

3.4 定理1的證明

引理10設集合Ω*?Ω且在Ω*上成立

則有P(Ω*)≥1-Cεp．

證由Ω*定義有

利用Chebychev不等式及引理6、引理7、引理8，對充分大的q(q為p的共軛指數)有

P(Ω*)≥1-Cεqk≥1-Cεp

定理1的證明

結合定義2與引理10可知

結合三角不等式與(2)式、(29)式，在Ω*上有

即

在Ω*上成立，定理1得證．