分類討論思想在高中數學解題中的應用研究

王玉璽 曹云鵬

【摘要】分類討論思想作為重要的數學思想方法之一，將其應用到高中數學解題訓練中，不僅能提升學生的解題效率，也能促使學生在解題的過程中逐漸形成一定的數學思維，真正實現新課程標準下的高中數學核心素養(yǎng)培養(yǎng).本文立足于高中數學解題教學，對分類討論思想在其教學中的應用進行了詳細的研究和分析.

【關鍵詞】分類討論思想;高中數學;解題;應用

【基金項目】本文系2017年武威市“十三五”教育科學規(guī)劃課題（WW[2017]GH148）階段性研究成果.

高中數學是高中階段最為重要的一門基礎性學科，在學生的學習中占據著十分重要的比重.進入高中階段之后，數學的難度不斷提升，知識點具有極強的復雜性、抽象性，對學生的邏輯思維能力要求非常高，學生在傳統(tǒng)的課堂教學模式下的學習效果不佳.據此，教師在高中數學課堂教學中必須充分借助分類討論思想，不斷提升學生的數學解題能力，全面提升學生的數學學習效果.

一、分類討論思想與高中數學解題教學

（一）分類討論思想概述

在高中數學中，分類討論思想是七大數學思想之一，它主要指對于某些數學問題，不能使用同樣的方法對其進行解決，必須有規(guī)律地將整個問題變?yōu)閹讉€小問題，并借助不同的方式解決幾個不同的小問題，最終完成整個問題的解答.

高中數學的知識內容更為抽象，在解題的過程中存在較大的難度，我們常常需要借助分類討論思想，對問題進行分類，使其成為幾個小問題，對這些小問題逐一解答，進而最終完成數學知識的解答.另一方面，在高中數學的解題過程中，通過分類討論思想的應用，引導學生在解答數學問題的過程中，逐漸提升邏輯思維能力、數學歸納能力等，能夠全面提升學生的數學解題效率以及數學綜合素養(yǎng)，這滿足了當前新課程標準下對培養(yǎng)數學核心素養(yǎng)的要求.

（二）分類討論思想的應用原則

在高中數學解題教學中，教師在應用分類討論思想的時候，應遵循以下幾個原則.

1.同一性

主要指在對數學對象進行分類的時候，所依據的標準必須相同，在對其進行劃分的時候不能夠采用多個標準.

2.互斥性

主要指在對數學問題進行分類之后，所形成的小問題之間必須確保其不能出現互相重復、相互融合的現象等.也就是說，在分類討論思想下必須保證所劃分的子項之間存在明顯的互斥性，以免其出現相互包含的現象.

3.相稱性

主要指在高中數學分類討論的時候，必須注重劃分之后子項之間要存在明顯的相稱性，保證其外延項的和要與母項的外延和相同.

（三）分類討論思想的解題作用

高中生在解答相關數學問題的時候會遇到相應的阻礙，如在某個關鍵步驟，學生會發(fā)現問題的走向與自身想法有所不同，而解決相關數學問題的方式通常也是多種多樣的，這個時候學生解答數學問題的進度就會受到阻礙.想要使該問題得到有效解決，學生在課堂的學習中就需積極聽取數學教師所講解的解決問題的技巧.教師要引導學生通過分類討論的形式，促進數學難題的解決.除此之外，通過教師的指導，學生首先要對問題主導的發(fā)展方向及其因素進行掌控，對相似數學問題產生的變化范圍進行了解，以此對相關數學難題的具體發(fā)展方向實施預測.教師可引導學生對數學問題的具體變化范圍實施劃分.通過長期的鍛煉，學生的腦海中就會逐漸形成分類討論思想.觀察歷年來的數學高考試題，我們不難發(fā)現分類討論思想已經得到廣泛應用，并成為當前高考中必備的考核能力.學生利用分類討論思想進行難題解決，不僅可以使學習到的數學知識得到有效鞏固，而且能在解題中促使自身形成相應的邏輯思維，從而將具備的邏輯思維廣泛地應用到現實生活當中.除此之外，分類討論作為具有較強綜合性的解決數學問題的方法，不僅能夠對學生的學習狀態(tài)與情況進行快速考查，而且能使學生充分了解到數學教材中所蘊含的分類討論的教學思想.例如，與等比數列的前n項和公式有關的問題，高中生在對問題進行解答的時候，應用最多的是分類討論，且高中數學的具體教學中，參數變化及其取值也需學生通過分類討論實施解讀.由于各參數取值不同，因此導致運算結果也有所不同.分類討論已成為當前數學試題解答中必備的數學能力以及數學修養(yǎng).

二、分類討論思想在高中數學題目中的具體應用

（一）在函數題目中的應用

在高中數學的學習中，函數是最為重要的部分，也是高考的重點.這一部分的知識點也是學生在學習中面臨的難點之一.具體來說，函數問題中含有諸多內容版塊，如直線、曲線等.在當前的數學考試中，函數題目常常出現在最后一道大題中.另外，函數題型還存在復雜多變的現象，一旦參數值發(fā)生了改變，就會導致函數結果出現很大的改變，給學生的解題帶來了極大的難度.面對這一現狀，教師可充分借助分類討論思想，對函數問題進行簡化，引導學生對數學問題進行根本的認識，進而對函數問題進行高效的認識.

例如，題目“已知函數f（x）=ax2+2ax+1在區(qū)間[-3，2]上的最大值為4，那么實數a的值為多少”，在對這一函數問題進行解答的過程中，教師借助分類討論思想，對這一函數劃分了三種情況，即a>0，a=0，a<0，并引導學生分別對這三種情況下的函數問題進行考慮.

（二）在概率題目中的應用

在高中數學中，概率是教學的重點，同樣是考查的重點.學生在對概率這一問題進行解答的過程中，一旦稍不注意，就會出現錯誤.面對這一現象，教師在引導學生對概率數學問題進行解答的過程中，可充分借助分類討論思想，引導學生進行解答.例如，下面的題目：高一的（一）、（二）、（三）三個班級共有學生100名，在對學生每周體育鍛煉情況的調查中，結果顯示：（一）班抽取5個人，其參與體育鍛煉的時間分別為6 h，6 h，7 h，7.5 h，8 h;（二）班抽取7個人，其參與體育鍛煉的時間分別為6 h，7 h，8 h，9 h，10 h，11 h，12 ?h;（三）班抽取8個人，其參與體育鍛煉的時間分別為3 h，4.5 h，6 h，7.5 h，9 h，10.5 h，12 h，13.5 h.現在從三個班級中各隨機選擇一名學生，分別記為甲、乙、丙，假設三名學生鍛煉時間相對比較獨立，求甲鍛煉時間比乙鍛煉時間長的概率.面對這一問題，多數學生感到無從下手.因此，教師在開展教學時就可以充分借助分類討論思想，引導學生完成解答.

（三）在不等式題目中的應用

在不等式題目的練習中，教師可將下述試題提供給學生：在k∈N的情況下，求不等式|m|+|n|

（四）在三角函數題目中的應用

三角函數作為高考中的重難點，大部分學生都會望而生畏，并主觀地認為函數屬于高中階段最難學習的部分.函數確實難，但三角函數卻是函數當中較為簡單的，其可通過圖像進行分析與理解.因此，數學教師在對三角函數進行講解的時候，可對典型例題實施講解，待學生初步了解與掌握三角函數的時候，教師再引導學生對三角函數的具體解題方法進行深入分析，并使學生了解到三角函數當中的重難點問題就是角度問題，依據角度大小對相關答案實施差別討論.例如，銳角三角形獲得答案需將什么作為前提條件，而直角三角形、鈍角三角形獲得答案需將什么作為前提條件等.分類討論是三角函數的角度問題中較為重要的解題方法，教師在講解的時候需注重方法的運用恰當性.比如，教師在出題的時候，想要使學生對三角函數具備的性質進行考察，而學生則理解成對三角函數的含義進行考察，這就會影響到學生的解題正確性.因此，數學教師需將分類討論的具體適用題型與狀況實施講解，以促使學生實現高效解題.

（五）在幾何題目中的應用

幾何題目通常是空間想象力較差的學生學習時的“致命”題，他們在面對相關幾何題目的時候通常會感到無從下手.此時，數學教師可引導學生從試題中的條件入手，了解到什么，又推導出什么，試題中有何要求，需要些什么，并在圖中標注相關的已知條件，利用已知條件對相關結論進行推導，通過層層深入選擇出所需的條件，以此將大問題分解為幾個小問題，通過小問題的解決與歸納實現大問題的解決，并由易至難，實現分類討論思想的應用.同時，數學教師需注重學生具備的邏輯推理能力的培養(yǎng)，從一個步驟對下個步驟進行推導，并經過各條件的綜合，清晰寫出相應的解題步驟，從而確保分類討論思想的有效應用.

三、應用分類討論思想需注意的問題

在應用分類討論思想時，學生首先需明確為何要對問題實施分類討論，數學教師需為學生的解題提供相應的思路，以此使學生充分了解到分類標準及其明確定義.對于數學學科而言，許多概念與公式都具備系統(tǒng)性.因此，學生在對相關數學問題進行解決時，需注重分類標準的統(tǒng)一，以獲取準確、科學的分類，從而保證在解題時不會出現遺漏或者重復的狀況.同時，數學教師需將分類探討的技巧教給學生，以促使學生可以通過層次性分類的方法，學習與掌握數學知識，從而實現高效化解題.

結 語

綜上所述，分類討論思想作為一種重要的數學思想、數學教學策略，將其應用到高中數學解題教學中具有顯著的價值.因此，教師在高中數學教學中，必須充分借助分類討論思想，引導學生對數學問題進行有效的解答.

【參考文獻】

[1]張本霖.分類討論思想在高中數學解題中的應用[J].數學學習與研究，2019（18）：119.

[2]厲瀛虹.分類討論思想在高中數學解題教學中的滲透要求[J].數學學習與研究，2019（16）：110.