逆矩陣若干求解方法的類比探究

馮依虎 楊星星

摘 要：本文歸納總結(jié)了逆矩陣的幾種不同的求法，并分析了在什么情況下可以采用什么樣的方法，通過具體的例題從定性與定量兩個方面進(jìn)行論證，運(yùn)用不同的方法得到相同的結(jié)果的計(jì)算過程的比較，同時在分塊矩陣中得到了更一般形式的逆矩陣的計(jì)算公式，將有助于教師的教學(xué)與學(xué)生的學(xué)習(xí)。

關(guān)鍵詞：逆矩陣;初等變換;初等矩陣;分塊矩陣

中圖分類號：O151.22 ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ?文章編號：1673-260X（2021）05-0001-05

矩陣是高等代數(shù)與線性代數(shù)中的一個重要的基本概念，是代數(shù)學(xué)一個主要的研究對象，也是數(shù)學(xué)研究和應(yīng)用的一個重要工具，而求解逆矩陣在解決線性方程組與矩陣方程中起著至關(guān)重要的作用。王愛霞介紹了n階行列式的計(jì)算技巧[4]，賈新芳、段桂花、單彩虹、馬學(xué)玲等介紹了逆矩陣的幾種求法[5-8]，張愛萍介紹了逆矩陣的判定與求解方法[9]。

本文在上述幾種方法的基礎(chǔ)上介紹幾種求解逆矩陣的方法，將其進(jìn)行類比，在教學(xué)中起到一定的作用，有助于學(xué)生的理解與教師的教學(xué)。這些方法能幫助我們更快更準(zhǔn)地解決繁瑣的求逆矩陣問題。同時，它還是理工科學(xué)生更好地學(xué)習(xí)大學(xué)數(shù)學(xué)的必備基礎(chǔ)知識，可為他們以后繼續(xù)深造打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

關(guān)于逆矩陣的計(jì)算與證明中，存在兩種形式，一種是定性分析，另一種是定量計(jì)算，本文將從這兩個方面進(jìn)行探討與研究，通過一個具體的例題，用幾種不同的方法分析與計(jì)算最后得到的結(jié)果是相同的。

1 待定系數(shù)法

利用伴隨矩陣求解，是定量計(jì)算中經(jīng)常用到的，這是在階數(shù)比較低的情況，先判斷矩陣是否可逆，若可逆可求解其伴隨矩陣，這是在高等代數(shù)與線性代數(shù)的教學(xué)過程中教師與學(xué)生常用的一種方法。優(yōu)點(diǎn)是簡單易懂，缺點(diǎn)是需要計(jì)算每個元素的代數(shù)余子式，相對較麻煩。

3 利用初等變換的方法求解逆矩陣

定義3 下述三種變換稱為矩陣的初等變換：

（1）換法變換：交換矩陣的任意兩行（列）;

（2）倍法變換：矩陣的某一行（列）同乘以一個非零的常數(shù)k;

（3）消去變換：矩陣的某一行（列）同乘以一個常數(shù)k加到矩陣的另外的某一行（列）上。

定義4 n階單位矩陣經(jīng)過一次初等變換后得到的矩陣稱為n階初等矩陣[6，7]。

定理3 初等矩陣都是可逆矩陣;初等矩陣的逆矩陣還是初等矩陣。

定理4 對于一個s×n矩陣A施行一個行的初等變換，就相當(dāng)于在A的左邊乘以一個相應(yīng)的s階的初等矩陣;對A施行一個列的初等變換，就相當(dāng)于在A的右邊乘以一個相應(yīng)的n階的初等矩陣。（左乘行變換，右乘列變換）

定理5 若A可逆，則A可寫成若干個初等矩陣的乘積。

通過初等矩陣求解得到的逆矩陣與用伴隨矩陣求解得到的逆矩陣相同。理論上可取，但實(shí)際定理計(jì)算過程稍復(fù)雜，需要求解在初等變換過程中的每一個用于初等變換得到的初等矩陣，這個工作量相對較大，所以一般只應(yīng)用于定性分析。

4 利用初等變換求逆矩陣的簡單形式

只通過初等行變換也可將A化成n階單位矩陣。

以上討論了一個求逆矩陣的方法，需要依次求出相應(yīng)的初等矩陣，也可不需要先求出初等矩陣。

設(shè)A為n階可逆矩陣，根據(jù)定理5可知，存在若干個初等矩陣，P1，P2，…，Ps，使得PsPs-1…P1A=I，

用A-1去右乘上式可得：A-1=PsPs-1…P1I。

上述兩式表示，若A與I同時施行同樣的行的初等變換，當(dāng)A化成單位矩陣I時，I即變成了A-1。

通過初等變換求解得到的逆矩陣與用初等矩陣、伴隨矩陣得到的逆矩陣也相同，可見不同的方法得到的結(jié)果相同，但是繁簡各不相同，利用初等變換求解逆矩陣的過程是用初等矩陣求解的推廣與簡化，初等變換方法不需要求解具體的初等矩陣，過程相對簡單，初等變換與初等矩陣主要運(yùn)用在定性分析方面，定量計(jì)算方面求逆矩陣并不太可取。

5 利用哈密頓-凱萊（Hamilton-Caylay）定理求逆矩陣

利用矩陣的特征多項(xiàng)式求可逆矩陣的逆，首先求出可逆矩陣的特征多項(xiàng)式，然后根據(jù)Hamilton-Caylay可得到可逆矩陣的逆矩陣。

7 小結(jié)

逆矩陣的求法是解決線性方程組與矩陣方程的關(guān)鍵，掌握好求逆矩陣的方法對線性方程組、二次型、線性變換、向量空間、歐氏空間等問題的解決有很大幫助，本文通過待定系數(shù)法、伴隨矩陣、初等矩陣、初等變換、分塊矩陣等方法探討逆矩陣的解法，采用定性與定量進(jìn)行分析與比較，給出具體的例題，用不同的方法得到相同的結(jié)果，以尋求最優(yōu)的計(jì)算方法，在具體的課堂教學(xué)中可以讓學(xué)生更好地理解和運(yùn)用相關(guān)的方法來研究解決問題，以期為相關(guān)領(lǐng)域的研究提供借鑒和參考。

參考文獻(xiàn)：

〔1〕魏獻(xiàn)祝.高等代數(shù)[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，1999.

〔2〕朱世平，楊明泉，吳厚山.線性代數(shù)[M].上海：上海交通大學(xué)出版，2019.

〔3〕王力梅，郭莉琴，邵海琴，唐保祥.分塊矩陣的行列式[J].四川兵工學(xué)報，2011，32（11）：149-150.

〔4〕王愛霞.關(guān)于n階行列式的計(jì)算方法與技巧的探討[J].佳木斯教育學(xué)院學(xué)報，2012，39（01）：136-138

〔5〕賈新芳.逆矩陣的幾種求法[J].知識文庫，2018，34（22）：182-187.

〔6〕段桂花.逆矩陣的三種常用求法[J].課程教育研究，2017，19（11）：150-156.

〔7〕單彩虹，陳平，張歡，劉翠香.可逆矩陣的判定及其逆矩陣的求法[J].2015，31（09）：123-124.

〔8〕馬學(xué)玲，詹建明.淺談逆矩陣求解的方法[J].赤峰學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2014，22（06）：3-5.

〔9〕張愛萍.可逆矩陣的判定及求法[J].赤峰學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2011，15（03）：12-13.