小學數學典型錯例分析及矯正策略

○劉愛東

數與代數

【錯例】

計算下面各題，能簡算的要簡算。

正確答案：

【診斷】

1.信息負遷移干擾思維。

運用湊整進行簡便計算的關鍵是數、運算符號及運算順序相配合，三者缺一不可。受“能簡算的要簡算”的要求影響，第（1）小題，學生過度關注了數、運算符號能否湊整，而忽略了運算順序是否正確；第（2）小題，把乘法分配律錯誤地運用到了除法計算中。

2.缺乏正確審題的意識。

學生良好的審題習慣還沒有真正養成，書寫之前，沒有做到仔細觀察、厘清運算順序，而是憑經驗、根據數據湊整做題。同時，學生對算理還沒有真正理解和掌握，導致審題時抓錯“關鍵點”。

【對策】

1.經歷算理算法提煉過程，培養良好習慣。

教師要注重引導學生經歷計算方法的形成過程，深入分析內在道理，引導學生多問幾個“為什么”。只有在算理算法的指導下，厘清運算順序，才能根據數和運算符號的特點，確定是否可以進行簡便計算，為培養良好的審題習慣打下基礎。

2.注重培養整體建構意識，加強題組辨析。

教學中，教師要注重引導學生經歷細心審題、書寫步驟、檢驗結果的完整過程。要讓學生把整個的思考過程，都在簡便計算的過程中呈現出來。要精心設計題組練習，并揭示可能的解題錯誤，引導學生融錯學習，積累經驗，使錯例成為學生正確計算的寶貴資源。

3.加強簡便計算應用練習，培養數學素養。

對于明確要求簡便計算的習題，學生大都能簡便計算，而對于沒有明確要求但內含簡便計算的習題，學生常常不敢使用或忽略了。不妨引導學生多關注生活中簡便計算應用的簡潔性，促進學生主動應用簡算方法，解決實際問題。

【練習】

計算下面各題，能簡算的要簡算。

【錯例】

計算下面各題，能簡算的要簡算。

正確答案：

【診斷】

1.對運算律的錯誤表征與解讀。

從解題過程來看，學生有應用運算律進行簡便計算的意識，但由于對運算律和運算性質的理解只停留在表面，缺乏實質性把握，導致實際計算時不能靈活應用，產生錯誤。

2.缺乏對計算結果合理性的判斷。

受計算速度要快的內在心理影響，學生簡便計算時，通常缺少對計算結果合理性進行判斷這一步，導致對明顯的錯誤結果“視而不見”。比如通過估算，可以判斷計算的結果是否合理。第（1）題，通過口算兩個乘數個位上數相乘的積9×8=72，可以確定原式積的個位一定是2，由此判斷結果4799 一定是錯誤的。

【對策】

1.重視運算律的多元表征與解讀。

教學時，一方面，要引導學生根據運算意義選擇合適的方法；另一方面，則要啟發學生聯系現實背景，多角度解釋簡便計算的過程。比如，99×48，可以表示求99 個48 相加的和是多少，而99 個48 等于100 個48 減去1 個48，所以99×48=100×48-1×48；也可以創設購物情境：“每個書包48 元，買99 個書包一共需要多少元？”可以先算100 個書包的價錢，再從中減去一個書包的價錢，即99×48=100×48-1×48。

2.加強計算結果合理性的判斷。

教師要舍得花時間，培養學生做題前認真審題、合理選擇方法、規劃計算過程，做題后主動反思、多角度判斷計算結果合理性的良好習慣，逐步提高計算的正確率。

【練習】

計算下面各題，能簡算的要簡算。

【錯例】

A.兩條一樣長 B.第一條長

C.第二條長 D.無法比較

正確答案：

D

【診斷】

1.具體數量與分率區分不清。

學生對于分數的兩種表示方式的理解比較模糊，沒有真正理解“分數既可以表示一個具體的數量,也可以表示兩個數量之間的倍數關系（分率）；當表示具體的數量時帶單位，表示分率時不帶單位”。只是根據題中兩個分數相同，而誤以為用去的長度相等。

2.考慮問題不全面。

受“兩條同樣長的彩帶”這一信息干擾，學生以為既然同樣長，表示用去的分數也一樣多，所以剩下的也同樣多，卻沒有考慮到彩帶的長度有大于1 米、等于1 米和小于1 米三種情況。

【對策】

1.注重分數意義的建構。

學習分數意義時，教材通常從表示具體數量的分數出發，引出表示分率的分數，如從個蛋糕出發，引出半個蛋糕是一個蛋糕的。教師要有意識地引導學生結合生活實際，正確區分表示具體數量的分數與表示分率的分數。

2.引導學生考慮問題要周全。

教師要引導學生在解決問題時，把各種可能的情況都考慮進去。例題中兩條同樣長的彩帶的長度一共有三種情況，當彩帶的長等于1米時，第一條用去的就是米，跟第二條一樣多，所以剩下的也一樣長；當彩帶的長大于1米時，第一條用去的就大于米，所以第二條剩下的長；當彩帶的長小于1米時，第一條用去的就小于米，所以第一條剩下的長。綜上所述，三種情況都有可能，所以選D。

【練習】

A.一樣長 B.第一根長

C.第二根長 D.無法比較

A.一樣長 B.第一段長

C.第二段長 D.無法比較

A.甲繩長 B.乙繩長

C.一樣長 D.無法比較

【錯例】

正確答案：

2

【診斷】

1.解題思維能力偏弱。

題目涉及分數除法、乘法分配律、用字母表示數的計算等知識。思維能力偏弱的學生，習慣于整數的運算，對于分數且含有字母的計算，往往不知道從哪兒下手。看到式子比較復雜，又含有字母a 就慌了，計算時不論寫到哪個數，都想著后面要寫上字母a。

2.解題策略儲備單一。

由于思維力較弱，所以遇到熟悉的、思維含量比較少的問題時，學生能夠依樣畫葫蘆去解決，但遇到不熟悉的、思維含量比較多的題目時，往往局限于某一種思路而不能自拔。比如，出錯的學生通常陷于“怎樣處理字母a”“數與字母不能直接計算怎么辦”的糾結中，而沒有思考是否還有其他的解決方法。

【對策】

1.注重數學知識的形成過程。

再復雜的計算都是以簡單的計算為基礎的，因此，要通過數形結合、動手操作、推理驗證等多種方法，引導學生在經歷探究、創新知識的過程中，獲得方法、理解概念、發展思維，積累解決復雜問題的思想、策略和方法。

2.注重數學思維的培養提升。

教學中，教師要創設探索、思考的情境，引導學生經歷思維頓悟、體驗成功的快樂。比如，可以提出“怎樣利用乘法分配律改寫去掉小括號后的算式是怎樣的”“比較兩個算式，你有什么發現”等問題，引導學生的思維不斷深入。

3.注重問題解決策略的培養。

引導學生不能只滿足于會用一種方法解決問題，而應多想一想“還有沒有其他的解決方法”。這樣，在遇到新的問題時，學生才會從多個角度去嘗試解決。比如，這道題還可以用假設法來解決，把字母a 用一個具體的數來代替。假設a是，則，去掉小括號后的式子進行計算，，所以4-2=2。

【練習】

2. 4（x+5）比4x+6（ ）（填“多”或“少”）了（ ）。

【錯例】

答：現價比原價便宜了45 元。

正確答案：

解：設這種商品的原價是x 元。

答：現價比原價便宜了60 元。

【診斷】

1.缺少對數量關系的深入分析，沒有找準單位“1”。

2.沒有理解分數的意義，思考問題簡單。

“現價比原價便宜45 元”就是“原價比現價貴45 元”，受此影響，學生以為“現價比原價便宜”也就是“原價比現價貴，把單位“1”人為地進行了簡單化處理，沒有真正理解分數的意義。

【對策】

1.理解分數意義，厘清量率關系。

這是“求一個數比另一個數多（少）幾分之幾”的實際問題，難在如何正確理解“比原價便宜了”。教師可以從兩方面進行引導：一要明確是哪兩個部分相比，把省略式句子補充完整，即“（現價）比原價便宜了”，是“便宜的部分”跟“原價”比；二要確定誰是單位“1”的量，根據兩個部分比較的情況，可以知道“原價”是標準量，因此要把原價看作單位“1”。

2.抓住問題本質，分析數量關系。

“現價”是已知的，“原價”和“現價比原價便宜多少”都是未知的，但“現價比原價便宜多少”可以用單位“1”的量（即原價）的式子來表示。單位“1”的量未知，可以用方程或除法來求。

3.重視數形結合，善于化難為易。

“求一個數比另一個數多（少）幾分之幾”的實際問題，數量關系相對比較復雜，涉及兩個量的雙重比較，既有差比，也有倍比。如果我們引導學生用數形結合的思想方法分析，如畫線段圖，哪個量多哪個量少，以及相互間的關系，就會一目了然，可以用更加簡便的、份數的方法180÷3×1=60（元）來求。

【練習】

1.一種商品現在售價150 元，比原價降低了50 元，比原價降低了幾分之幾？

【錯例】

李叔叔的打字速度是70 字/分，如果他每打30 分鐘休息5 分鐘。那么從上午7 時到9 時，李叔叔一共打了多少字？

錯解一：

答：李叔叔一共打了7000 字。

錯解二：

答：李叔叔一共打了6300 字。

正確答案：

答：李叔叔一共打了7350 字。

【診斷】

1.關鍵信息理解不到位。

題中數量關系比較復雜，解題的關鍵是正確理解“每打30 分鐘休息5 分鐘”這一條件的意思，并能用自己的方法整理和分析數量關系。錯解一把條件“每打30 分鐘休息5 分鐘”中的“休息5 分鐘”，誤以為是包括在30 分鐘里面的。

2.數量關系分析不精準。

有的學生雖然能理解“每打30 分鐘休息5 分鐘”的含義，能把30 分鐘與5 分鐘之和看作一個整體進行計算，但并沒有把最后一段不足30 分鐘的打字時間計入總打字時間，說明學生未能正確分析打字時間與休息時間的關系。

3.解決問題策略不豐富。

凡使用畫圖、列表等比較直觀的方式，幫助整理條件并解決問題的學生，正確率通常比較高。說明數形結合的方法，能夠有效減輕學生思維的負擔，幫助學生較為輕松地解決抽象的問題，而僅僅想到列式這一種策略的學生，一旦思維受阻就束手無策了。

【對策】

1.加強關鍵信息的針對性訓練。

有的條件中蘊含著關鍵信息，學生往往因為缺少數學經驗而抓不住它，或者找到了關鍵信息，但并沒有真正理解其含義，導致做題時出現錯誤。教師在日常教學中要做有心人，主動收集容易發生歧義或不好理解的信息，組織學生開展針對性訓練，使學生會尋找并理解關鍵信息。

2.運用多種策略外顯數量關系。

數學本身以嚴謹著稱，解決問題中一般不會出現模棱兩可、似是而非的條件或問題，要引導學生抓住數學的本質，采用畫圖分析、列表整理等方法，精準分析數量關系。數量關系弄清楚了，解決問題也就容易了。

【練習】

1.某工廠規定工人每上機工作60 分鐘就要休息10 分鐘。王叔叔從8 時上班到12 時下班。他一共上機工作多少分鐘？

2.李阿姨的打字速度是80 字/分，每打30 分鐘休息10 分鐘。如果她從早晨7 時起，打印一份10000 字的報告，打印結束時是幾時幾分？

圖形與幾何

【錯例】

把一張正方形的紙連續對折5 次，折后的每一小塊占這張正方形紙的（）。

正確答案：

【診斷】

1.題意理解出現偏差。

學生知道“對折”是將紙平均分成兩份，卻錯誤地把“對折5 次”理解成是把紙平均分成5 個兩份，而沒有意識到每次對折都需要把前一次對折后的結果作為單位“1”再平均分。

2.動手操作意識淡薄。

如果學生能夠養成動手操作的習慣和意識，根據題目中的條件，拿出一張紙動手折一折，并從中發現“每對折一次，所折成的份數都是原來的兩倍”這一規律，答案就能輕松找到。這說明學生平時動手操作解決問題的意識和機會都比較少。

3.空間想象能力缺乏。

教學時，教師普遍會引導學生開展操作活動，學生也能根據操作結果，很快地得出正確結果。但由于很多教師只滿足于結果的獲得，而缺乏引導學生對結果的再認識、再思考，導致空間想象能力較弱。

【對策】

1.認真審題，正確理解題意。

只有認真審題、正確理解題意，才能為分析數量關系、解決問題提供基礎和保障。教師要引導學生通過動手操作，真正理解“連續對折5 次”的含義,即把最初的那張正方形紙平均分成了2×2×2×2×2=32（塊），則每一小塊占這張正方形紙的。

2.注重過程，培養空間觀念。

教師要引導學生經歷對折正方形紙的過程，并在折的過程中，不斷地比較、思考、描述，促進學生建構空間觀念，并由關注折實物的過程，漸漸上升為對折后規律的思考。比如，引導學生思考：如果折的次數比較多，紙折不起來或不能折時，該怎么辦？促進學生在找規律的基礎上，運用規律解決問題。

【練習】

1.把一張長方形的紙連續對折4 次，折后的每一小塊占這張長方形紙的（ ）。

2.將一張正方形的彩紙沿著同一個方向對折，對折4 次后有（ ）條折痕。

3.把一張正方形紙連續對折3 次后，每一小塊的面積是3 平方厘米，則這張正方形紙原來的面積是（ ）平方厘米。

4.把一個圓形紙片對折3 次，得到一個扇形，量得扇形的弧長是6.28 分米。這個圓的半徑是（ ）分米。

【錯例】

把小旗圖圍繞A 點順時針旋轉90 度，請你畫出旋轉后的圖形。

正確答案：

【診斷】

1.整體感知和描述能力不足。

由于受學習、生活經驗不足的影響，學生空間觀念相對薄弱，整體感知和描述圖形的能力還比較欠缺。比如，左邊那幅圖，旋轉的方向是對的，但所畫小旗的整體形狀卻已經發生了變化。

2.受思維定勢的負面影響。

有的學生習慣地認為，平移的方向不是從上往下，就是從左往右；旋轉的方向都是順時針方向。當遇到稍微復雜一些的圖形運動的問題時，學生會受這種固有思維的影響，產生錯誤的判斷。

【對策】

1.借助實物操作，在反復比較中完善認知。

引導學生在親身經歷圖形旋轉的過程中，掌握操作要領，把握操作規律，完善概念認知。教學中，可以先剪一個與小旗大小、形狀都一樣的實物圖片，讓學生按照要求在圖上圍繞指定的點轉一轉，重點引導學生關注旋轉前后小旗的邊或頂點發生的變化，體會圖形旋轉后位置發生了變化，但形狀和大小是不變的。

2.注意逐步過渡，搭建合適的上升階梯。

在經過實物操作、明晰旋轉要素的基礎上，引導學生由旋轉簡單圖形逐步過渡到旋轉稍復雜的圖形。比如，指導學生先旋轉線段，再旋轉長方形、正方形，之后旋轉三角形、梯形及不規則圖形等。要引導學生說清楚“繞哪個點旋轉”“按什么方向旋轉”“旋轉了多少度”等操作過程中的基本問題。還可以借助多媒體課件等直觀手段，把旋轉過程動態演示出來，也可以借助實物檢驗旋轉結果是否正確。

【練習】

1.從3 時到6 時，時針繞中心點（ ）（填“順”或“逆”）時針旋轉了（ ）度。從6 時到12時，時針繞中心點（ ）（填“順”或“逆”）時針旋轉了（ ）度。

2.把三角形ABC 先向上平移3 格，再向左平移5 格，正好達到圖中的位置。請你在圖中畫出三角形ABC 原來的位置。

3.畫出三角形AOB 繞O 點逆時針旋轉90 度后得到的圖形。

【錯例】

求出下面圖形的周長。

正確答案：

【診斷】

1.受直觀感知的影響，周長與面積相混淆。

對于圓，學生最先感知的是整個圓的“面”，其次才是“線”，因此，容易受“半圓面積是半徑相同的整圓面積的一半”的負遷移，產生“半圓周長是半徑相同的整圓周長的一半”的錯誤結論，即用整圓的周長除以2 來求半圓的周長。

2.對周長概念理解不深，應對問題能力不足。

我們在學習圓的周長時，通過繞線法、作記號滾動法等，化曲為直測量圓的周長。當出現求半圓周長時，如果也能像初學圓的周長那樣，先用直觀的方法表示出半圓的周長，比如用筆把這個半圓的周長畫出來，那么“半圓的周長由圓周長的一半與圓的直徑兩部分組成”就一目了然了。

【對策】

1.首次感知需建構正確的概念。

要使學生對圓的周長和面積不產生混淆，需要在他們首次接觸周長、面積時，創設豐富的活動情境，讓學生在指一指、摸一摸、描一描、畫一畫、剪一剪、量一量等過程中，充分感知周長與面積的含義，比較周長與面積的異同，建構正確的概念。

2.注重體驗感悟中加強辨析。

由于錯誤出現在“半圓的周長”與“圓周長的一半”這兩個相似內容上，因此有必要對所學內容適時開展比較、辨析的教學。比如，從概念的內涵進行梳理、比較，請學生動手指一指、描一描這個半圓的周長，說一說它與圓的周長相比有什么特殊的地方。從而使學生理解半圓的周長不是圓周長的一半，是由圓周長的一半和圓的一條直徑組成的。

【練習】

1.把一個半徑8 分米的圓，沿直徑切成兩半，所得到的圖形跟原來的圖形相比，周長（ ），面積（ ）。（括號里填“變了”或“不變”。）

2.求出下面圖形的周長和面積。（單位：米）

【錯例】

在直徑是8 米的圓形花壇外面，有一條寬2米的小路，這條小路的面積是多少平方米？

錯解一：π×[（8+2）÷2]2-π×（8÷2）2=9π（平方米）

錯解二：π×（8÷2）2-π×（2÷2）2=15π（平方米）

正確答案：

【診斷】

1.空間觀念薄弱，處理復雜條件經驗不足。

相對于長方形、正方形、圓的面積的計算，圓環面積的計算更加復雜，生活中，圓環的內容也比較少。考慮到實際情況，教材中涉及圓環面積的教學，通常都會配上示意圖，并直接告知學生圓環外圓和內圓的半徑（直徑）的長度，學生只要抓住公式，處理起來并不很難。因此，學生往往會形成這樣錯誤的想法，數值大的就是圓環的外圓半徑（直徑），數值小的就是圓環的內圓半徑（直徑）。

2.過度依賴直觀，思維不夠縝密。

正是因為教材中遇到圓環問題，一般都會配上相應的示意圖，因此，學生對于直觀產生了一定的依賴，習慣于從圖中獲取、分析信息，以至于離開了圖，就不會分析“圓形花壇外面寬2 米的小路”，到底是花壇的半徑多了2米，還是直徑多了2米。

【對策】

1.豐富數學經驗，培養空間觀念。

如果沒有現實生活中的親身經歷，學生學習數學的前置經驗就會有缺失，遇到的數學問題即便來自于現實生活，也會無從入手。因此，可以組織學生走出教室，親身參與觀察、測量、交流等活動過程，讓他們自主發現“寬2 米的小路”原來就是讓花壇的半徑多出2 米，或者是讓花壇的直徑多出兩個2 米。

2.養成畫圖習慣，體驗畫圖價值。

教學時，要引導學生善于將抽象的文字轉化成具體的圖形，通過畫圖表征題意，并把數據在圖中標示，能夠直觀地看到各數量間的關系。比如，大圓的半徑就是花壇的半徑加上小路的寬度。畫圖的策略，也有利于排除無關因素的干擾，讓學生將注意力聚焦于大圓和小圓的半徑上。

3.適度拓展練習，優化數學思維。

圓環面積的計算有很多拓展的題型，比如，可以將圓環與正方形、三角形進行組合，求出指定部分的面積。教師要有意識地尋找符合學生認知特點的題目，指導學生在自主思考、互動交流中加強認識，促進幾何直觀思維的發展。

【練習】

1.在半徑6 米的圓形花壇外，鋪一條寬4 米的環形石子路。這條石子路的面積是多少平方米？

2.在直徑6 米的圓形花壇外，鋪一條寬4 米的環形石子路。這條石子路的面積是多少平方米？

3.在周長25.12米的圓形花壇外，鋪一條寬4米的環形石子路。這條石子路的面積是多少平方米？

【錯例】

李師傅剪出如圖所示的一張長方形鐵皮中的涂色部分，正好可以做成一個圓柱。做成的圓柱的體積是多少立方分米？

正確答案：

答：做成的圓柱的體積是13.5π 立方分米。

【診斷】

1.讀圖能力不足。

從錯解可以看出，學生不善于從圖中讀出解決問題所需要的條件，思路混亂，找不到解決問題的突破口。學生的解題意圖，是把12.42 分米看成圓柱的底面周長，通過底面周長求出底面直徑，再用兩個直徑的長與12.42 相乘，然而，這樣求到的既不是做成的圓柱的體積，也不是圓柱的表面積。

2.數據關系理解不透。

不少學生對與圓柱展開圖相關的數據理解得不夠透徹，不能將展開圖上的數據與圓柱各部分建立正確的聯系，因而不能根據所給出的圖形正確判斷出“圓柱的底面周長等于涂色長方形的長”“12.42分米即是圓柱的底面直徑與底面周長的和”。

【對策】

1.搭建思維坡度，經歷思考過程。

我們可以適當改變題中提供的條件，降低思維難度，幫助學生厘清數量關系。

比如，可以組織學生先找出下面這張圖上數據與圓柱各部分之間的關系，求出圓柱的體積。做成的圓柱的底面直徑是6÷2=3（分米），則底面周長是3π 分米，而圖中涂色長方形的長就等于圓柱的底面周長，由此，涂色長方形的長=圓柱底面周長=圓周率×圓柱底面直徑。

2.深入數學本質，排除無效信息。

我們可以引導學生進一步思考、討論：能不能用涂色長方形的寬作為圓柱的底面周長？用涂色長方形的長作為圓柱的高？使學生明白，由于涂色長方形的寬正好是圓柱底面直徑的2 倍，因此，不能作為圓柱的底面周長，所以圓柱的高一定是6分米，而圓柱的底面直徑是3 分米。知道了圓柱的底面直徑和高，它的體積也就可以求出了。

3.溝通前后聯系，提升數學思維。

厘清數據之間的關系后，我們可以結合錯例，重點引導學生討論三個問題：一是涂色長方形哪條邊作為圓柱的底面周長？二是涂色長方形哪條邊作為圓柱的高？三是12.42 分米由哪幾部分組成，又是怎么得到的？

經過討論交流，學生能夠明白：要把涂色長方形的長作為圓柱的底面周長，寬作為圓柱的高，而12.42 分米就是圓柱底面周長與一條直徑的和。由πd+d=（π+1）d 可知，可以通過12.42÷（π+1）求出圓柱的底面直徑是3 分米，圓柱的高是3×2=6（分米），在此基礎上，再求圓柱的體積便不難了。

【練習】

張師傅剪出如圖所示的一張長方形鐵皮中的涂色部分，正好可以做成一個圓柱。

（1）這張長方形鐵皮的面積是多少平方厘米？

（2）做成的圓柱的體積是多少立方厘米？

【錯例】

把一個長10 厘米、寬8 厘米、高6 厘米的長方體木頭，切成一個圓柱。切成的圓柱體積最大是多少立方厘米？

錯解一：π×（10÷2）2×8=200π（立方厘米）

答：切成的圓柱體積最大是200π 立方厘米。

錯解二：π×（6÷2）2×10=90π（立方厘米）

答：切成的圓柱體積最大是90π 立方厘米。

正確答案：

答：切成的圓柱體積最大是96π 立方厘米。

【診斷】

1.望文生義，缺少與生活實際相結合的數學思考。

看到“切成的圓柱體積最大”，學生馬上想到要用最大的兩個數，分別作為圓柱的底面直徑和高，而不是從實際做成的圓柱體與長方體木頭之間的關系，去分析、思考要把哪個面作為圓柱的底面，把哪條邊作為圓柱的高。

2.思維簡單化，不善于從整體上把握關鍵問題。

多數學生沒有從整體上思考這道題可能會有幾種結果，然后把各種結果進行比較，從中找出最大的體積。也有的學生想當然地認為，長方體的底面是長10 厘米、寬8 厘米的長方形，所以圓柱的底面也只能從這個長方形中截取，盡管答案可能是正確的，但思考的過程卻是有瑕疵的。

【對策】

1.整體把握，多角度思考問題。

引導學生從整體入手，如果先不看“最大是多少”，一共有幾種情況。可以先解決當圓柱的高是多少厘米時，它的底面直徑是多少厘米。經過分析，一共有三種情況，分別是當圓柱的高是6厘米時，底面直徑是8 厘米；當圓柱的高是8 厘米時，底面直徑是6 厘米；當圓柱的高是10 厘米時，底面直徑是6 厘米。

2.分別計算，比較中確定結果。

有序算出三種情況的結果，并通過比較確定最大值。當高是6 厘米，底面直徑是8 厘米時，體積為π×（8÷2）2×6=96π（立方厘米）；當高是8 厘米，底面直徑是6 厘米時，體積為π×（6÷2）2×8=72π（立方厘米）；當高是10 厘米，底面直徑是6 厘米時，體積為π×（6÷2）2×10=90π（立方厘米）。比較后可知，切成的圓柱體積最大為96π立方厘米。

【練習】

1.用一塊長15.7 米、寬12.56 米的鐵皮，圍成一個最大的圓柱體的糧倉（接頭不計），這個糧倉的體積是多少立方米？

2.把一個長7 分米、寬6 分米、高9 分米的長方體木塊，削成一個體積最大的圓柱。這個圓柱的體積是多少立方分米？

3.把一個長4 分米、寬2 分米、高3 分米的長方體木塊，削成一個體積最大的圓錐。這個圓錐的體積是多少立方分米？

【錯例】

如圖，一個魚缸中放有一塊高是28 厘米、體積是4.8 立方分米的假山石，如果打開自來水管向魚缸注水，那么至少放多少水才能將假山石完全淹沒？

錯解一：

答：至少放25200 毫升的水才能將假山石完全淹沒。

錯解二：

答：至少放20400.1 毫升的水才能將假山石完全淹沒。

正確答案：

答：至少放20400 毫升的水才能將假山石完全淹沒。

【診斷】

1.審題能力欠缺，遺漏關鍵信息。

學生審題時，沒有把關鍵信息充分提取出來，體積為4.8 立方分米的假山石本身就在魚缸之中，有的學生忘記了魚缸中的假山石也占體積，以為求出長方體魚缸中無假山石時28 厘米高的水的容積就可以了。

2.缺乏生活經驗，誤解關鍵詞語。

有的學生讀題時，看到“淹沒”一詞，誤以為既然水是淹沒了假山石的，那么水的高度一定是高于假山石的高度，因此，當計算出放入魚缸里的水的容積后，還要隨意地加進去一些水，如錯解二中，學生多加了0.1 毫升的水。

【對策】

1.形成審題習慣，培養審題能力。

教師要引導學生充分重視良好審題習慣的培養。比如：拿到題后，首先要細讀文字，理解題意；接著要抓住關鍵字詞，圈圈畫畫、細心推敲，尋找數量關系，形成解題思路；解題后還要檢驗，或是根據生活實際進行估計，或是把算出的結果作為條件代入，或是運用其他方法計算驗證。

2.加強對比辨析，實現自我糾錯。

可以把錯誤的解法和正確的解法放在一起，讓學生在比較中找出錯誤原因，明晰解題注意點，糾正錯誤思路。可以設計同類的、相關的題組，引導學生比較條件、問題和解題過程，通過互動交流、相互提醒，明晰問題本質，比如審題不可馬馬虎虎、同一題中的單位名稱要一致等。

【練習】

1.一個長方體水箱，長7 分米、寬6 分米，水深5 分米。把兩個同樣大小的鐵球完全浸沒在水中，水面上升到8 分米處。每個鐵球的體積是多少立方分米？

2.小明在一個長10 厘米、寬10 厘米、高15 厘米的長方體容器中加入一些水后，測量一塊石頭的體積。當把石頭浸沒在容器中時，容器上口有水溢出。當把石頭從容器中取出來后，水面下降到10 厘米高的刻度處。這塊石頭的體積是多少立方厘米？

3.一個盛水的長方體容器，長5 厘米、寬4 厘米、高10 厘米。里面水深2 厘米，現將一個棱長3厘米的正方體鐵塊垂直放入容器底部。長方體容器中現在水深多少厘米？

統計與概率

【錯例】

一個骰子六個面上的點數分別是1 到6。同時擲兩枚骰子，如果點數和是5、6、7、8、9 中的一種，判定老師贏，否則學生贏。（學生）贏的可能性比較大，因為（同時擲兩枚骰子，點數和從2 到12，共有11 種可能，老師有5 種贏的可能，而學生有6 種贏的可能）。

正確答案：

（老師）贏的可能性比較大，因為（同時擲兩枚骰子，點數和共有36 種可能，老師有24 種贏的可能，而學生只有12 種贏的可能）。

【診斷】

1.題意理解淺表化。

可能性雖然是生活中常見的現象，但將其從生活中抽象出來，用數學的眼光來看，學生又會感覺比較陌生。從而導致學生對于題意的理解浮于表面。比如，學生會錯誤地以為，同時擲兩枚骰子，點數和共有11 種可能，老師選了5 種，則學生選6種，6種大于5種，所以學生贏的可能性比老師大。

2.策略選擇不恰當。

解決問題時，學生忽略了“同樣的結果，可以由兩枚不同骰子上的數相加得到，比如1+2 跟2+1，是兩種不同的情況”，因此，不能簡單地從兩枚骰子上的點數和有11 種，就確定誰贏的可能性大，而要從排列組合的角度，去思考每種結果可能性的大小，再來判斷誰贏的可能性大。

【對策】

1.組織探究活動，經歷實踐操作過程。

事件發生的可能性的大小，需要通過實踐來驗證。教學時，要創設學生參與的情境，選擇學生感興趣的活動題材作為探究素材，引導學生充分經歷“提出猜想——收集、整理數據——分析數據”的過程，既能豐富學生感受事物發生可能性大小的直觀體驗，又能感悟不確定現象的特點。

2.重視解題策略，發展數據分析觀念。

引導學生在仔細觀察、大膽猜測、充分實驗、互動交流的過程中，體驗可能性的大小，培養和發展統計與數據分析觀念。必要時，可以借助一一列舉的策略，直觀形象地表示出所有出現的可能，借此彌補學生經驗上的不足，澄清認識上的誤區。比如，“兩枚骰子的點數和有多少種”“老師、學生贏的可能性各有多少種”等問題，可以通過一一列舉的方法找到正確的答案，具體如下表。

兩枚骰子__點_______________________________________數和種數____2______________________3____________________4 5 6______________7________________8____9___________________10_____________________11________________________12式子1+1 1+2、2+1____________1+3、2+2、3+1__________1+4、2+3、3+2、4+1 1+5、2+4、3+3、4+2、5+1 1+6、2+5、3+4、4+3、5+2、6+1____2+6、3+5、4+4、5+3、6+2______3+6、4+5、5+4、6+3________4+6、5+5、6+4__________5+6、6+5____________6+6_______________1___2___3___4___5___6___5___4___3___2___1___

【練習】

1. 八張卡片上分別寫有1、2、3、4、5、6、7、8，每次任意摸出一張，摸到比4 大的姐姐贏，摸到比4小的妹妹贏。（ ）贏的可能性比較大。

2.用7、8、9這三張數字卡片，可以組成（ ）個兩位數，其中組成（ ）（填“奇”或“偶”）數的可能性比較小。

3.把寫有數字1 到9 的九張卡片，倒扣在桌面上，打亂順序后，任意摸出一張，摸到（ ）的可能性最大。

A.質數 B.合數

C.奇數 D.偶數

【錯例】

六年級一班第一小組學生身高情況如下表。這個小組學生的平均身高是多少厘米？

身高/厘米___人數/人143 1_____145 3____149 5_____155_1___

答：這個小組學生的平均身高是148 厘米。

正確答案：

答：這個小組學生的平均身高是147.8 厘米。

【診斷】

1.平均數意義的理解不深刻。

平均數這個統計量在統計學上的意義，是能夠刻畫、代表一組數據的整體水平。通過學習，至少需要學生從三個方面理解其意義：一是應用“移多補少”求平均數。二是應用“先合再分”求平均數，即根據“總數量÷總份數=平均數”來求。三是明確一組數據的平均數的范圍是在最小數和最大數之間。從錯解可以看出，學生雖然記住了求平均數的數量關系式的形，但對平均數意義的本質的理解還存在偏差。

2.數據統計和分析的訓練不夠。

日常解決平均數的問題，通常都是用文字直接敘述的，像這種將統計和平均數相結合的題，學生接觸相對較少。如果教師沒有帶領學生經歷過“先統計原始數據，再將原始數據分類整理、繪制統計圖表，最后根據統計圖表上的數據信息，進行合理分析、描述、解決問題”的完整過程，學生想讀懂這道題，是有一定難度的。

【對策】

1.經歷過程，有效理解平均數的意義。

要從統計學的角度學習平均數,讓學生在經歷完整的統計活動的過程中，不斷體會、感悟、理解平均數的意義；要在繪制統計圖表的過程中，培養學生讀圖的能力；要在用數據描述、分析統計圖表的過程中，深化學生對“平均數是一種統計量”的理解。

2.自主探索，培養學生的數據分析觀念。

創設合理情境（如從兩組人數不等的學生中，選拔投籃水平較高的一組，參加更高等級的比賽），促進學生自主探究求平均數的方法——移多補少或先合再分。引導學生在對兩種方法的比較中，感悟它們的共同點。同時，適時滲透平均數的范圍在最小數和最大數之間，以及平均數能反映出一組數的整體水平，但不能代表每個個體的情況，平均數受極端數據的影響較大，幫助學生更加深刻、全面地理解平均數。

【練習】

1.一個書架上，第一層放了36 本書，第二層放了42 本書，第三層和第四層共放了54 本書。平均每層放了多少本書？

2.在上學期期末測試中，六年級二班的平均分是95 分。老師給第一小組學生記分如下：

姓名__分數____學生1__+3_____學生2__+5______學生3__0______學生4__-3______學生5__-1_____學生6__+5______學生7__-1______學生8 0___

那么第一小組的平均分是多少分？

3.甲、乙、丙、丁四個人的年齡中，最大的45歲，最小的24 歲。那么他們四人的平均年齡有可能是（ ）歲。

A.46 B.40

C.24 D.20

【錯例】

1.下面是六年級一班學生一至六年級時的近視率記錄表。要反映近視率的變化情況，可選用（C）統計圖。

?

A.條形 B.折線 C.扇形

正確答案：

B

【診斷】

1.思維定勢干擾，審題馬虎。

扇形統計圖的特征是能表示各部分數量與總數之間的關系，學生學習扇形統計圖時，見到的數據很多都是百分數，誤以為只要是有百分數數據的統計圖，就一定是扇形統計圖。受這種負遷移的影響，看到“百分比”三字，學生就毫不猶豫地選擇C，而忽略了題目的要求是“反映近視率的變化情況”。

2.提取信息能力不足，盲目選擇。

學生對于條形統計圖、折線統計圖和扇形統計圖各自的特征理解不深，不善于抓住關鍵信息處理問題。比如，需要清楚地反映數量的多少可以選用條形統計圖或折線統計圖；需要直觀地看出數據增減變化的情況宜選用折線統計圖；需要清楚地看出各部分數量與總數之間的關系應選用扇形統計圖。三種統計圖雖有不同，但也有聯系，有時可以同時選擇兩種統計圖來解決問題，導致有的學生無所適從。

【對策】

1.注重學習，夯實基礎。

教材把扇形統計圖安排在六年級學習，而條形統計圖、折線統計圖在四、五年級就學習了，中間跨度比較大，容易發生知識遺忘現象。因此，在學習扇形統計圖前，要加強對條形統計圖、折線統計圖知識的復習，為學習新知打下扎實的基礎。

2.抓住特征，比較提升。

為了能夠正確選用統計圖，學生掌握扇形統計圖的特征和作用后，應適當加強對三種統計圖的比較，幫助學生厘清三者之間的聯系和區別，明晰各自的概念和適用范圍。解決問題時，要著重培養學生認真審題和信息提取、解讀的能力，比如查找隱含信息的能力、刪除多余信息的能力、圈出關鍵信息的能力等，有利于學生抓住問題本質，合理選擇解決問題的方法。

【練習】

1.某社區要反映本區域內人口年齡結構，他們選用（ ）統計圖，能更清楚地看出各個年齡段的人數占總人數的百分之幾。

A.條形 B.折線 C.扇形

2.表示一位病人一天內體溫的變化情況，繪制（ ）統計圖比較合適。

A.條形 B.折線

C.扇形 D.無法確定

3.電器商場的王經理計劃制作一個統計圖，需要能夠清楚地表示出4 個商場8 月份甲、乙兩種空調的銷量情況，制成（ ）統計圖比較好。

A.扇形 B.復式扇形

C.復式條形 D.復式折線

【錯例】

一天，明明去上學。他剛走不久，媽媽發現他忘記帶數學書了，于是就去追明明。

（1）媽媽出發時，明明已經走了（300）米，他的速度是（300）米/分。

（2）照這樣的速度，媽媽出發后（4）分鐘可以追上明明。

正確答案：

（1）媽媽出發時，明明已經走了（250）米，他的速度是（50）米/分。

（2）照這樣的速度，媽媽出發后（10）分鐘可以追上明明。

【診斷】

1.獲取圖像化數學信息的能力不足。

圖中反映的是路程與時間的關系，學生應直接從圖中讀出：明明出發（ ）分鐘時走了（ ）米；媽媽出發時，明明已經走了（ ）米，媽媽出發（ ）分鐘時走了（ ）米。還要通過直接讀出的信息，間接讀出：明明的速度是（ ）米/分，媽媽的速度是（ ）米/分，媽媽出發后（ ）分鐘可以追上明明。如果直接用文字進行描述，或許學生能夠理解，但用圖像來表征這些數學信息，學生的理解力就顯得有欠缺。

2.數量關系分析不當。

從圖中所畫的兩條線段的趨勢來看，都是呈正比例關系，即“路程÷時間=速度（一定）”，可以抓住圖中某些關鍵的點進行數量關系的分析。但因讀圖能力較差，學生對數量關系的理解與分析都存在問題，導致錯解。

3.數學知識應用能力不足。

很多學生不能將數學問題與生活中的數學建立聯系，當遇到從生活中提煉出來的數學問題時，往往不能運用所學的數學知識去解決實際問題。

【對策】

1.結合生活實際，注重感悟數量關系。

教師要善于引導學生將數學與生活建立聯系，無論從文字上，還是從圖表中，都能讀懂那些富有生活氣息的數學信息，讓學生經歷從生活中提煉數學信息的過程，充分理解、感悟相互間的數量關系。

2.加強識圖訓練，培養數據分析能力。

教師要盡可能地為數據賦予生活實際背景，多從圖表中數據的含義、讀圖繪圖的方法入手，培養學生既能很快識別直接信息，又能從中推導出間接信息的能力。

3.探尋解題策略，多法并舉優化思路。

當引入圖表反映數量關系后，除了將圖上數據與原有的文字建立聯系外，有時還可以運用直觀的方法，解決圖表上的問題。比如這道例題，可以讓學生拿出筆和尺，按照兩條線段的發展趨勢畫一畫，它們的交點處即是媽媽追上明明的地方，只要圖表畫得精準，我們就能一眼看出，媽媽追上明明時，是在離家多少米處，是在明明和媽媽各自出發了多長時間的時刻。

【練習】

客車從甲地開往乙地，貨車從乙地開往甲地，行駛的情況如圖。

（1）貨車所行的路程與時間成（ ）比例關系。

（2）客車在距乙地（ ）千米的地方停留了（ ）小時。

（3）客車與貨車相遇時，客車大約行駛了（ ）小時，相遇地點距甲地大約（ ）千米。

【錯例】

某市音樂考試進行改革，考試結果以等級形式呈現，分甲、乙、丙、丁四個等級。幸福小學六年級為了迎接畢業考試，進行了一次模擬考試，隨機抽取部分學生的音樂成績進行調查統計，繪制成如下兩幅不完整的統計圖。如果該校六年級共有250 名學生，估計一下，這次模擬考試有多少名學生的音樂成績等級為丁？

答：這次模擬考試有30 名學生的音樂成績等級為丁。

正確答案：

答：這次模擬考試有25 名學生的音樂成績等級為丁。

【診斷】

1.未能有效關聯統計圖間對應信息。

條形統計圖與扇形統計圖是對同一事件的兩種不同的表達，學生缺少對扇形統計圖的充分認知，不能把扇形統計圖中的信息與條形統計圖中的信息進行有效整合。

比如，考得甲等級的學生，從條形統計圖中可以知道有15 人，從扇形統計圖中可以知道是占抽取統計總人數的30%，進而可以求出抽取統計的總人數是15÷30%=50（人）。

2.沒有有效建構數量關系知識體系。

由于數量關系比較復雜，涉及部分量與總數之間的關系、具體數量與對應分率的關系、抽取人數與總人數之間的關系等，對于學生而言，具有很大的挑戰性。

比如，同一個30%，從抽取樣本角度看，是指抽到的得甲的人數占抽取總人數的30%；從總體情況角度看，也可以表示六年級所有參加考試的人數中，得甲的人數占30%。如果沒有真正讀懂題目中的信息，并對這些信息進行分析、有效建構關聯，就只能望“題”興嘆了。

【對策】

1.促進知識內與知識間的關聯。

既要形成同一個知識體系內各知識點之間的關聯，也要促進不同知識體系之間的關聯。比如，扇形統計圖是以圓和扇形的知識作為基礎的，教學中可以適當增加扇形知識內容的教學，讓學生更加充分、深刻地認識扇形統計圖的特征和用途。同時，聯系百分數的意義，將兩幅統計圖中得甲的信息進行分析，理出解決問題的思路。

2.提升信息獲取和加工的能力。

平時的學習中，要有意識地培養學生文本信息、圖表信息的獲取與加工能力。要引導學生從宏觀和微觀兩個層面正確把握數學信息，既要從整體上觀察統計圖中的項目信息，看出各部分占總數的百分數，又要尋找同一圖表內和不同圖表間各信息的對應關系，在比較中加深理解，確保問題得到解決。

【練習】

在一次打擊電信網絡詐騙犯罪專項行動中，希望小學學生開展了“防止電信網絡詐騙”的調查活動。同學們將調查結果整理分析后，正在繪制統計圖。

（1）希望小學學生一共調查了（ ）人。

（2）完成上面的統計圖，并寫出有關的計算過程。