圓錐曲線中兩條直線斜率之積為定值的探究*

重慶市長壽中學校 (401220) 田 鵬

1 問題背景

圓錐曲線中關于定點、定值的問題是歷年高考試題和各地的模擬試題中常考問題.這類問題綜合性強，計算量大，結論優美，蘊含豐富的背景，結論可以推廣.另外，斜率是解析幾何中刻畫直線的重要因素, 在判斷直線間的關系時起到了不容忽視的作用.本文對圓錐曲線中兩條直線斜率之積為定值進行分析、研究、推廣.

2 原題呈現

本題主要考查直線與橢圓的位置關系，第(1)問是求橢圓的標準方程，構建相關方程組，易求得答案.第(2)問是證明兩條直線斜率之積為定值的問題，綜合性強，計算量較大.核心步驟是設出直線l的方程，聯立直線l的方程和橢圓的方程，構建A,B兩點的坐標關系，表示出直線AP和BP的方程，聯立直線l1的方程求解M和N的坐標，再用斜率公式表示kQM·kQN，最后化簡求得答案.

從解答過程看，只要理清題干里面的點、線位置關系，構建解題順序，準確計算每一步驟中的代數式，易求出答案.求解后，有三個方面的問題引起了筆者的思考：其一，點P的位置具有特殊性嗎？其二，直線l所過定點和直線l1的方程之間有什么關聯嗎？其三，該結論是否具有一般性，能否推廣到雙曲線和拋物線中.沿著這個思路，筆者進行了以下的探究.

探究發現，kQM·kQN為定值與點P(s,t)(與A,B不重合)在橢圓上的位置無關，自然思考結論可能會與定點Q和定直線l1有關，故繼續進行下列探究.

探究發現，kQM·kQN為定值與定點Q和直線l1有關，此結論可推廣到任意的橢圓中.

探究發現，結合探究1、探究2發現kQM·kQN為定值只與定點Q和定直線l1有關.即有如下結論：

類似地，可以證明在雙曲線和拋物線中，即有如下結論：