數(shù)列中求解參數(shù)范圍問題的六種思考

江蘇省蘇州大學(xué)附屬中學(xué) (215001) 陸菊芳

數(shù)列中求參數(shù)范圍問題是比較典型的一類問題，由于涉及的知識點多、題目設(shè)問的方式也多種多樣，故而也有多種解法.本文通過列舉幾個典型例子，并進(jìn)行分析剖解，介紹幾個常用的求解方法，希望能對讀者朋友有所幫助.

一、分離變量

解決數(shù)列中的參數(shù)問題與函數(shù)中同類問題的解決是一樣的，采用參數(shù)分離法比較多見的，當(dāng)然再具體解題時要把握好參數(shù)分離的機(jī)會，以運(yùn)算簡便為佳.

例1 已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列且首項a1>0，公比q>0，而bn=an+1-kan+2，數(shù)列{an}、{bn}的前n項和分別是Sn、Tn，如果Tn>kSn對一切自然數(shù)都成立，求實數(shù)k的取值范圍.

評注：在有些數(shù)列問題中，給出的已知條件含有特點，如果我們在審題階段能夠洞察到題目的這些特色，敏銳地抓住它并讓它發(fā)揮作用，就可以為成功解題立下重要功勞.本解法中通過整體消去Sn達(dá)到了分離變量目的.

二、分類討論

在求解過程中，如果一種情況不能表達(dá)問題的所有內(nèi)容時，就必須進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆诸愑懻?，注意分類要徹底、討論需詳盡、結(jié)果要綜合.

評注：這是一個與分段函數(shù)中“取小”或“取大”函數(shù)是相似的分段數(shù)列，解題時要抓住數(shù)列中整數(shù)的特點，運(yùn)用特殊值分類驗算，通過建立相應(yīng)的不等式求出參數(shù)范圍.

三、挖掘性質(zhì)

數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，數(shù)列中有一些性質(zhì)是與函數(shù)相似的，比如數(shù)列中也有單調(diào)性的問題，它是解決相關(guān)參數(shù)問題的重要武器.

評注：數(shù)列中求數(shù)列的最大項、最小項問題，大多都是通過判斷數(shù)列的單調(diào)情況來解決，也就是通過求相鄰兩項的差來判斷，這一解題技巧應(yīng)該熟練掌握.

四、抓住關(guān)鍵

題目中可能有很多條件，而往往破解問題的就是那個關(guān)鍵條件，如果在解題中能盯緊這個條件，就是找到了解題突破口.

評注：本題的前面部分是根據(jù)條件解決數(shù)列中一些元素的表達(dá)，而在求參數(shù)范圍時就是利用數(shù)列的最值，將恒不等式轉(zhuǎn)化為一個參數(shù)不等式求解問題，這是解題的關(guān)鍵.

五、緊盯目標(biāo)

在數(shù)列問題中，運(yùn)用數(shù)列的相關(guān)知識進(jìn)行化簡、運(yùn)算的比較多，有的可能還是比較復(fù)雜的，需要在解題中瞄準(zhǔn)目標(biāo)，有章有序地解決遇到的每一個問題.

解析：(1)由Sn + 1=tSn+a，當(dāng)n=1時，S2=tS1+a，可得a2=at；當(dāng)n≥2時，Sn=tSn-1+a，所以，Sn+1-Sn=t(Sn-Sn-1)，即an+1=tan，又a1=a≠0，所以數(shù)列{an}是以a為首項，t為公比的等比數(shù)列，則an=atn-1(n∈Z*).

評注：本題中參數(shù)k絞合在一個復(fù)雜的數(shù)列式子中，要求k的取值范圍，必須將此數(shù)列式子進(jìn)行化簡，最后再分離出去，通過裂項相消達(dá)到了解題目的.

六、完善結(jié)論

有一些同學(xué)在解題時，由于讀題馬虎、思考問題不嚴(yán)謹(jǐn)，會造成多解或漏解的情況，數(shù)列中的問題也是一樣，抓住數(shù)列特點進(jìn)行賦值驗算很有必要.

例6 在數(shù)列{an}中，已知a1=2，an+1=3an+2n-1.(1)求證：數(shù)列{an+n}為等比數(shù)列；(2)記bn=an+(1-λ)n，且數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，若T3為數(shù)列{Tn}中的最小項，求λ的取值范圍.

解析：(1)設(shè)an+1+p(n+1)+q=3(an+pn+q)，即an+1=3an+2pn+2q-p，與an+1=3an+2n-1比較得2p=2且2q-p=-1，即p=1，q=0，所以有an+1+n+1=3(an+n)，即{an+n}是以3為公比，a1+1=3為首項的等比數(shù)列，則an+n=3n，即an=3n-n.

評注：本題很可能由于對題意理解不透造成漏解或錯解，而通過對某幾個特殊情況的驗算建立了不等式，這樣才能得到正確答案，避免了無謂的丟分.