一堂關于幾何概型測度選取“保衛戰”的課

李偉 趙如麗 席潔茹

【摘要】高三學生在概率章節的復習中，常常在幾何測度選取上把握不準.本文針對一堂幾何概型復習課上學生的熱烈爭論，探究了正確選擇測度的關鍵所在.通過追本溯源，挖掘本質，再經過題組比較和檢測反饋，學生對幾何測度選取有了清醒認識，并在此基礎上提出貝特朗奇論，讓學生體會題目設置的嚴謹性和合理選擇測度的重要性，拓寬了學生的視野，提高了學生的素養.

【關鍵詞】幾何概型;測度選取;等可能性;貝特朗奇論

在高三幾何概型復習的講評課上，一道選擇題引起了同學們的熱烈爭論，可以稱作別開生面地展開了一場關于幾何測度選取的“保衛戰”.現將課堂主要情景和環節分享出來，請廣大讀者和同行批評指正.

【題目再現】

如圖1，在一個棱長為2的正方體魚缸內放入一個倒置的無底圓錐形容器，圓錐的底面圓周與魚缸的底面正方形相切，圓錐的頂點在魚缸的缸底上.現在向魚缸內隨機地投入一粒魚食，則“魚食能被魚缸內在圓錐外面的魚吃到”的概率是（ ?）.

【雙方焦點】根據同學們的答案，主要將班級分成兩方，一方（暫稱為“甲方”，下同）認為選D，這部分同學占90%以上，另一方（暫稱為“乙方”，下同）認為選A，鳳毛麟角的有幾位，占比不到10%.

甲方觀點是選D.理由：因向魚缸內隨機地投入一粒魚食，應選用體積作為測度，即長方體魚缸的體積為8，圓錐的體積為13×π×2=23π，則魚缸內且在圓錐外部的體積為8-23π，所以“魚食能被魚缸內在圓錐外面的魚吃到”的概率是8-23π8=1-π12.

公布答案以后，選D的同學絲毫沒有發現自己的解答過程有何漏洞，甚至不少同學指出有可能是答案給錯了.筆者沒有急于否定他們的想法，而是讓選A的同學發表了自己的看法.

乙方觀點是選A.理由：選面積作為測度.

【雙方交鋒】

乙方代表生1陳述：不知道大家有沒有養過魚？我是在養魚的過程中觀察到投入魚食時，魚食是浮在水面上的，所以這道題不需要體積比，只需要面積比.魚缸底面正方形的面積為22=4，圓錐底面圓的面積為π，所以“魚食能被魚缸內在圓錐外面的魚吃到”的概率是1-π4.

甲方代表生2反駁道：魚食能不能漂浮在水面上與魚食的材質有關，不是所有的魚食都能浮在水面上.

所以，生1的說法不能完全讓人信服.還有的同學說“難道不養魚就不能做這道題啦”.

乙方代表生3站到講臺上，他拿起一個水杯，讓同學們觀察：從杯子口投入物品，物品自由下落時，只與杯子口的大小有關，與杯子的高度沒有關系.所以，這道題應該是面積比，而不是體積比.

課堂討論激烈.歸根結底，學生爭論不休的問題就是測度選取問題：這道題究竟該選體積還是面積作為測度呢？教師并未急著給出意見，而是引導學生深入思考后再判斷.

【教師引導】

（一）問題轉換.既然對于此問題的爭論一時難以平息，那么干脆出一道更容易的、少爭議的題目作為過渡，幫助理解此題.這也是上課中常用的方法之一.問題變換為：將內部的圓錐形容器變成圓柱形容器，那么這個問題又該如何計算？學生通過計算發現變成圓柱后體積比和面積比相同了，選體積和面積作為測度結果一致，進而思考換成圓柱形容器后，和本題的圓錐形容器比較問題有何不同.

（二）追根溯源.概念是靈魂，運算是生命.當我們對某一問題難下定論時，可試著從數學概念方面去找找答案.為讓學生重溫幾何概型的內涵和外延，以期找到解決本題的關鍵癥結所在，筆者讓同學們打開必修3課本，認真研讀（詳見課本），尋找解題的關鍵點.學生閱讀思考后，筆者讓學生自由表達其看法.

生4：往容器里投食，落在水面上任何一處是等可能的，而落在圓錐形容器內部就不等可能了，因為口大底尖.所以，在保證等可能的前提下，本題只能用面積比而不能用體積比.若換成圓柱形容器，落在圓柱內部任何一處也是等可能的，所以對于圓柱形容器用面積比和體積比都可以.

此時教室里響起了熱烈的掌聲，至此甲、乙雙方算是握手言和了.筆者提醒學生：遇到幾何概型問題時，不能盲目草率，不可以想當然地認為看到有線段就選長度比、看到平面區域就選面積比、看到幾何體就選體積比，而應該謹慎審題，并考慮等可能性，選取合適的測度進行計算.

【乘勝追擊】

為了讓學生更加深入地體會幾何概型中的“等可能”，筆者又出示了下面幾道題目.

【撥云見日】

同學們的想法都很好.這個問題其實就是歷史上著名的貝特朗奇論.三種解反映的是三種不同的隨機事件.也就是說：想法1把“點B落在圓弧上”視為等可能的，想法2把“點M落在線段上”視為等可能的，想法3把“點M落在圓中”視為等可能的.而得到三種不同解的原因恰是題目中“任意”作弦的提法太不明確了，導致因對隨機事件的等可能性理解不一致而得出不一致的結果.可見，測度的選取是以等可能作為前提的.這就要求概率出題要嚴謹，不可含糊不清.

【“戰”后啟示】

幾何概型測度選取要注意考察等可能性，要以題目設置為準則去考量，所謂“幾何概型解答切莫想當然，計算之前等可能性探究一番”.這也告誡我們在命制或選題時，要注意題目的嚴謹性，不可模棱兩可.在學生爭論和質疑時，我們需要機智教學，靈活處理，挖掘本質，讓學生理解，讓教學更有效、更高效.教出數學真理，教出數學味道，教出數學境界，是每位教師應有的追求！

【參考文獻】

[1]鄧集賢，楊維權，司徒榮，等.概率論及數理統計（上冊）：第4版[M].北京：高等教育出版社，2009.