經歷概念的形成過程 積累基本活動經驗
——以“平面向量的概念”教學為例

福建省福州市閩清高級中學 (350800) 林朝暉

積累基本活動經驗是數學學習的基礎，是提升學生數學核心素養的重要標志.數學基本活動經驗，指的是學生在經歷數學學習活動的過程中所獲得的感受、體驗與認知.對于學生來說，數學活動經驗需要在“做”中獲得，在“思”中提升，在“悟”中遷移.因此，教師應引導學生主動、積極參與數學學習活動，讓學生經歷實踐操作的過程，在觀察操作中把感受提升為經驗；讓學生經歷內化、反思等活動過程，從而提煉出具有數學本質的基本活動經驗.筆者以高中數學新教材(人教A版)必修第二冊“平面向量的概念”的教學為例，談談積累數學基本活動經驗的教學實踐與思考.

1 在概念引入處喚醒基本活動經驗

概念的形成過程是對概念進行歸納、抽象、概括的過程，經驗性認識常常是內隱的，教師應遵循由感性到理性、由具體到抽象這一學生的基本認知規律，創設恰當的問題情境，幫助學生搭建學習新知的“腳手架”，把一些抽象的知識形象化，才能激發學生的活動動機，幫助學生從“冰冷的美麗”中真正感受和體驗數學家發明創造時的“火熱思考”，從而喚醒學生的基本活動經驗.

教學片斷1 創設情境，抽象概念

問題1 某景區內有三個小島A,B,C，幾位游客乘觀光游艇先從A到B體驗雙向索道,再從B至C感受水上滑梯,請從物理角度談談在此觀光過程中所涉及到的量.

追問：請同學們回顧物理中學過的位移，說說距離與位移這兩個量有什么不同？

師生活動：引導學生歸納得到位移是矢量,不僅有大小,還有方向，而距離只有大小，沒有方向.

設計意圖：從熟悉的問題引人,引導學生把問題1的內容抽象成數學問題，引出向量的原型“位移”.

問題2 大家能再舉出幾個既有大小，又有方向的量嗎？

師生活動：學生舉出如下例子，如速度，加速度，重力、浮力等.

追問：能否舉出只有大小、沒有方向的量？(意圖通過對比，凸顯出向量的兩個要素.)

生：身高、體重、面積、體積……

師：在數的概念的學習中，我們從一本書、一支筆、一付眼鏡……抽象出了只有大小的數“1”.類比數的概念，可以對大小和方向兩個要素的量進行抽象(如浮力、重力、速度、加速度等)，得到一種新的量，我們將這些量叫做向量.

設計意圖：通過引導學生列舉實例，提煉出事物的本質屬性，從而抽象、概括出“向量”的概念.

問題3 請大家說一說，我們可以按照怎樣的思路研究一個新概念？

設計意圖：類比實數的教學，引導學生歸納出研究一個新概念的基本思路：抽象出事物的本質屬性——給出定義——用符號表示——認識特殊對象——研究特殊關系——數學應用.

“平面向量的概念”教學內容涉及到多個概念的形成、同化和命名.本環節通過創設熟悉的生活情境,引導學生主體參與，喚醒學生基本活動經驗，讓學生在活動中初步感受新知，并在腦海中形成新知的表象.教師通過引導學生運用類比、特殊化等思想方法“賞玩”新概念，引導學生提煉研究新概念的一般思路，讓學生在活動中體驗和感悟學習新概念、研究新問題的方法，為后續的學習起到了“導游”作用，發展了數學抽象素養.

2 在觀察操作中構建基本活動經驗

學生在參與和經歷數學學習活動的過程中，可以直接獲得一些數學活動經驗，但如果這些經驗僅僅停留在感性的層面，只是膚淺的經驗，需要教師運用教育智慧引領學生揭示感性經驗背后理性的力量.因此，教師應引導學生通過“做”探索知識和規律，在實踐活動中理解和感悟數學，直至獲得某些“再創造”的思維活動成果.這樣，才能使學生生成的基本活動經驗更加豐富、深刻，更“接地氣”，從而實現“感性經驗”向“理想經驗”的提升.

教學片斷2 形象表示，深化理解

問題4 為了方便起見，學習了向量概念之后，通常需要用符號表示.大家想一想，如何表示一個實數?

生1:可以用小寫英文字母表示實數,如a,b,c…

師:還可以怎么表示？

生2:畫數軸表示,如圖1，AB=1,OB=2.

圖1

師：實數可以這樣表示，那平面向量該怎樣表示呢？

設計意圖：讓學生在活動中提煉出符號化語言，培養學生的符號化意識.

師生活動：學生討論，然后請兩位同學板書，師生討論并完善.

追問1：這兩位同學都想到用有向線段來表示一個向量(如圖2)，這是向量的“形”的表達方式，也可用符號表示，我們應該怎樣用符號表示呢？

圖2

師：生3將向量和線段進行類比，非常好！類比思想有助于今后的學習.

設計意圖：進一步強調向量的方向性，深化學生對向量概念的理解.

教學片斷3 認識特殊，引出關系

問題5 大家知道，有兩個很特殊的實數0與1,是否也有特殊的向量呢？

生5:有，長度為0與長度為1的向量就是特殊的向量.

設計意圖：讓學生通過0與1這兩個特殊實數，類比引出零向量、單位向量的概念.

追問1：零向量與單位向量的方向該怎樣規定？

追問2：若將平面上所有的單位向量平行移動到同一起點，想想這些單位向量的終點軌跡是什么？

設計意圖：緊緊圍繞學生容易忽略的向量的方向性，滲透規定零向量方向任意的合理性.通過追問，引導學生進行觀察、分析，突破單位向量的方向這一難點.

追問3：剛剛已經學習了特殊模長的向量，是否具有特殊關系的向量呢？

問題6 說出圖3中各個向量的模，其中哪些向量是單位向量？

圖3

設計意圖：通過活動，深化學生對向量的模與單位向量的理解.

追問2：平行向量從方向上刻畫了向量的關系，它們與大小是否有關？

追問4：兩個向量相等，是否與其位置有關？

師：相等的非零向量都可以“自由平移”，說明了向量是可以平行移動的“自由之軀”，與向量的起點無關.

設計意圖：通過直觀感知、教師啟發，引導學生參與向量概念的定義過程，歸納出平行向量、相反向量、相等向量等概念，使概念成為學生觀察、比較、抽象、概括后的自然產物，符合學生認知規律,也為引出共線向量埋下伏筆.

設計意圖：共線向量是學生學習的難點,問題7意在引導學生體會共線向量就是平行向量，自然獲得共線向量的定義.

以上探究過程，始終以學生為主體，以問題串為主線，啟發學生類比實數概念的學習，通過操作、分析、思考、討論，逐步抽象概括出向量的有關概念.在活動過程中，教師注重滲透數學思想方法，并運用類比的思想、聯系的觀點引導學生利用已學的數學知識和數學基本活動經驗探索向量的有關概念.隨著學習活動的逐步推進，部分學生能主動地運用類比的思想進行探究，自然獲得與向量有關的基本概念，從而積累了“數學化”的活動經驗，提升了直觀想象、數學抽象、邏輯推理等數學核心素養.

3 在反思感悟中積累基本活動經驗

數學知識的類比性使得學生所積累的基本活動經驗具有遷移性，這些經過學生內化、感悟的經驗是學習新知的生長點.因此教師應創設數學學習活動所需要的情境，并給學生留足反思感悟的時間，讓學生自主參與到數學學習活動中，經歷內化、反思等活動過程，這樣有利于數學知識在深度思考中得到提升與完善，有利于建構系統化的認知體系.長此以往，學生就會積淀豐富多樣、“生長力強”的數學基本活動經驗.

教學片斷4 辨析概念，深度思考

問題8 下列說法是否正確，請說明理由.

(2)單位向量是相等向量；

設計意圖：針對學生可能產生的理解偏差，讓學生辨析，強化他們對概念本質的理解，積累活動經驗.

問題9 設O是正六邊形ABCDEF的中心.

圖4

圖5

設計意圖：讓學生進一步體會共線向量、相等向量的含義，深化相等向量和共線向量的聯系與區別.

教學片斷5 反思總結，提升高度

問題11 本節課學習了哪些內容？你能應用思維導圖對所學的內容進行梳理嗎？

問題12 本節課學習中運用了哪些數學思想方法？

設計意圖：引導學生梳理所學知識，深化向量有關概念，為學習向量的運算鋪墊；另一方面，引導學生感悟數學思維方式、數學思想方法，獲得研究新概念的基本套路.

對上述問題的辨析與反思，發揮了一般觀念的思維引領作用，是學生對平面向量概念的再認，對向量概念形成過程中體現的研究方法、研究經驗的總結反思，有利于建立更高層次的認知結構，從“經歷”走向“經驗”.

總之，數學教學需要讓學生親身參與數學學習活動，在“做”、“思”與“悟”中不斷積淀基本活動經驗.數學課堂教學應該為學生創設具有豐富性和挑戰性的探究活動，引導學生通過觀察分析、抽象概括、邏輯推理、反思總結等思維活動，促進個體經驗的交流與融合，從而“生長出”新的數學活動經驗，讓數學核心素養的發展更加枝繁葉茂.