自轉離心力對月幔溫度演化影響的二維有限元模擬

張 騰，鐘 振

貴州師范大學 物理與電子科學學院，貴陽 550025

通過月球影像研究，人們發現其正面分布著大量暗黑色的玄武巖沉積物． 相關研究表明，這些玄武巖主要由月球形成初期的古火山活動產生． 到前蘇聯月球3號首次拍攝月球背面時，發現月球背面并不像正面那樣，除莫斯科海、南極艾得肯盆地及Apollo撞擊坑外，其他區域沒有任何玄武巖[1]． 進一步的研究表明，月球背面玄武巖含量約占整個背面的1%，而正面玄武巖含量占正面區域的1/3． 月球正面和背面玄武巖含量的不對稱性，間接地反映了早期熱演化的不對稱性． 關于月球形成初期的狀況，目前學界已確認了巖漿洋模型(lunar magma ocean，LMO)的合理性[2]． 該模型認為，月球自吸積后，發生了全球性的熔融事件，較輕的鈣長石由于結晶，浮于巖漿洋的頂層，形成原始的斜長巖月殼，而較重的鎂鐵質物質下沉，結晶形成月幔． 在結晶過程中，全球性對流模式可能導致背面月殼增厚，而正面月殼變薄，易產生古火山活動[3]． Zhong等人[4]研究表明，1階對流項會導致熱演化的不對稱性． Laneuville等人[5]研究表明，由于正面風暴洋一帶富集KREEP產熱元素，局部區域的高溫，會引起月幔熱對流趨向于正面產生，導致熱演化的不對稱性． Padovan等人[6]的研究也表明，發生在月球背面的一次大碰撞使月幔熔融逆向，導致熱演化的不對稱性． 月球激光測距(lunar laser ranging，LLR)數據表明地-月間距以每年3.8 cm的速度增加[7]，由地-月系角動量近似守恒，可知月球自轉速度在不斷地變慢，早期古月球自轉速度比現在大得多，自轉離心效應對熱演化的影響不能被忽略． 有關自轉離心效應對月球熱演化的影響，目前還沒有類似的研究與分析． 為此，本研究考慮熱對流效應，顧及自轉離心力的影響，利用有限元方法，對月幔溫度演化進行模擬，以探究自轉離心效應與月球熱演化的關系，以期為這方面的研究提供一定的參考．

1 無量綱化的控制方程和粘滯系數

考慮對流效應的月球熱演化，控制方程較為復雜，為了便于邊界條件的處理，通常采用有限元方法來進行仿真分析[8]． 在對流模型中，月幔通常被認為是一種不可壓縮的高粘滯性流體，即不考慮慣性力的影響，與此相關的湍流效應忽略不計，學界將此模型稱為Boussinesq近似． 在該近似條件下，僅在動量方程的浮力項中考慮密度的變化，其他控制方程的密度假定為常數[9-10]． 為了檢驗自轉離心效應，控制方程僅考慮熱對流效應，與此有關的化學物質分層效應忽略不計[11]． 控制方程主要由質量方程、動量方程和能量方程構成[9-12]． 這3個方程中相關物理量直接參與運算，不便于有限元網格的構建，為此，通常將控制方程進行無量綱化處理． 假定無量綱化的速度矢量為u′，二階應力張量為σ′，壓強為P′，溫度和熱產能率分別為T′和H′． 有量綱參考值及對應無量綱值，以及相關計算參數見表1． 此時，質量方程、動量方程和能量方程的無量綱形式為

其中Ra表示瑞利數，其大小為

(4)

其中：ρ0和g分別表示月幔參考密度和參考重力加速度，μ0和k0分別表示參考黏度和熱擴散系數，β和ΔT0分別表示熱膨脹系數和核幔界面溫度，R0表示月球平均半徑R與內核半徑Rcore之差． 相關參數取值[8，11]見表1．

表1 相關參數的有量綱參考值及無量綱值

(5)

月幔粘滯特征是影響熱演化的重要因素，它使得月幔在長周期時標內表現出流體特征，而在短周期時標內表現出彈性特征． 月幔粘滯特征通常用粘滯系數μ來量化，其大小通常與溫度、壓強和研究區域的大小有關[13]． 為了簡化運算，將月幔物質的流體特征假定為牛頓流體[3-5]，此時，剪應力與應變速度成正比． 假設參考黏度為μ0，核幔邊界溫度與殼幔邊界溫度之差為ΔT，對于月幔中參考半徑d處的某點，假定該點的溫度為T，可得月幔物質的黏度[14]為

(6)

其中，R表示月球平均參考半徑，b和c為給定常數，取b=ln2.5，c=ln2.0[14]．

2 控制方程的弱解形式

進行有限元程序設計前，首先需要推導微分方程的弱解形式． 為了便于公式推導，將(1)-(4)式中的撇號去掉，因此，后文的所有參量均表示無量綱化． 數值模擬在直角坐標系中進行，研究區域為月幔某一經線的剖面． 根據變分基本引理，結合(4)式得到(2)式的弱解形式為

(7)

其中：vx和vy分別表示試探函數v在x軸和y軸方向的分量，gx和gy分別表示x軸和y軸方向的無量綱化有效加速度，wij為試探函數v對應的二階應變率張量． 若不考慮邊界作用時[11]，(7)式可以簡化為

(8)

其中二階應力張量σij與試探函數v的應變率張量wij分別為

類似地，(3)式的弱解形式為

(11)

其中：Tk+1表示當前時刻的待求溫度，Tk表示上一時刻的溫度，τ表示溫度對應的試探函數，δt表示相鄰兩時刻之間的步長．

3 月球的自轉離心力

3.1 自轉角速度

月球的潮汐效應能使地球自轉速度不斷的變慢，該效應由LLR數據得到驗證[7]． 由于地球自轉速度受自身慣量矩變化和太陽潮汐的作用，兩者的影響在量級上相同而方向相反，并且其他行星的潮汐因距離很遠導致影響很小，比如木星的潮汐影響在量級上只有太陽的萬分之一，因此，地球和月球可以看作是一個孤立系統且總角動量近似守恒． 總的角動量包括：地球自轉角動量、月球自轉角動量、月球繞地球的公轉角動量． 根據月球形成的巨型撞擊理論，文獻[15]的研究表明，月球形成時與地球的距離為3.77R⊕(R⊕表示地球半徑)，得到早期地-月系間距約為2.4×107m． 文獻[16]的研究表明，月球形成初期的地-月系總角動量，比當前系統角動量多出10%到20%． 本研究取多出的系統角動量為14%，結合表2數據估算出早期的地球自轉周期為5.05 h，相應的月球自轉角速度為4.4×10-3rad/s． 文獻[17]的數值結果發現，地-月系形成初期地球自轉周期約為5 h，本研究的計算結果與其接近，表明本研究求解的早期月球自轉角速度具有一定的合理性．

表2 計算離心力用到的相關參數

3.2 自轉離心力的計算

如圖1所示，以與黃道面平行的方向為x軸，其法線方向為y軸，月球中心為坐標原點，建立二維直角坐標系，z軸為自轉軸． 由文獻[18]可知，月球自轉軸與黃道面法線的夾角約為1.6°(即為角θ)． 所以得到實際月球截面上某一點的轉動半徑為

R1=R·rcos(θ+φ)

(12)

其中：r表示圖1圓形區域上某一點的半徑，且滿足0

圖1 自轉離心力示意圖

其中：ω表示月球的自轉角速度，根據(13)和(14)式，得到(7)式中無量綱化的有效加速度為

4 數值模擬

目前，月球被公認起源于一次火星大小的天體與地球的碰撞，自吸積結束后，較重的金屬元素下沉引起重力勢力的釋放，以及短周期放射性元素26Al的作用，致使月球內部溫度快速上升． 另外，根據阿波羅任務采樣的巖石樣品研究結果，發現月球早期擁有較高的溫度，在月球形成的初期，月幔處于高溫和完全熔融的狀態[2，8]． 基于此考慮，本研究假定月球形成初期具有高溫月幔，同時假定月幔處于完全熔融狀態[8]． 參考文獻[8]，取核幔邊界溫度為2 000 K，演化時間為4.5 Ga(1 Ga=10億年)．

月幔初始溫度見圖2a，從核-幔邊界向外，溫度逐漸降低，此時，整個月幔的平均溫度約為1 667.76 K． 由于自轉離心效應，至圖2b時(演化時間約為4 419萬年)，在垂直自轉軸的方向形成對流柱，將核-幔邊界的熱量輸運至外表面，同時，在兩極區域，即將形成低溫下沉的對流柱，此時，整個月幔的平均溫度約為1 608.93 K． 文獻[11]的研究表明，當不考慮自轉離心效應時，產生均勻的4個對流柱，這說明自轉離心效應有必要在月球熱演化中加以考慮． 如圖2c所示，至0.245 50 Ga時，月幔溫度不斷地下降，由于內部熱量的減小，無法提供充足的能量，致使對流柱變得不穩定，而兩極的低溫對流柱已形成，此時，整個月幔的平均溫度約為1 559.67 K． 至0.451 72 Ga時(圖2d)，由于內部能量的降低，同時，兩極大幅度的低溫對流柱帶來的低溫，致使核-幔邊界的熱對流柱發生切向移動，外表面原高溫區產生小幅度的低溫對流柱，此時，整個月幔的平均溫度約為1 520.38 K． 如圖2e和圖2f所示，從0.780 69 Ga至0.908 35 Ga，由于月幔溫度的進一步降低，兩極大幅度低溫對流柱，以及外表面原高溫區小幅度低溫對流柱的共同作用，使得核-幔邊界有產生小幅度的熱對流柱． 如圖2g-圖2i所示，從1.158 76 Ga至4.5 Ga，兩極大幅度低溫對流柱相對穩定，其他小幅度低溫對流柱，以及核-幔邊界的高溫對流柱不穩定，特別是核-幔邊界的對流柱會產生明顯的切向移動． 由圖2a-圖2i可知，自轉離心效應有助于在垂直于自轉軸的方向，于核-幔邊界產生熱對流柱，在兩極區域產生明顯的低溫對流柱，進而快速地輸運月球內部的熱量．

不同溫度對應的顏色圖2 月幔溫度隨時間的變化

另外，文獻[11]在不考慮自轉離心效應時，月幔初始(0 Ga)平均溫度約為1 735.10 K，至4.5 Ga時約為1 278.20 K，下降456.90 K． 而本研究考慮自轉離心效應后(表3)，月幔初始平均溫度約為1 667.76 K，至4.5 Ga時約為1 163.28 K，下降504.48 K． 本研究模擬的最終月幔溫度低于文獻[11]，且兩者從初始到0.245 50 Ga時，分別下降28.28 K和108.09 K，這說明自轉離心效應引發的對流模式，降低了月幔的溫度，并且在月球熱演化的前0.245 50 Ga更為明顯． 由圖2可知，在核-幔邊界處，垂直于自轉軸方向產生兩個熱對流柱，對流柱產生的方向恰好是月殼厚度二分性的方向，因此，自轉離心現象可能與月殼二分性相聯系，可為月球不對稱熱演化研究提供一定的參考．

表3 不同演化時間點的月幔平均溫度

5 結 論

基于月球自轉速度減慢的事實，以及利用地-月系角動量近似守恒的原理，估算了月球早期較大的自轉角速度． 在月球熱演化的控制方程中考慮自轉離心力后，① 發現自轉離心效應有助于在月球形成初期，在垂直于自轉軸方向，于核-幔邊界處產生熱對流柱；② 隨著內部熱量輸運至月表，在兩極區域產生大幅度、穩定的低溫對流柱；③ 隨著月幔溫度的進一步降低，外表面原高溫區產生小幅度的低溫對流柱，核-幔邊界的高溫對流柱會產生切向移動；④ 由自轉效應引起的對流模式，能有效降低月幔的溫度，對月幔溫度起到一定的調節作用．