相似三角形存在性問(wèn)題的常見(jiàn)題型與解題策略

龔輝

【摘要】相似三角形的存在性問(wèn)題在初三模擬測(cè)試或中考中常以壓軸題的形式出現(xiàn).這類問(wèn)題的綜合性強(qiáng)，考查的知識(shí)點(diǎn)多，對(duì)學(xué)生的能力要求較高，涉及方程與函數(shù)、數(shù)形結(jié)合、分類討論等重要的數(shù)學(xué)思想方法，尤其與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題、二次函數(shù)相結(jié)合，在提高學(xué)生思維能力的同時(shí)兼顧了對(duì)學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】相似三角形;存在性問(wèn)題

相似三角形存在性問(wèn)題在初三模擬測(cè)試或中考中常以壓軸題的形式出現(xiàn).這類問(wèn)題的綜合性強(qiáng)，考查的知識(shí)點(diǎn)多，對(duì)學(xué)生的能力要求較高，在中考中占有十分重要的地位.

由于這類問(wèn)題通常在二次函數(shù)或動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題、動(dòng)圖問(wèn)題的背景下展開，因此，題目會(huì)涉及方程與函數(shù)、數(shù)形結(jié)合、分類討論等重要的數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)學(xué)生的思維能力、運(yùn)算能力有較高的要求.

本文擬對(duì)相似三角形存在性問(wèn)題的題型做一個(gè)梳理，以期幫助學(xué)生形成解題策略，形成基本的解題范式.

一、已知一組對(duì)應(yīng)角相等

相似三角形存在性問(wèn)題的最常見(jiàn)題型是：兩個(gè)目標(biāo)三角形或顯然、或隱含有一組對(duì)應(yīng)角相等（如公共角、對(duì)頂角、直角、平行條件下的同位角、內(nèi)錯(cuò)角等）.根據(jù)兩個(gè)三角形相似的判定方法，在已知一組對(duì)應(yīng)角相等的前提下，只需再判定這兩個(gè)角的夾邊對(duì)應(yīng)成比例，或另外再尋找一組角對(duì)應(yīng)相等，因此會(huì)出現(xiàn)如下幾種分類討論的情況.

（一）隱角相等之對(duì)應(yīng)邊成比例

說(shuō)明

本題無(wú)法找到隱含的對(duì)應(yīng)角相等，因此首先對(duì)一對(duì)角的相等情況進(jìn)行分類討論：①若∠EBC=∠CBF，則x軸為∠EBF的角平分線所在直線，可得直線EB與BF的斜率滿足kEB=-kBF，因此可得直線BF的解析式為y=-x-2.這里運(yùn)用了坐標(biāo)系內(nèi)處理角平分線的一種策略：直線的斜率互為相反數(shù).②若∠ECB=∠CBF，則EC∥BF，可得直線EC與BF的斜率滿足kEC=kBF，則直線BF的解析式為y=-2m（x+2）.這里運(yùn)用了坐標(biāo)系內(nèi)處理平行線的一種策略：直線的斜率相等.兩種情況的后續(xù)方法基本相同，用含m的代數(shù)式表示點(diǎn)F的坐標(biāo)后，運(yùn)用夾邊對(duì)應(yīng)成比例列方程求解和檢驗(yàn).

對(duì)相似三角形的存在性問(wèn)題進(jìn)行系統(tǒng)學(xué)習(xí)的時(shí)機(jī)，一般是在初三中考之前的專題復(fù)習(xí)，目的是通過(guò)3至4課時(shí)的專題學(xué)習(xí)，對(duì)本專題所涉及的不同題型進(jìn)行全面的歸納和分類，將之前所學(xué)的與本專題相關(guān)的零碎的知識(shí)和方法進(jìn)行串聯(lián)，并利用思維導(dǎo)圖等信息技術(shù)手段，形成本專題的題型特點(diǎn)和解題策略的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，避免在應(yīng)用分類討論思想時(shí)出現(xiàn)考慮不周而遺漏的情況.