自定心中心架凸輪廓線等誤差直線逼近研究*

謝祖強，倪 永，繆秋蓮

(福建船政交通職業學院 機械與智能制造學院，福建 福州 350007)

0 引言

液壓自定心中心架具有定心及重復定位精度高、夾持范圍大、安裝操作方便等優點，是細長軸類零件加工的理想輔助支撐裝置[1，2]，長期以來，國內用戶主要依賴進口。近年來，國內對其研究取得一系列成果，在機構設計方面，文獻[3-7]對中心架關鍵部件平移凸輪及聯動復位機構進行了分析與設計；在制造方面，文獻[8]基于CAXA軟件CAM平臺用凸輪理論曲線等距平移的方法生成數控加工代碼，文獻[9]將凸輪實際廓線坐標值導入UG軟件生成實體模型及數控加工代碼對凸輪進行非等徑銑削加工。

1 自定心中心架的工作原理

自定心中心架工作原理如圖1所示。液壓油缸1與箱體3連接，驅動平移凸輪4左、右平動，實現松開、夾緊；活塞2與平移凸輪4、滾輪8(即滾輪E)剛性連接，凸輪廓面與擺桿6上滾輪5接觸，驅動擺桿6繞軸7(O2)旋轉，擺桿滾輪10(即滾輪C)、滾輪D與滾輪E形成3點夾持工件。夾持過程中，滾輪C、D、E同步運動，使被夾持工件9軸心始終保持在O3位置，實現全程自定心。

1-液壓油缸；2-活塞；3-箱體；4-平移凸輪；5，8,10-滾輪；6-擺桿；7-軸；9-工件

2 平移凸輪廓線的設計與分析

2.1 平移凸輪廓線方程

自定心中心架凸輪機構參數及坐標系如圖1所示,其中L=OE,L0=O1O3,L1=O1D,L2=O1A,R為工件半徑，r、r0均為滾輪半徑，δ=φ-α-β。根據對稱性，只求凸輪在坐標系第一象限內廓線方程。由圖1可得夾持角：

(1)

A點坐標為：

(2)

式(2)中的A點坐標即為凸輪理論廓線方程。

根據包絡線法原理，自定心中心架凸輪實際廓線方程是一組以A點為圓心、以r0為半徑圓的內包絡線方程，表達式為：

(3)

由式(3)整理得凸輪機構實際廓線方程為：

(4)

2.2 算例驗證

依據文獻[9]，自定心中心架參數如下：L0=74.946 mm，L1=L2=74 mm,L=118 mm,φ=171°,β=43.919°,r0=9.5 mm,r=17.5 mm,工件半徑R=[4,50.5] mm,對應夾持角α=[16.580,57.380]°。將上述模型編寫MATLAB程序，得到(xH，yH)坐標值，計算結果精確到小數點后10位。與文獻[9]計算結果比較，兩種計算結果吻合，驗證了公式正確性，凸輪廓線如圖2所示。可見，自定心中心架凸輪廓線為一單調下降的非圓曲線。

圖2 凸輪廓線曲線

2.3 凸輪廓線曲線分析

(5)

(6)

對式(3)求一階導數得：

(7)

式(7)中對d、e表達式整理得：

(8)

由式(7)得：

(9)

由式(8)、式(9)得：

(10)

由式(10)知，凸輪理論廓線與實際廓線斜率相等。

則由式(2)得：

(11)

(12)

由式(11)得：

(13)

3 凸輪廓線等誤差直線逼近

3.1 直線逼近誤差分析原理

圖3 直線逼近弓高誤差

(14)

設點C(xc,yc)為弦線AB的中點，CM垂直x軸，記：M(x1/2,y1/2)，直線CM與PQ交于N點。作CE⊥PQ，MD⊥CE，xC=x1/2=x0+h，yC=(y0+y1)/2。當非圓曲線段在一個直線逼近步長內不存在凹凸性變化時，弓高誤差δmax=TR=CE=CNcosγ。因直線逼近弦長很小，M和N點非常接近，且CM

δmax≈CD=CMcosγ=|yC-y1/2|cosγ.

(15)

(16)

因此，式(14)為弓高誤差精確計算公式，式(16)為弓高誤差近似計算公式，與傳統方法相比[13]，避免了求解復雜多元非線性方程組，提高了計算效率。

3.2 等誤差直線逼近算法

當非圓曲線用直線逼近時，如果每一段逼近弓高誤差都相等稱等誤差法。根據上述分析，對非圓曲線進行直線逼近時，先找出曲線上所有拐點和端點，將曲線分成若干凹凸區間，在每個凹凸區間上分別用直線逼近。

(1) 給定微段逼近起點α0、增量Δα，計算：A(xH0,yH0)，B(xH1,yH1)，弦線AB斜率kAB。

(17)

(3) 根據迭代計算得到αk+1值，由式(4)得到切點T坐標值，由式(14)計算弓高誤差δmax。

(4) 比較δmax與δy的大小。若δmax>δy，縮小步長：Δα←Δα/2；若δmax<δy，增大步長：Δα←Δα+Δα/2，回到步驟(1)直到|δmax-δy|≤ε，計算終止。輸出：B(xH1,yH1)且作為下一段逼近起點，α0←α0+Δα作為下一段逼近起始角，回到步驟(1)開始下一段逼近計算。

(5) 若α0超出[αmin,αmax]，將曲線端點作為終點，計算終止，輸出逼近點坐標值、弦長及弓高誤差。

由式(14)將上述算法編寫MATLAB程序，取ε=1.0×10-7，允差δy=0.001 mm，得到凸輪廓線方程等誤差直線逼近分段坐標值及弓高誤差如表1所示，當δy=0.001 mm時，等誤差直線逼近法需要55段直線逼近凸輪廓線方程，逼近弦長在起點處為1.450 12 mm，在終點前一段為1.253 09 mm,其中序號56已超出夾持角α的范圍，用端點57代替。

表1 等誤差逼近計算結果

由式(16)選取相同迭代精度及允差計算，兩種算法對應弦長差值如圖4所示，可見兩種算法逼近段數相等，對應每段弦長差值最大為6.313 4×10-5mm，相對誤差為0.0044%，驗證了算法有效性。

圖4 兩種算法計算弦長差值

4 結束語

(1) 根據包絡線法建立自定心中心架平移凸輪實際廓線方程，編程計算并與文獻公式計算結果比較，計算結果吻合，驗證了公式正確性。

(2) 根據包絡線法求得的凸輪實際廓線方程分母含有無理式，直接求導表達式復雜，可利用理論廓線求解實際廓線一階、二階導數值，以簡化計算。

(3) 分析非圓曲線直線逼近弓高誤差計算原理，分別得到精確計算及近似計算弓高誤差表達式，在此基礎上，設計結合牛頓迭代法與伸縮步長法的等誤差直線逼近算法。

(4) 針對中心架凸輪廓線，選取相同計算精度與弓高允差，用兩種弓高誤差算法對凸輪廓線進行等誤差直線逼近，編程計算得到凸輪廓線弓高誤差為0.001 mm時直線逼近點坐標。計算結果表明：兩種算法逼近直線段數相等，對應每段弦長差值很小，驗證了算法的有效性。用近似計算弓高誤差的方法，只需求解凸輪實際廓線方程一階導數，計算更方便。本文研究結果為中心架凸輪廓線及其他非圓曲線優質、高效的設計與制造提供了理論依據。