壓電多層膜懸臂梁受力的有限元仿真

李蘇洋，夏鴻建，張曉偉，陳顯鋒

（1.廣東工業大學機電工程學院，廣東 廣州 510006；2.佛山市卓膜科技有限公司，廣東 佛山 528200）

1 引言

鋯鈦酸鉛（PZT）是MEMS領域應用最廣泛的壓電材料，因壓電系數高、制造工藝相對成熟，可與MEMS結構良好兼容，成形工藝好，價格低等，而得到越來越廣泛的應用。懸臂梁是MEMS器件中最常用的微執行機構，具有結構簡單、結構尺寸小、靈敏度高、低功耗等特點。對于表面鍍有壓電薄膜的懸臂梁，由于壓電材料具有壓電效應，使壓電懸臂梁同時具有驅動和傳感的特點，其應用前景廣闊，成為目前的一個研究熱點[1-3]。

在實際設計和加工中壓電懸臂梁一般都采用多層復合結構，國內外很多學者建立了微懸臂梁的力學模型[4]，但很少對微梁的變形應力進行研究，特別是固定端的應力。應力是影響MEMS器件疲勞壽命的重要因素，因此對固定端的應力分析很重要[5-6]。現有文獻大多是對多層結構薄膜的殘余應力進行研究，鮮有文獻研究集中載荷對微懸臂梁的固定端應力的影響以及與曲率半徑的關系。

以鋯鈦酸鉛（PZT）作為壓電薄膜材料，建立了一個多層膜懸臂梁結構，并對其自由端在受到外力F作用下發生的彎曲變形進行了仿真模擬。懸臂梁自由端受到外力后發生彎曲變形，運用ABAQUS有限元軟件及梁的力學理論分析梁固定端的應力情況。設曲率半徑為ρ，可采用梁理論進行分析，分析微懸臂梁在受不同載荷和薄膜厚度的條件下對曲率半徑和固定端應力的影響。

對于懸臂梁的彎曲變形，大多數采用Stoney模型作為理論分析。該理論有如下假設：（1）薄膜及襯底厚度遠小于其寬度和長度；（2）薄膜與襯底的厚度比遠遠小于1；（3）襯底材料是均勻的、各向同性的線性彈性材料，薄膜材料也是各向同性的；（4）懸臂梁的邊緣效應可以忽略且彈性性質延厚度方向上平移不變；（5）應力在延厚度方向上沒有梯度；（6）系統內部應變及彎曲曲率都很小；（7）不考慮末端效應的影響。它主要用來研究表面鍍膜引起的彎曲，而不考慮薄膜厚度影響。但隨著制造工藝的發展，襯底的厚度越來越小，使得薄膜厚度與襯底具有了可比性，此時Stoney公式不再適用[7]。

懸臂梁自由端在受到外力F作用下會發生偏轉，由于變形很小，視為彈性變形，多層材料復合微懸臂梁彎曲時假設懸臂梁中性層長度不變，各層在軸向彎曲時應變相同，則四層梁結構的撓曲方程可通過靜態平衡方程推導出來[8]。此外，懸臂梁的厚度比總體曲率小很多，可假設所有層曲率半徑近似等于結構總體的曲率半徑。通過仿真與解析模型計算的結果進行比較分析，以驗證有限元模型的正確性。

2 模型建立

2.1 有限元模型的建立

壓電多層膜懸臂梁自由端受外力F作用后，如圖1（a）所示。梁的橫截面，如圖1（b）所示。懸臂梁結構包括四層，分別為基底層1、過渡層2、電極層3和壓電層4，各層材料包括基底層1為聚酰亞胺（PI）、過渡層2為二氧化硅（SiO2）、電極層3為鉑（Pt），壓電層4為鋯鈦酸鉛（PZT）薄膜。每一層的長度l為1000μm，寬度b遠小于長度l及厚度h。各層厚度t分別為t1=25μm，t2=0.5μm，t3=0.2μm，t4有0.1μm，0.5μm，1.5μm和10μm四個水平，總體結構的厚度為h。各層材料的力學性能參數與幾何參數，如表1所示。

表1 壓電多層膜懸臂梁的幾何參數和力學參數Tab.1 Geometric Parameters and Mechanical Properties of Piezoelectric Multilayer Cantilever

圖1 各層材料的力學性能參數與幾何參數Fig.1 The Mechanical Property Parameters and Geometric Parameters of Each Layer Material

假設圖1的壓電懸臂梁寬度遠小于長度及厚度，自由端x-y平面內受到集中力作用，不計體力，根據這個結構特點，可作為xy平面內的平面應力問題處理。對于平面應力問題，σz=0，τzy=τxz=0。此時，有限元仿真模型可引入幾個假設：（1）不考慮剪切應力的影響（2）梁的寬度及厚度遠小于梁彎曲的曲率半徑和梁的長度；（3）各層材料在x-z平面內為各向同性，在x-y平面內呈正交各向異性。基于上述假設，壓電多層薄膜懸臂梁的自由端在受到外力F作用下，相當于懸臂梁的純彎曲過程。由于多層材料之間粘接在一起，故認為各層在軸向彎曲時應變相同，每一層的曲率半徑等于結構總體的曲率半徑。

懸臂梁一端固定，另一端自由彎曲。固定端各層均為固定約束，各層之間的接觸定義為tie。由于壓電層的固定端應力是特別關注的重點區域，直接影響MEMS器件裝置的疲勞損傷及壽命，因此將壓電層的單元網格劃分得較密以得到較精確的結果，而基底層的網格劃得較稀疏以加快計算速度。選擇平面應變非協調四邊形單元類型。建立的二維有限元模型，如圖2所示。

圖2 壓電多層膜懸臂梁的有限元模型Fig.2 Two-Dimensional Finite Element Model of Piezoelectric Multilayer Cantilever

2.2 理論模型的建立

對于壓電多層材料懸臂梁，當其自由端受到y軸方向的壓力F，可等效為在末端受到一個彎矩M（x）及一個與外力平行的剪力F（Q）。考慮到懸臂梁的長度l與薄膜厚度之比l/h＞＞5，剪力的影響很小，可忽略不計，梁的橫截面上的正應力分布與純彎曲時很接近。純彎曲狀態下，薄膜中性層上方受到拉伸應力，中性層下方為壓縮應力，且懸臂梁的各個截面處應力分布與該點到中性軸的距離成正比。梁發生彎曲變形，其變形示意圖，如圖3所示。梁在固定端附近的變形最小，在自由端處的變形最大。根據材料力學方程，在坐標x處，距離中性軸的縱向坐標為y時，彎曲應力σx為：

圖3 壓電多層懸臂梁彎曲變形示意圖Fig.3 Bending Deformation Diagram of Piezoelectric Multilayer Cantilever

將式（1）代入式（2）中，得到曲率半徑的計算公式：

式中：E′—多層平均彈性模量；y—距中性面的y向坐標；ρ—懸臂梁彎曲變形后任意一點的曲率半徑；M（x）—懸臂梁距離原點x處的力矩；Iz—此截面相對于中性軸的慣性矩且l，b，h—微懸臂梁的長度、寬度和厚度。

對于多層平均彈性模量E′，如式（4）所示。

其中E1，E2，E3和E4分別為基底層、過渡層、壓電層和薄膜層的彈性模量，t1、t2、t3和t4分別為各層薄膜的厚度[9]。由此可得多層微懸臂梁在不同層厚時的平均彈性模量E′，如表2所示。

表2 壓電多層膜懸臂梁不同厚度時的平均彈性模量Tab.2 Average Elastic Modulus of Piezoelectric Multilayer Cantilever Beam with Different Thicknesses

由式（1）可知，當截面所受的彎矩M（x）和到中性層距離y值為最大時，可得最大彎曲正應力為：

可見，微懸臂梁最外緣處的最大應力與彈性模量無關，而與懸臂梁所受的載荷與截面形狀有關。

由材料力學和高等數學的相關知識，可導出撓曲線微分方程的一般形式[10]：

對于加載力F集中在自由端的懸臂梁來說，其邊界條件為y(l)=0，y′(l)=0。則微分方程（6）可變形為：

由式（7）可知，力F與撓度y（x）為線性關系，設固定端x=0，則當x=l時，撓度y（x）取得最大值ymax：

可導出曲率半徑方程[11]：

值得注意的是，上述方程適用于小變形情況，當加載力超過一定程度時，加載力與撓度不再呈線性關系。

3 仿真模擬與理論結果比較

懸臂梁自由端受到外力發生彎曲變形，此時壓電層固定端應力是關系到MEMS器件壽命的重要因素。為了研究懸臂梁曲率半徑與壓電層固定端應力的關系，針對同一基底材料，不同壓電層PZT厚度進行了數值仿真模擬分析。通過比較不同膜厚在外力F作用下對最大撓度ymax和固定端等效應力的影響，盡量使懸臂梁最大撓度最大化，等效應力最小化，以得到靈敏度更高，使用壽命更長和使用范圍更廣的懸臂梁MEMS器件。

3.1 撓度y與載荷F的關系

根據表1的幾何和材料參數，可得多層懸臂梁自由端在載荷F作用下，懸臂梁各處的變形仿真結果，如圖4所示。可見，多層懸臂梁最上層的自由端附近發生的變形最大，基底層的變形最小。根據理論式（8）和表2的幾何與材料參數，利用MATLAB軟件計算可得懸臂梁自由端最大撓度的解析解，并與仿真結果進行比較，如圖5所示。

圖4 壓電多層懸臂梁自由端受載后各層的變形仿真結果Fig.4 Simulation Results of Deformation for Various Layers under Concentrated Force at the End of Piezoelectric Multilayer Cantilever

圖5 壓電多層懸臂梁自由端最大撓度-載荷F曲線Fig.5 Relationship of the Maximum Deflection and Force at the Free End of Piezoelectric Multilayer Cantilever

由圖可知，多層膜懸臂梁自由端最大撓度ymax與載荷F呈線性關系，且隨著載荷F的增加而增大，表明發生的是線彈性變形。壓電層PZT薄膜厚度越大，懸臂梁最大撓度越小。圖中仿真結果和理論計算結果雖然有一定的誤差，但總體趨勢基本一致，驗證了有限元仿真模型的可靠性。這種誤差可能是由于理論計算采用了平均彈性模量，而對于多層材料平均彈性模量E′的計算目前還沒有精確模型來表示。

3.2 曲率半徑R與厚度t的關系

為取點方便，在多層懸臂梁的壓電薄膜層上從固定端開始沿x方向每隔0.1mm取相應位置的點，如圖6所示。分別對應于各點的曲率半徑，如圖6（a）所示。圖6（b）表示了不同壓電薄膜層厚度時懸臂梁的曲率半徑沿X方向距離的變化曲線，由圖可知，懸臂梁的曲率半徑在固定端附近較小，越靠近自由端曲率半徑越大，撓度也越大，說明曲率半徑隨著撓度的增大而增大。此外，壓電層厚度增大，在同樣的載荷條件下，越靠近自由端的曲率半徑越小，而靠近固定端曲率半徑則越大。

圖6 不同壓電層厚度的曲率半徑與固定端距離的關系Fig.6 Relationship of Curvature Radius and the Distance from the Fxed End for Various PZT Thicknesses

3.3 固定端曲率半徑R與壓電層厚度t4的關系

懸臂梁壓電薄膜層上表面固定端曲率半徑與壓電層厚度的關系曲線，如圖7所示。由圖7可知，懸臂梁固定端曲率半徑隨著壓電層厚度的增大而呈線性增加。相同的壓電層厚度時，載荷越大，固定端的曲率半徑越小。仿真結果與解析結果有一定誤差，這是由于懸臂梁仿真結果的曲率半徑是在壓電層上表面的固定端取點進行計算的，而解析結果的曲率半徑是根據懸臂梁總體結構的中性層進行計算的，因此曲率半徑的位置不同。此外，解析計算的彈性模量是基于式（4）的計算結果，而仿真計算的彈性模量是根據每層材料的實際彈性模量計算的。盡管結果數值有些差異，但總體趨勢是一致的，說明了仿真模型的正確性。

圖7 懸臂梁固定端的曲率半徑R與壓電層厚度的關系Fig.7 Rel ationship of Curvature Radius R at the Fixed End of Cantilever and Various Thicknesses of Piezoelectric Layer

3.4 曲率半徑R與應力的關系

壓電懸臂梁固定端的等效應力與曲率半徑的關系（F=0.5μN），如圖8所示。可見，隨著壓電層厚度的增加，同樣的曲率半徑條件下，固定端應力減小。同時，固定端等效應力隨著曲率半徑的增大而減小。曲率半徑較小時，應力下降趨勢較快，隨著曲率半徑的逐漸增大，應力下降的趨勢變緩。

圖8 不同壓電層厚度時懸臂梁固定端等效應力與曲率半徑R的關系曲線（F=0.5μN）Fig.8 Relationship of the Effective Stress and Curvature Radius at the Fixed End of Cantilever for Various Thicknesses under F=0.5μN

4 結論

通過以多層壓電微懸臂梁為例，對其自由端受集中載荷時建立了有限元模型，模擬了在基底、過渡層和電極層不變和寬度相同的情況下，不同壓電層厚度時懸臂梁的最大撓度與載荷，固定端曲率半徑與載荷以及固定端應力與曲率半徑的關系。結論如下：（1）討論了多層懸臂梁的單一彈性模量與等效單層彈性模量對仿真模擬和解析計算結果的影響。結果表明，最大撓度與載荷呈線性關系，且撓度隨著載荷的增大而增加，仿真結果與解析計算結果趨勢基本一致。（2）曲率半徑隨著離固定端距離越遠和壓電層厚度的增大而增大。同樣的載荷條件下，壓電層厚度越厚，則固定端曲率半徑越大，而自由端的曲率半徑越小。當壓電層厚度t4一定時，載荷F越大，固定端曲率半徑R越小。當載荷F≥2μN時，曲率半徑R趨近于0。（3）固定端應力隨著曲率半徑增大而減小，相同曲率半徑下，應力隨著膜厚的增大而減小。說明增大多層懸臂梁的膜厚對延長MEMS器件的疲勞壽命有著重要意義。將以上仿真結果與解析計算進行比較可知，得到的仿真模擬結果與解析結果吻合較好。以上研究對壓電懸臂梁的結構形態設計和性能優化提供了可靠依據。